Download Utilizando invariantes de Transformaciones para probar

ITCR. Costa Rica. V Congreso sobre Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora. 5, 6, 7 Diciembre 2007
Utilizando invariantes de Transformaciones en un contexto dinámico
para probar propiedades geométricas
Gonzalo Zubieta Badillo1
Resumen
Con un paquete de geometría dinámica que contiene las transformaciones simetría axial, traslación y rotación, se
conjeturan invariantes de ellas, que al validarlas, permiten dar pruebas de propiedades en figuras geométricas. Se
presentan dos ejemplos de ello, quedando de manifiesto el movimiento como elemento imprescindible en el
aprendizaje de la geometría.
Introducción
Antes de entrar en el tema conviene aclarar que el paquete que utilizaremos de geometría dinámica es
Cabri Géomètre; cada vez que hagamos referencia a los comandos de dicho paquete, los subrayaremos
para indicar que estamos en el contexto de una geometría experimental, en la pantalla de la computadora.
Iniciaremos nuestro estudio utilizando los comandos simetría axial, traslación y rotación para ver lo que le
ocurre a un punto P elegido en la pantalla con el comando punto y después utilizar uno de los comandos
mencionados para obtener su imagen P´, y al pasear o arrastrar el punto P por la pantalla con el comando
puntero, observar como se mueve P´
En cada una de las tres instantáneas anteriores, el punto P debe moverse al usar el comando puntero y el
usuario debe observar cómo se mueve P´, de lo cual podría obtenerse la definición correspondiente de la
simetría axial, la traslación y la rotación, respectivamente, si el usuario realiza observaciones pertinentes.
A su vez el eje de simetría puede moverse, con el comando puntero y en ese caso observar lo que le ocurre
a P y P´ en el cuadro a la izquierda; mover el vector que indica la traslación, con el comando puntero, para
ver lo que le ocurre a P y P´ en el caso del cuadro de en medio; finalmente en el cuadro a la derecha,
mover el centro de rotación con el comando puntero o cambiar el número de grados al usar el comando
edición numérica, para ver lo que le ocurre a P y P´. Lo realizado con un punto dado P podría hacerse con
una figura dada, que proponga el usuario, en este caso, cada punto M de la figura dada tiene una imagen
M´ en la figura transformada, que corresponde al movimiento considerado.
Ahora, al revés: si damos dos puntos P y Q, sabiendo que Q es el transformado de P por un eje de
simetría, trazar el eje de simetría que cumpla con lo solicitado; o si Q es el transformado de P por una
traslación, trazar el vector de traslación que lleve a P en Q; o si Q es el transformado de P por una
rotación, localizar el centro de rotación y el ángulo de rotación que cumple con lo pedido; los elementos
encontrados –eje de simetría, vector de traslación, centro y ángulo de rotación- ¿son únicos o existen
varios?
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México; gzubieta@cinvestav.mx
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Invariantes de las transformaciones mencionadas
De las transformaciones mencionadas, esto es, simetría axial, traslación y rotación, en cada caso, se trata
de averiguar qué es lo que no cambia, al aplicarle dicha transformación a un objeto geométrico (que
podría ser una recta, una circunferencia, un segmento, una semirrecta, un par de rectas paralelas o un par
de rectas perpendiculares, un ángulo dado, un triángulo, un polígono, etc.), es decir ¿se mantiene alguna
característica entre el objeto original y el objeto transformado?
Si la respuesta es afirmativa, decimos que la característica encontrada es un invariante de la
transformación utilizada. Veamos un ejemplo, eligiendo como transformación a la traslación y como
objeto dado, un segmento
En el cuadro de la izquierda el segmento AB y el vector de traslación; ahora, con el comando traslación se
acerca el cursor al objeto por transformar, se hace click en el botón izquierdo del ratón y luego se acerca al
vector que representa a la traslación, para hacer click como antes, obteniéndose la figura transformada. El
segmento dado AB y su transformado A´B´, que al parecer también es un segmento, en la ilustración
anterior a la derecha. ¿Qué característica común tienen AB y A´B´? Para contestar a la pregunta, con el
comando puntero arrastre un extremo del segmento AB y observe lo que le ocurre a A´B´, ¿podrías
conjeturar que característica comparten AB y A´B´?
Otras opciones de arrastre con el comando puntero serían: elegir un punto intermedio entre A y B para
arrastrar AB o mover un extremo del vector de traslación. Si eliges alguna de éstas, ¿podrías contestar a la
última pregunta planteada?
De la manera indicada, el paquete de geometría dinámica da la posibilidad de conjeturar invariantes para
cada una de las tres transformaciones mencionadas y posteriormente, pasaríamos a validar dichas
conjeturas, con lo cual tendríamos los invariantes de cada una de las transformaciones consideradas, que
nos permitirían probar propiedades de las figuras usuales de la geometría, como veremos en el siguiente
apartado.
Propiedades de figuras geométricas
Utilizando los invariantes validados de las transformaciones consideradas podemos probar propiedades de
las figuras geométricas, por ejemplo, que en todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es 180
grados, para ello utilizaremos la transformación de traslación y los invariantes validados correspondientes
que son:
• Un triángulo es transformado por la traslación en otro triángulo, congruentes ambos.
• Los dos triángulos mencionados en el punto anterior tienen sus lados correspondientes paralelos.
• Un ángulo es transformado por la rotación en otro ángulo, siendo congruentes los dos ángulos.
La prueba de la propiedad mencionada es
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En la instantánea de la izquierda, el triángulo ABC y el vector de traslación considerado, esto es el que va
del vértice A al vértice B; en la instantánea a la derecha, el triángulo ABC y su transformado A´B´C´;
Ahora, por el primer invariante señalado, el ángulo en el vértice A del triángulo ABC es congruente al
ángulo en el vértice A´ del triángulo A´B´C´; los lados AB (en el ∆ ABC) y A´B´ (en el ∆ A´B´C´) por el
segundo invariante mencionado son paralelos, pero como tienen un punto en común ( B = A´) entonces
están sobre una misma recta y finalmente, por el tercer invariante citado, el ángulo en el vértice C del
triángulo ABC es congruente al ángulo CBC´, si el centro de rotación es el punto medio de BC y el ángulo
de rotación es 180 grados. Es decir, en el vértice común de ambos triángulos B = A´ están los tres ángulos
interiores del triángulo ABC formando un ángulo de media vuelta.
Otro ejemplo sería la prueba del teorema de Pitágoras atribuida a Leonardo D´Vinci, que inicia de la
construcción típica, conocida por todos
En el cuadro a la derecha construye el hexágono (trazo grueso) que contiene a los cuadrados de los dos
catetos y dos triángulos congruentes al dado originalmente. Además, con una rotación cuyo centro es la
intercepción de las diagonales del cuadrado de la hipotenusa y un ángulo de 180 grados, construye un
triángulo congruente al dado inicialmente, en el lado opuesto a AB del cuadrado de la hipotenusa.
A la izquierda, en la ilustración de arriba construye otro hexágono (trazo grueso punteado) que contiene al
cuadrado de la hipotenusa y dos triángulos congruentes al dado inicialmente. En el cuadro a la derecha,
considera las dos mitades de cada hexágono construido (sombreados) y al realizar una rotación de centro
A, cuyo ángulo es de 90 grados, de la mitad del primer hexágono construido, tenemos que dicha mitad del
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hexágono es congruente con la otra mitad del segundo hexágono construido, como se aprecia a
continuación
De lo anterior se deduce que: (AC)^2 + (CB)^2 = (AB)^2.
Conclusiones
Las transformaciones presentadas, que podemos interpretarlas como movimientos en el plano, son
fundamentales y deseables en el aprendizaje de la geometría. Recordemos que Euclides en sus Elementos
no pudo resistir la tentación del movimiento, a pesar de que no estaba contemplado en sus axiomas. Otro
argumento a favor del movimiento es que en nuestro entorno, está presente y también se contempla en
materias como Física.
Los cursos de geometría estática se enriquecen con los paquetes de geometría dinámica que significa
agregarle movimiento a nuestros objetos de estudio.
Bibliografía
Pantógrafos para cada una de las transformaciones consideradas pueden consultarse en:
http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/mprotpant.htm
• Zubieta Gonzalo y Rivera Mario (2006) Más sobre geometría dinámica; Zubieta Gonzalo y
Alfonso Martínez (2000) Geometría dinámica; ambos libros de actividades para estudiantes de
Secundaria, del Proyecto “Enseñanza de las matemáticas con tecnología” (EMAT) en línea,
dirección electrónica http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx
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