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Reporte de Actividades 6
Sesión del 23 y 25 de marzo.
Profesores: Gilberto Marrufo
Tutores: Yury García y Paulina Salcedo
Resumen de actividades del 23 de marzo.
Prof. Gilberto Marrufo
MATERIAL DIDÁCTICO: REPASO DE FICHERO DE ACTIVIDADES (SEP)
* Justificación Geométrica del rompecabezas del Teorema de Pitágoras.
* Elaboración de actividades usando bloques de patrones.
* Uso del rompecabezas del cuadrado y del cubo del binomio.
* Actividades usando 9 cubos:
- Secuencias
- Áreas
- Volúmenes
- Arreglos de 4 cubos, figuras cóncavas
* Cubo Soma
Actividades del 25 de Marzo.
Yury García
Soluciones de la primera tarea
Geometría: repaso de definiciones y teoremas.
Ver material adjunto.
Paulina Salcedo
Soluciones de la primera tarea.
Geometría: comprobaciones, demostraciones y soluciones a problemas del taller.
REALIZAMOS la siguiente actividad:
1. Dibujar una estrella arbitraria de 5 picos en una hoja limpia, marcando los ángulos de los picos (como la figura del
problema de la estrella ).
2. Cortar la estrella y los picos; deben quedar 5 triángulos y 1 pentágono (no necesariamente regular)
3. Colocar adecuadamente los picos de la estrella sobre una recta para COMPROBAR que la suma de los ángulos es
180°.
En matemáticas, es muy importante tener presente la diferencia entre demostrar y comprobar; esta actividad tenía la
finalidad de hacer notar que aunque comprobamos que el problema es cierto para 40 estrellas diferentes, aún no
podemos afirmar que es cierto para una estrella arbitraria (es decir, para toda estrella).
Ahora, sí son importantes las comprobaciones para darnos una idea del resultado, si lo que intuimos es correcto para
unos casos; y si encontramos un contraejemplo, entonces podemos afirmar que el resultado no es general. Sin embargo,
las comprobaciones no bastan para concluir que algo es cierto para todos los casos, es decir, no bastan para dar una
demostración.
DEMOSTRAMOS el caso general del problema, es decir, que en cualquier estrella de 5 lados, la suma de los ángulos
en sus picos es 180°, solamente utilizando el teorema de la suma de ángulos internos y la medida de ángulos externos en
los triángulos.
REPASAMOS la definición de congruencia de dos triángulos:
Dos triángulos ABC y DEF son congruentes si cumplen las siguientes 6 condiciones:
1) < A = < D
4) AB = DE
2) < B = < E
5) BC = EF
3) < C = < F
6) CA = FD
Los criterios de congruencia, bien utilizados, nos dejan saber si dos triángulos son congruentes cuando se cumplen
solamente 3 de las 6 condiciones. Siempre hay que tener cuidado de escribir las cosas en el orden adecuado.
Para esto, CONVENIMOS nombrar dos triángulos congruentes en orden correspondiente; aquí algunos ejemplos:
Criterio LLL: si sabemos que AB = DE, BC = EF, CA = FD entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes en
ese orden, es decir, cumplen las 6 condiciones de congruencia.
Criterio ALA: si sabemos que < B = < E, < C = < F y BE = CF entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes
en ese orden.
Criterio LAL: si sabemos que AB = DE, CA = FD y < A = < D entonces ABC y DEF son congruentes.
PROBAMOS que LLA no es un criterio de congruencia de triángulos, construyendo un contraejemplo de dos triángulos
que cumplían el criterio y no eran congruentes (esta construcción viene en el REPORTE 4 de actividades)
Por último, resolvimos paso a paso el problema 5 del taller de geometría, probando que los triángulos ABE y ADC son
congruentes por LAL y por lo tanto DC = BE:
TAREA.
1.- DEMOSTRAR el teorema de la medida de los ángulos externos de un triángulo.
2.- ESCRIBIR con tabla ( afirmación - justificación - referencia ) el problema 5 del taller de geometría:
Sea ABC un triángulo cualquiera. Se dibujan triángulos equiláteros ABD y ACE, como en la figura. Demuestra que (sin
importar el triángulo inicial ABC) se cumple que DC = EB.
Hacer dos dibujos del problema con REGLA y COMPÁS; uno donde el ángulo en A sea menor a 60° y otro donde sea
mayor a 60°. Esto con la finalidad de recalcar que EAD no necesariamente es un segmento de recta.
Comprobar el resultado midiendo los segmentos EC y BD en ambos dibujos.
3.- CONSTRUIR con regla y compás lo siguiente:
3.1 Un triángulo ABC, con ángulo A menor a 90° (por ejemplo 20°, 45° ó 30°), luego trazar la circunferencia
con centro en B y radio AB (es decir, centro en B y que pasa por A). Marcar la intersección de ésta con AC y
llamarle D.
3.2 Hacer lo mismo con un triángulo isósceles ABC, con BA = BC. Esto para comprobar que, en este caso, la
circunferencia con centro en B y radio AB interseca a AC en C, es decir, C = D.
3.3 Hacer lo mismo para un triángulo ABC rectángulo en A. Esto para comprobar que, en este caso, AC será
tangente a la circunferencia, es decir, la circunferencia toca a AC en un solo punto, por lo tanto A = D.
3.4 Por último, hacerlo para un triángulo donde el ángulo en A es mayor a 90°. En este caso, la circunferencia
intersecta a la prolongación de AC, o sea que D debe estar afuera del segmento AC.
4.- DEMOSTRAR que la diagonal de un paralelogramo divide a éste en dos triángulos congruentes. Esto con la
siguiente definición de paralelogramo: figura de 4 lados, con lados opuestos paralelos; notar que no tenemos la hipótesis
de que los lados opuestos son iguales, esto no se puede usar para la demostración. Hay que usar el criterio ALA y
ángulos entre paralelas.
PROBLEMA RETO - Problema 4 del taller de geometría
Este problema no es obligatorio, pero es altamente recomendable que lo intenten. Hay que tener cuidado con la
justificación de las afirmaciones; no guiarse solamente con el dibujo. Buscar una congruencia de triángulos útil y usar lo
que hemos visto en las sesiones ¡no más que eso!
Ah! Y puedes o no utilizar la tabla ( afirmación - justificación - referencia ).
Sea ABCD un cuadrado. Se dibuja un punto P sobre la diagonal AC, tal que se cumple: ángulo ABP = 30°. Llamemos Q
al punto de intersección del lado AD con la recta BP. ¿Cuánto mide el ángulo QPD?