Download orígenes de la geometría proyectiva

Hexagrama
ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERB ÓLICO
En 1871 Felix Klein presentó
un modelo proyectivo de geometría
no euclídea, siguiendo unas ideas
anteriores
de
Eugenio
Beltrami (1835-1900). Este
modelo es útil para adquirir una
visión global
del
plano
hiperbólico y entender algunas
de sus peculiaridades.
E. Beltrami
F. Klein
PUNTOS Y RECTAS
PARALELISMO
A partir de una cónica E del plano proyectivo real se considera el plano
hiperbólico como formado por los puntos interiores de E. Las rectas de este
modelo de plano hiperbólico son las mismas que las del plano proyectivo,
pero reducidas a su parte interior a E. La cónica E se denomina cónica
absoluta o absoluto del plano hiperbólico. El siguiente dibujo resume esto.
Observamos que en el plano hiperbólico no se
cumple el Quinto Postulado de Euclides: por un
punto exterior a una recta se pueden trazar
infinitas rectas que no la cortan.
MOVIMIENTOS
Los movimientos de este plano hiperbólico son los del plano
proyectivo (las colineaciones) que dejan invariante el
absoluto E. Por supuesto, lo que importa aquí es la
restricción de dichas colineaciones al plano hiperbólico.
Dos figuras del plano hiperbólico se consideran iguales (o
congruentes) cuando hay un movimiento que transforma
una en otra.
Ejemplo de movimiento: una
homología ϕ de centro P que
induce una involución en el
absoluto. Este movimiento se
llama simetría de centro P.
A y B no son puntos
de la recta del plano
hiperbólico, que es
por tanto ilimitada.
Las rectas PA y PB se llaman paralelas a
AB y las otras ultraparalelas.
PERPENDICULARIDAD
Dos rectas r=AB y r'=A'B' son perpendiculares si
existe un movimiento que superpone los ángulos
adyacentes α y β (es decir, si esos ángulos son
iguales o congruentes). En tal caso los ángulos α y
β se llaman rectos.
POLARIDAD
Se llama punto polar de una recta
r=AB al punto Q, intersección de las
dos tangentes a E en los puntos A y
B; este punto del plano proyectivo no
está en el plano hiperbólico.
ultraparalelas
La polaridad proporciona una formulación proyectiva de la
perpendicularidad en el plano hiperbólico, pues se prueba que
dos rectas son perpendiculares si una pasa por el punto polar de la otra.
paralelas
Un hecho natural para la intuición euclídea es que en el plano hiperbólico dos rectas ultraparalelas tienen siempre
una perpendicular común, pero esa misma intuición es contraria al hecho de que dos rectas paralelas no la tengan.
Proyectos UCM de Innovación Educativa
Facultad de Ciencias Matemáticas
2002
María Emilia Alonso • Departamento de Álgebra, UCM
María Cruz del Amo • IES Miguel Servet, Madrid
Raquel Mallavibarrena • Departamento de Álgebra, UCM
Isabel Pinto • IES La Fuensanta, Córdoba
Jesús M. Ruiz • Departamento de Geometría y Topología, UCM