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EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONALES Primitivo Reyes Aguilar Septiembre 2007 Página 1 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS CONTENIDO 1. concepto de replicación fraccionada 2. Fracción un medio del diseño 2k 3. Resolución del diseño Página 2 de 14 P. Reyes / Sept. 2007 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 1. Concepto de replicación fraccionada Conforme el número de factores del experimento crece, el número de casillas o condiciones experimentales (y por lo tanto el número de lecturas o pruebas necesarias), crece exponencialmente en un experimento factorial. El número de efectos a evaluar (interacciones principalmente) crece exponencialmente también. El número de efectos y casillas varía con el número de factores en una relación como se muestra en la tabla siguiente para un experimento factorial 2k. No. De No. De Efectos Interacciones entre factores de factores casillas principales 4 16 4 6 4 1 5 32 5 10 10 5 1 6 64 6 15 20 15 6 1 7 128 7 21 35 35 27 7 1 8 256 8 28 58 70 56 28 8 1 3 4 5 6 7 8 1 Así por ejemplo cuando se tienen siete factores, existen 128 posibles condiciones experimentales, lo que implica que al hacer una replicación por celda de todo el experimento requiere un total de 128 observaciones. Si se decide tomar dos replicas por celda, entonces serian necesarias 256 observaciones, lo cual es una cantidad excesiva de pruebas para fines prácticos. Por otro lado, se necesitan 128 observaciones para un experimento con 7 factores por que se deben evaluar 127 posibles efectos (que son los grados de libertad totales en 128 observaciones) de estos efectos 7 son los factores principales, 21 interacciones de 2 factores, 35 de tres, 35 de cuatro, 27 de cinco en cinco, 7 de seis en seis y una interacción de 7 factores. En general el número de interacciones de k factores tomados r en r es: Página 3 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 K! r! (k r)! El concepto de replicación fraccionada parte de las siguientes hipótesis: 1. Las interacciones de tres o más factores son sumamente raras en la práctica, por lo que en general se pueden suponer como no existentes. 2. En un experimento de varios factores lo más probable es que solo algunos de ellos sean relevantes para la variable de respuesta. 3. La mayor parte del efecto se debe a los factores principales y algunas interacciones de dos factores. Lo anterior implica que por ejemplo para siete factores son necesarios probablemente solo 28 grados de libertad (7 factores principales y 21 interacciones de dos factores), y esto equivale a solo 29 unidades de información y no 128 como en el experimento original. Esto quiere decir que no es necesario el correr una replicación completa de todo el experimento cuando el número de factores crece, sino solamente algunas casillas o condiciones experimentales. Cuando solamente una parte de las posibles casillas se prueban, se dice que se tiene una replicación fraccionada del experimento. Las preguntas que surgen son: 1. ¿Cuántas y cuales casillas probar? 2. ¿Cómo analizar los resultados? 3. ¿Qué información se pierde? Página 4 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 El responder a estas preguntas es uno de los objetivos de la replicación fraccionaria. 2. Fracción un medio del diseño 2k Considérese el caso en el que se estudian tres factores de dos niveles cada uno, pero en el que los experimentadores no pueden costear las 23 = 8 combinaciones de tratamientos, sin embargo, si se puede costear 4 observaciones. Esto sugiere una fracción un medio, de un diseño 23. la fracción un medio del diseño 23 se conoce también como un diseño 23-1 por que tiene 23-1 = 4 combinaciones de tratamiento. En la tabla 1 aparecen signos positivos y negativos del diseño 23. Supóngase que para componer la fracción un medio, se seleccionan las combinaciones de tratamientos se usa indistintamente la notación convencional (a,b,c,...) y la de signos positivos y negativos. La equivalencia de las dos notaciones se muestra a continuación. Notación 1 Notación 2 a + - - b - + - c - - + abc + + + Página 5 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS Combinación de P. Reyes / Sept. 2007 Efecto factorial Tratamientos I A B C AB AC BC ABC a + + - - - - + + b + - + - - + - + c + - - + + - - + abc + + + + + + + + ab + + + - + - - - ac + + - + - + - - bc + - + + - - + - (1) + - - - + + + - Tabla 1 Signos positivos para el diseño 23 Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar solo las combinaciones de tratamientos que producen un signo positivo sobre la columna ABC. Por esto ABC se denomina generador de una fracción particular. Además, la columna identidad I siempre es positiva, por lo cual: I = ABC Se denominara relación definitoria de nuestro diseño, en general, la relación definitoria de un factorial fraccionario siempre es el conjunto de todas las columnas que son iguales a la columna identidad I. Página 6 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS abc P. Reyes / Sept. 2007 bc c ac b C ab B A a (1 ) (b) Fracción alterna I = -ABC (a) Fracción principal I = ABC Las combinaciones de tratamientos del diseño 23-1 producen 3 G.L. que pueden usase para estimar los efectos principales. En la tabla 1 se muestra que las combinaciones lineales de las observaciones que se utilizan para estimar los efectos principales A, B, y C son: LA 1/2(a b c abc) LB 1/2( a b c abc) LC 1/2( a b c abc) LBC 1/2(a b c abc) LAC 1/2( a b c abc) LAB 1/2( a b c abc) Por lo tanto LA = LBC, LB = LAC y LC = LAB. En consecuencia, es imposible distinguir entre A y BC, entre B y AC y entre C y AB. De hecho, es posible mostrar que cuando se estima A, B y C, en realidad, lo que sé esta haciendo es estimar A + BC, CB + AC y C + AB, respectivamente. Dos o más efectos que tienen esta propiedad se conoce como alias. En este ejemplo, A y BC, B y AC y C y AB son alias. Esto se indica empleando la notación: Página 7 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 LA A BC, LB B AC LC C AB La estructura de los alias de este diseño pueden determinarse fácilmente con la relación I = ABC, multiplicando cualquier efecto por la relación que define al diseño, modulo 2, da como resultado los alias de dicho efecto. En el ejemplo anterior, los alias son: A*I = A*ABC = A2BC O dado que el cuadrado de cualquier columna es simplemente la identidad I. A = BC De modo similar, se encuentra que los alias de B y C son: B*I = B*ABC = AB2C = AC C*I = C*ABC = ABC2 = AB Esta fracción un medio o semifracción, con I = +ABC, suele llamarse fracción principal. Ahora supóngase que se eligió la otra mitad de la replica. Esta se compone de las combinaciones de tratamientos de la tabla 1 que tiene signo negativo asociado con ABC. Esta fracción un medio o alterna que consta de las siguientes corridas: Página 8 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 Notación 1 Notación 2 (1) --- ab ++- ac +-+ abc -++ La relación definitoria de este diseño es: I = -ABC Usando la fracción alterna, las combinaciones lineales de las observaciones, L’A, L’B y L’C, son: L' A A BC L' B B AC L' C C AB Por lo tanto, en realidad sé esta estimando A – BC, B – AC y C – AB al estimar A, B y C con esta fracción. En la practica, no importa cual de las dos fracciones se utilice. Generalmente la fracción asociada con I = +ABC se denomina fracción principal. Ambas fracciones pertenecen a la misma familia; en otras palabras, estas dos fracciones forman el diseño 23 completo. Supóngase que después de recopilar una de las fracciones de un medio del diseño 23, también se recopila la otra fracción. Por lo tanto, están disponibles los 8 ensayos asociados con el diseño completo 23 en este caso pueden obtenerse las estimaciones de todos los efectos, sin los alias, analizando los 8 ensayos en un diseño 23 completo con dos bloques de cuatro ensayos cada uno. Esto también se logra sumando y Página 9 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 restando la combinación lineal a los efectos de las dos fracciones individuales. Por ejemplo, considérese: LA A BC y L' A A BC esto implica que: 1/2(LA L' A) 1/2(A BC A BC) A 1/2(LA L' A) 1/2(A BC A BC) BC por lo tanto usando los tres pares de combinaciones lineales se obtiene lo siguiente: i De ½(Li+L’i) De ½(Li-L’i) A A BC B B AC C C AB Página 10 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 Resolución del diseño El diseño anterior 23-1 se conoce como diseño de resolución III. En tal diseño los alias de los efectos principales son interacciones de dos factores. Un diseño es resolución R si ningún efecto de p factores es alias de otro efecto que tenga menos R – p factores. Usualmente, se emplea el numeral romano como subíndice para indicar la resolución del diseño. Así, la fracción un medio del diseño 23 definido por la relación I = ABC (o bien I = - ABC) constituye un diseño 3 1 2III . Los diseños de resolución III, IV y V son de importancia primordial. A continuación, se presenta la definición de estos diseños junto con un ejemplo. 1. Diseño con resolución III: éstos son diseños en los que ningún efecto principal es alias de otro, pero si lo son de las interacciones de dos factores; a su vez, estas últimas son alias entre sí. El diseño 23-1 de la tabla 4.1 es de resolución III. 2. Diseño con resolución IV: En estos diseño ningún efecto principal es alias de otro efecto principal, o bien, de alguna interacción de dos factores. Las interacciones de dos factores son “alias” entre sí. Un 4 1 diseño 24-1 con I = ABCD es de resolución IV ( 2IV ). 3. Diseños resolución V: Estos son diseños en los que ningún efecto principal o interacción de dos factores es alias de ningún efecto principal o interacciones entre dos factores, un diseño 25-1 con I = ABCDE es de resolución V ( 2 5V1 ). Página 11 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 En general, la resolución de un diseño factorial fraccionario de dos niveles es igual al mínimo número de letras de cualquier palabra de la relación que define al diseño. En consecuencia, los diseños anteriores, a menudo, se conocen como diseños de 3, 4 y 5 letras, respectivamente. Por lo general se deben usar diseños fraccionarios con la mayor resolución posible congruentes con el fraccionamiento requerido. A mayor resolución, las suposiciones relativas a las interacciones que deben despreciarse con el propósito de hacer una interpretación única de los datos son menos restrictivas. Construcción de Fracciones Un Medio Es posible construir una fracción un medio de mayor resolución, de un diseño 2k, escribiendo primero las combinaciones de tratamientos del diseño 2k-l completo y agregando después el k-ésimo factor identificando sus niveles positivos y negativos mediante los signos positivos y negativos de la interacción de mayor orden ABC..( k -1 ). Por 3 1 lo tanto, el diseño factorial fraccionario 2III se obtiene escribiendo el diseño 22 completo e igualando después el factor C con la interacción AB. La fracción alterna se obtiene igualando el factor C con la interacción -AB. Este enfoque aparece en la Tabla 4.2. Obsérvese que el diseño básico siempre tiene el número correcto de corridas (renglones), pero que falta una columna. Entonces, en el generador I = ABC ...K se despeja la columna faltante (K), de modo que K = ABC...(K- 1) define el producto de signos más y menos por usar en cada renglón a fin de producir los niveles para el k-ésimo factor. Nótese que cualquier efecto de interacción puede usarse para generar la columna del k-ésimo factor. Sin embargo, si no se utiliza el efecto ABC... (k- 1) no se produce el diseño de mayor o más alta resolución. Página 12 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS P. Reyes / Sept. 2007 Otra manera de interpretar la construcción de una fracción un medio del diseño consiste en , ( asignar los ensayos a dos bloques, confundiendo la interacción de mayor orden ABC ...K. Cada bloque de 2k -1 ensayos es un diseño factorial fraccionario 2k- 1 de máxima resolución. Factorial 22 Corrida Completa 3 1 2III 3 1 , I = ABC 2III , I = -ABC (diseño básico) A B A B C=AB A B C=-AB 1 - - - - + 2 + - + - - + - + 3 - + - - 4 + + + + + + - - - - + + + + - Tabla 4.2 Las dos fracciones un medio del diseño Proyección de Fracciones en Diseños Factoriales Cualquier diseño factorial fraccionario de resolución R contiene diseños factoriales completos (o posiblemente réplicas de diseños factoriales) de cualquier subconjunto de R- 1 factores. Este concepto es muy importante y útil. Por ejemplo, si un experimentador tiene varios factores de posible interés, pero considera que sólo R -1 de ellos tienen efectos importantes, la elección de un diseño factorial fraccionario de resolución R resulta apropiada. Si el experimentador está en lo correcto, el diseño factorial fraccionario de resolución R se proyectará en un diseño factorial completo de los R -1 efectos significativos. En la Fig. 1 se presenta este Página 13 de 14 EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS proceso para un diseño P. Reyes / Sept. 2007 3 1 2III que se proyecta en un diseño 22 en cada subconjunto de dos factores. Ya que la resolución máxima de una fracción un medio de un diseño 2k es R - k, todo diseño 2k- 1 se proyectará en un diseño factorial completo de cualquiera de los (k -1) factores originales, Además un diseño 2k -1 se proyecta en dos réplicas de un diseño factorial completo de cualquier subconjunto de k -2 factores, cuatro réplicas de un diseño factorial completo se proyectan en cualquier subconjunto de k -3 factores, y así sucesivamente. B b c . . abc . A a C 3 1 Figura 1. Proyección de un diseño 2III en tres diseños 22 Página 14 de 14