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Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS Álgebra y geometría de números complejos : una introducción. En este capítulo se utilizan comandos de Mathematica para calcular números complejos y graficarlos como puntos y líneas en el plano cartesiano. Para realizar esta práctica usaremos los comandos ListPlot, ListLinePlot y Table. El comando ListPlot nos prmite graficar una lista de datos. A continución las variable datos contiene una lista de pares de números datos = 881, 3<, 82, 4<, 83, 5<, 84, 6<< Estos datos los podemos ver en forma de tabla de la siguiente manera MatrixForm@datosD de aquí es claro que tenemos una tabla con 4 renglones y dos columnas. Para tomar la pareja del tercer renglón podemos hacer lo siguiente datos@@3DD o si queremos obtener el valor de la columna 1 de este renglón se debe especificar así datos@@3, 1DD y para la segunda columna datos@@3, 2DD La gráfica de datos la podemos obtener con ListPlot ListPlot@datosD Si deseamos modificar el tamaño de los puntos lo podemos hacer con PoinSize ListPlot@datos, PlotStyle ® PointSize@0.03DD y si queremos cambiar el color usamos RGBColor ListPlot@datos, PlotStyle ® 8PointSize@0.03D, RGBColor@1, 0, 0D<D Otra forma de generar una lista de datos es con el comando Table. El arreglo datos puede obtenerse de la siguiente manera datos2 = Table@8i, i + 2<, 8i, 1, 4<D de esta manera datos y datos2 son idénticas. El comando ListLinePlot nos permite generar líneas rectas. Por ejemplo, la recta que va del origen al punto (1, 3) se puede obtener de ListLinePlot@880, 0<, 81, 3<<D o si queremos obtener varios segmentos de recta se tendría lo siguiente ListLinePlot@880, 0<, 81, 3<, 82, 0<, 83, 3<<D Operaciones con números complejos Primero vamos a definir un conjunto de funciones que nos permitirán graficar líneas y puntos de diferentes colores Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS linearoja@z_D := ListLinePlot@880, 0<, 8Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® RGBColor@1, 0, 0DD; lineaverde@z_D := ListLinePlot@880, 0<, 8Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® RGBColor@0, 1, 0DD; lineaazul@z_D := ListLinePlot@880, 0<, 8Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® RGBColor@0, 0, 1DD; puntorojo@z_D := ListPlot@88Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® 8PointSize@0.02D, RGBColor@1, 0, 0D<D; puntoverde@z_D := ListPlot@88Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® 8PointSize@0.02D, RGBColor@0, 1, 0D<D; puntoazul@z_D := ListPlot@88Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® 8PointSize@0.02D, RGBColor@0, 0, 1D<D; En todas estas funciones la variable que utilizan es un número complejo con nombre z. En Mathematica un número complejo puede ser definido de la siguiente manera z = 3 + 7 * I; Hay que notar que el número imaginario i debe de ser escrito en Mathematica como I mayúscula. Podemos graficar este número como un punto rojo puntorojo@zD como una línea azul lineaazul@zD o como ambos Show@lineaverde@zD, puntoazul@zDD El número complejo 0.5 − 5 i puede ser graficado también como linearoja@0.5 - 5 * ID Si se tienen dos números complejos las operaciones resultantes pueden también ser graficadas z1 = 1 + 6 * I; z2 = 6 - 4 * I; Suma z1 + z2 linearoja@z1 + z2D Multiplicación z1 * z2 lineaverde@z1 * z2D División z1 z2 linearoja@z1 z2D Módulo o norma de un número complejo z = 3 + 7 * I; N@Sqrt@Re@zD ^ 2 + Im@zD ^ 2DD o también Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS N@Abs@zDD Argumento de un número complejo N@Arg@zDD Confimemos esto con el uso del inverso de la tangente N@ArcTan@Im@zD Re@zDDD Complejo conjugado El complejo conjugado de un número complejo se obtiene con Conjugate@zD linearoja@Conjugate@zDD Raíces n − ésimas de un número complejo Obtengamos las raíces del número 1 n = 3; sol = Solve@x ^ n == 1D z = x . sol N lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D; ListPlot@lista, PlotStyle -> 8PointSize@0.015D, RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D n = 10; sol = Solve@x ^ n == 1D; z = x . sol N; lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D; ListPlot@lista, PlotStyle -> 8PointSize@0.015D, RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D n = 30; sol = Solve@x ^ n == 1D; z = x . sol N; lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D; ListPlot@lista, PlotStyle -> 8PointSize@0.015D, RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D A continuación obtendremos las raíces de un número complejo arbitrario n = 3; a = 1 20 + 2 300 I; sol = Solve@x ^ n aD; z = x . sol N; lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D; graf1 = ListPlot@lista, PlotStyle -> 8PointSize@0.015D, RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio ® 1.2D Ahora auméntese el valor de n, y obsérvense los resultados. n = 15; a = 1 20 + 2 300 I; sol = Solve@x ^ n aD; z = x . sol N; lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D; graf2 = ListPlot@lista, PlotStyle -> 8PointSize@0.015D, RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS n = 50; a = 1 20 + 2 300 I; sol = Solve@x ^ n aD; z = x . sol N; lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D; graf3 = ListPlot@lista, PlotStyle -> 8PointSize@0.015D, RGBColor@0, 0, 1D<, AspectRatio ® 1.2D Show@graf3, graf2, graf1D Compara los módulos de las raíces cúbicas, las raíces décimoquintas y las raíces quincuagésimas de este número complejo a. Referencias [1] Louis L. Scharf and Richard T. Behrens, A First Course in Electrical and Computer Engineering, Addison − Wesley Publish− ing Company, 1991. [2] J. V. Uspenski, Theory of Equations, McGraw − Hill, 1948. [3] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw − Hill, 1979. [4] Ruelle V. Churchill, James W. Brown and Roger F. Verhey, Complex Variables and Applications. 3 rd edition. McGraw − Hill, 1974.
