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T.10: GEOMETRÍA
10.1
Distancia entre dos puntos
La distancia entre los puntos
y
del plano, coincide con el módulo del vector
.
Por lo tanto:
o Ejemplo: Halla la distancia entre los puntos:
y
 Ejercicio 1: Halla la distancia entre los puntos:
10.2
y
Distancia de un punto a una recta
Dado un punto P y una recta r, se entiende por distancia del punto P a la recta r, a la mínima distancia entre el
punto y la recta. Esta distancia se obtendrá en la perpendicular del punto a la recta.
Sea el punto
y la recta
Sea
un vector perpendicular a r.
Sea
un punto Є r y el vector
Si se realiza el producto escalar de
tendremos:
y
y se toma su valor absoluto
→
Por lo tanto, la distancia del punto
a la recta
es:
o Ejemplo: Halla la distancia del punto
a la recta
o Ejemplo: Halla la distancia del punto
a la recta
El punto pertenece a la recta.
 Ejercicio 2: Sean los vértices de un triángulo:
,
es equilátero, isósceles o escaleno. Calcula el Área del triángulo.
10.3
y
Comprueba si el triángulo
Distancia entre dos rectas
Se entiende por distancia entre dos rectas a la menor distancia que se puede obtener al tomar un punto de
cada una de ellas.
Obviamente, si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia entre ellas es 0.
Interesa, por lo tanto, únicamente el caso de rectas paralelas.
Sea el punto
Є a la recta
Sea la recta
paralela a r.
La distancia entre las rectas paralelas r y s es:
La distancia entre P y s es:
Por lo tanto, la distancia entre las rectas paralelas r y s es:
o Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas
y
Primero hay que transformar las rectas para que aparezcan en la forma:
y
→
 Ejercicio 3: Calcula la distancia entre las rectas
10.4
y
Ángulo de dos rectas
Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro ángulos, iguales dos a dos. Los ángulos α
y son suplementarios entre sí (suman
).
Se llama ángulo formado por dos rectas al menor de los ángulos que determinan.

Cálculo del ángulo a partir de los vectores directores:
Sean los vectores directores
de las rectas:
respectivamente.
=

siendo
Cálculo a partir de las pendientes:
Sean las rectas:
siendo sus pendientes:
Siendo el ángulo que forman ambas rectas:
siendo

Rectas perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de
o Ejemplo: Calcula el ángulo que forman las rectas
:
y
→
o Ejemplo: Calcula la recta perpendicular a
→ y pasa por
y que pasa por el punto
→
→
→
 Ejercicio 4: Calcula el ángulo que forman las rectas:
a)
y
b)
y
c)
y
 Ejercicio 5: Calcula el ángulo que forman las rectas correspondientes a los lados AB y AC del triángulo de
vértices
 Ejercicio 6: Calcula la recta perpendicular a
10.5
y que pasa por el punto
Mediatriz de un segmento
Dado un segmento de extremos A y B, se denomina mediatriz de dicho segmento a la recta r que es
perpendicular a dicho segmento y que pasa por su punto medio.
Sea el segmento de extremos (
y
, para calcular la mediatriz de dicho segmento:
1. Se calcula el punto medio M del segmento
2. Se calcula la perpendicular a la recta AB que pasa por M
o Ejemplo: Calcula la mediatriz del segmento de extremos
(
y
Por otra parte, también podemos definir la mediatriz de un segmento de extremos A y
B como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B.
Por lo tanto, existirá otro método para calcular la mediatriz del segmento
partiendo de esta definición:
es el conjunto de puntos (
que verifican que:
o Ejemplo: Calcula la mediatriz del segmento de extremos
(
y
,