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Universidad Autónoma de Yucatán
Facultad de Matemáticas
MÓDULO
1
Taller de Nivelación en Matemáticas
Módulo 1: Álgebra
Álgebra
Contenido
1. Lenguaje algebraico y operaciones algebraicas
1.1.
Lenguaje algebraico.
1.2.
Conceptos algebraicos
1.3.
Operaciones básicas con expresiones algebraicas
1.4.
Productos notables
1.5.
Factorización
1.6.
Fracciones algebraicas
2. Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
2.1.
Ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita
2.2.
Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
2.3.
Sistemas de ecuaciones lineales
2.4.
Sistemas de ecuaciones que involucren ecuaciones lineales y cuadráticas
Bibliografía
1.
2.
3.
4.
5.
Balam, J. y Rosas, C. (s.f.). Temas de Álgebra. Universidad Autónoma de Yucatán.
Baldor, A. (1993). Álgebra. Publicaciones Culturales.
Lehmann, C. (1997). Álgebra. Ed. Limusa.
Peraza, J., Pinzón, J. y Salazar, J. (2000). Matemáticas 1. Álgebra. Ed. Mc Graw Hill.
Miko y Piero (2005). Polinomios. Recuperado el 27 de junio de 2011 de
http://piermiko07.blogspot.com/
TALLER DE NIVELACIÓN EN MATEMÁTICAS 2015
CALENDARIO DE ACTIVIDADES
1: ÁLGEBRA
Del 6 al 10 de julio
8:00 A 12:30 HORAS
2: GEOMETRÍA PLANA Y
Del 13 al 17 de julio
TRIGONOMETRÍA
8:00 A 12:30 HORAS
3: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Del 20 al 24 de julio
8:00 A 12:30 HORAS
4: PRECÁLCULO
Del 27 al 31 de julio
8:00 A 13:30 HORAS
Julio, 2015
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Módulo 1: Álgebra
1. LENGUAJE ALGEBRAICO Y OPERACIONES ALGEBRAICAS
1.1 Lenguaje algebraico.
El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, se llama lenguaje
algebraico; sus principales características son las siguientes:
a) Estructura un idioma que ayuda a generalizar las diferentes operaciones que se
desarrollan dentro de la aritmética
b) Permite expresar enunciados de una forma más breve. Por ejemplo: Los múltiplos de
cinco:
etc., se expresan como , donde es un número entero
c) Permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. Por
ejemplo: La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a,
donde a y b son dos números cualesquiera
d) Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos
operaciones aritméticas con ellos. Dos letras diferentes representan dos números
diferentes
e) Permite expresar relaciones generales que representen problemas de la vida
cotidiana
I.
Escribe la expresión algebraica que represente lo enunciado en las siguientes
oraciones.
a) La suma de dos números________________________________________________
b) La diferencia de dos números_____________________________________________
c) El cociente de dos números______________________________________________
d) El cuadrado de un número_______________________________________________
e) Un número par________________________________________________________
f)
Un número impar_______________________________________________________
g) Un múltiplo de 7_______________________________________________________
h) Dos números enteros consecutivos________________________________________
i)
Los cuadrados de dos números enteros consecutivos__________________________
j)
La suma de un número entero al cuadrado con su consecutivo___________________
k) El cuadrado de la suma de un número entero con su consecutivo_________________
l)
El doble de un número menos su cuarta parte________________________________
m) El triple de un número más su quinta parte___________________________________
n) La cuarta parte de la mitad de un número___________________________________
o) Un número menos su mitad más su doble___________________________________
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Módulo 1: Álgebra
p) El cociente entre un número y su cuadrado__________________________________
q) La suma de las raíces cuadradas de dos números_____________________________
r) La cuarta parta del producto de tres números cualesquiera, menos cuatro__________
s) El triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b_________________
t)
Dos números que difieren en dos unidades__________________________________
u) Un número es 10 unidades mayor que otro__________________________________
v) La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 291___________
w) Las tres quintas partes de un número, más la mitad de su consecutivo equivalen a
tres_________________________________________________________________
II.
Expresar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas.
ab
: ______________________________________________________________
2
ab
b)
: _______________________________________________________________
2
ab
c)
: ________________________________________________________________
2
a
; b  0 : ____________________________________________________________
d)
b
a)
e) 2n  1 : ______________________________________________________________
2a 2
 : _____________________________________________________________
7 7
x2 1
g)
 1 : ____________________________________________________________
x3
f)
h) 5x  1  9 : ___________________________________________________________
i)
x  5  12 : ___________________________________________________________
x
 2  6 : ____________________________________________________________
5
k) a  ba  b : _________________________________________________________
j)
l)
x  x  2  x  4  1202 : ______________________________________________
m) 3x  2 x  5  x  4 : __________________________________________________
n) x 2  7 x  12  0 : ______________________________________________________
o) 3n 2  n  2 : __________________________________________________________
p)
x 8
 2 x 2  x  3 : ____________________________________________________
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Módulo 1: Álgebra
1.2 Conceptos algebraicos
Expresión algebraica: se le llama expresión algebraica a la combinación de números,
letras y signos de operación o de agrupación. Ejemplo:
.
Término algebraico: es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de
varios símbolos no separados entre sí por los signos de suma y resta. Ejemplos:
.
Un término algebraico también consta de un factor numérico y una parte literal:
 El factor numérico es el número real que multiplica a la parte literal, con todo y el
signo. Cualquier factor de un término algebraico se llama coeficiente del factor.
Ejemplo: El coeficiente de
es
.
 La parte literal la forman las letras o factores literales que haya en el término,
incluyendo sus exponentes. Ejemplo: En el término
parte literal es .
su coeficiente es
y su
Los términos pueden ser enteros y fraccionarios:
 El término entero es el que carece de denominador con literales.
 El término fraccionario es el que tiene denominador con literales.
Grado de un término algebraico: el grado de un término puede ser de dos clases:
absoluto y con relación a una letra.
 El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores
literales. Por ejemplo, en el término algebraico
el grado absoluto es
 El grado de un término en relación con una letra es el exponente de dicha letra. Por
ejemplo, en el término algebraico
con relación a es .
el grado con relación a
es , mientras que
Las expresiones algebraicas se clasifican, de acuerdo al número de términos que
contienen en monomios y polinomios.
 Monomio es la expresión algebraica que consta de un solo término
 Polinomio es la expresión algebraica que consta de más de un término
El grado de un polinomio puede ser absoluto o con relación a una letra:
 El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Por
ejemplo, en el polinomio
el grado absoluto es .
 El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra
en el polinomio. Por ejemplo, el grado del polinomio
relación a es 5, mientras que con relación a es .
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con
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Módulo 1: Álgebra
Polinomios especiales:

Polinomio homogéneo: es aquel cuyos términos tienen el mismo grado absoluto.
Ejemplo:

Polinomio heterogéneo: es aquel cuyos términos NO tienen el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
III.
Escribe los elementos de cada uno de los términos dados en la tabla:
ELEMENTOS DEL TÉRMINO
TÉRMINOS
Signo
Coeficiente
Parte literal
Grado absoluto
 6a4b3
5
18ab2x
4 y
6y3
1
a2
8
IV.
Determina el grado de las siguientes expresiones en relación a cada literal.
a) –
–
b)
–
c)
d)
V.
a)
b)
c)
d)
–
Determina el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios:
–
–
–
–
–
–
–
–
VI.
De los siguientes polinomios, indica cuáles son homogéneos y cuáles heterogéneos.
a)
–
d)
–
–
–
b)
–
e)
–
c)
f)
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Módulo 1: Álgebra
1.3 Operaciones básicas con expresiones algebraicas
Al igual que en la aritmética, las cuatro operaciones fundamentales en el álgebra son
adición, sustracción, multiplicación y división.
Términos semejantes: Son aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal.
Ejemplo:
.
En las operaciones de suma y resta el objetivo es reducir términos semejantes.
VII.
Suma las siguientes expresiones:
–
a)
1
8
–
– 2
3
b) 2 a3 + 5 ax2 – 1 x3 ; – 3 a2x – 7 ax2 – 1 x3 ; – 2 a3 + 1 a2x – 1 ax2
9
6
3
7
8
9
3
2
4
c)
d) 0.2a3 + 0.4ab2 – 0.5a2b; - 0.8b3 + 0.6b2 – 0.3a 2b; - 0.4a3 + 6 +0.7a2b; 0.2a3 + 0.9b3 + 0.6ab2
VIII.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
IX.
Efectúa la sustracción indicada
De
sustrae –
De
restar
De
restar
Resta
de
Resta
de
De
restar la suma de
De la suma de
con
De la suma de
con
.
De la suma de
con
.
con
restar
resta la suma de
con
restar la suma de
Efectúa las siguientes operaciones y determina el valor numérico del resultado al
3
2
sustituir
2
5
a)
b)
De a3 + b3 restar – 5a2b + 6ab2 -2b3
De x4 –18 x2y2 + 15 y4 restar –16 x3y – 6 x y3 + 9 y4
c)
De 2 m2n + 3 mn2 – 1 n3 restar - m3 - 1 m2n – 1 mn2 – 1 n3
3
4
4 2
2
3 3
6
5
2 4
4
2
5
d)
Restar a b – 5a b de a – 3a b + b
e)
Restar a x – 1 – 9a x – 3 + a x – 2 de 2 a x – 1+ a x – 5 a x – 3 + a x – 2
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Leyes de los exponentes
Las leyes necesarias para efectuar operaciones con potencias son:
Al multiplicar potencias de la misma base, el producto mantiene la
base y su exponente es igual a la suma de los exponentes de los
factores.
a a   a
m
n
m n
Al dividir potencias de la misma base, el cociente mantiene la base
y su exponente es igual a la diferencia entre el exponente del
numerador y el exponente del denominador.
a m  a n  a m n
La potencia de un producto es igual a la potencia de cada uno de
los factores.
abcn  a nb n c n
n
La potencia de un cociente, es igual a la potencia del dividendo  a 
an
   n
entre la potencia del divisor.
b
b
Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se
multiplican los exponentes.
a 
m n
 a mn
La potencia cero de cualquier cantidad, excepto el cero, es igual a
la unidad.
Toda potencia de exponente negativo equivale a una fracción cuyo
numerador es la unidad y su denominador es el mismo término
pero con exponente positivo.
X.
Simplifica:
a)
b)
c)
[
d)
e) –
[
] —
]
]
1
an
)
[
]
{ (
f)
g)
h) { (
(
{
{(
i)
XI.
[
[
an 
)}
(
)
)
)}
)(
)}}
Multiplica:
a) 3x3 – a3 + 2ax3 por 2a2 – x2 – 3ax
b)
por
a  2 y x 1  3x a y x 1  4x a 1 y x
a 1 y x  2  10x 2a  3 y x  4x 2a  2 y x 1
c) x
por  2x
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XII.
Divide:
a) – 20mx2 y3 entre 4xy3
b) – x myn za entre 3xy2 z3
c) – 3x2a + 3 y3a – 2 entre –5 xa – 4 ya – 1
d) 2axbm – 6a x + 1 b m – 1 – 3a x + 2 bm – 2 entre –2a3 b4
e)
XIII.
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Módulo 1: Álgebra
3 3
2
5
1
5
x y  x 2 y 2  x y 3  y 4 entre
y
4
3
6
2
6
Efectúa las siguientes divisiones:
a) Dividir
entre
b) Dividir
entre
c) Dividir
entre
d) Dividir
e) Dividir
entre
f) Dividir
entre
g) Dividir
h) Dividir
i) Dividir
entre
entre
entre
entre
1.4 Productos notables
Se llaman productos notables o especiales a algunos productos utilizados con frecuencia
que tienen ciertas características particulares y cuyos resultados pueden ser escritos sin
realizar completamente la multiplicación. Ver la siguiente tabla:
(a  b)2  a 2  2ab  b 2
Binomio al cuadrado
(a  b)2  a 2  2ab  b 2
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
Binomio al cubo
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
Binomios conjugados
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
Binomios con término común
( x  a)( x  b)  x 2  (a  b)x  ab
Binomios de la forma a  b(a  ab  b )
2
2
XIV.
Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado.
a)
b)
a  b(a2  ab  b2 )  a3  b3
a  b(a2  ab  b2 )  a3  b3
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
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XV.
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Desarrolla los siguientes binomios al cubo.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
XVI.
Desarrolla los siguientes binomios conjugados.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) [
[
] [
]
][
]
XVII.
Desarrolla los siguientes binomios con un término común.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) (–
XVIII.
)
h)
Desarrolla los siguientes binomios de la forma a  b(a 2  ab  b 2 ) .
a)
(4  a 2 )(16  4a 2  a 4 )
b)
( y  2)( y 2  2 y  4)
c)
(4 x 3  y)(16 x 6  4 x 3 y  y 2 )
d)
(8  3a 3 )(64  24a 3  9a 6 )
e)
(ab  4)(a 2 b 2  4ab  16)
f)
(a 2  6b)(a 4  6a 2 b  36b 2 )
g)
(5  3ay 3 )(25  15ay 3  9a 2 y 6 )
h)
(2 y 2  3xz 3 )(4 y 4  6 xy 2 z 3  9 x 2 z 6 )
i)
(3  m  n)(9  3m  3n  m 2  2mn  n 2 )
j)
( x  y  2)( x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  4)
XIX.
Desarrolla los siguientes productos notables.
2
a)
b)
 x 1


 3  y 


2x
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n


 10 10  2x n 
c)
x
d)
 2y  z3 
e)
a  b  1a  1 b 
2


 10 x 2  1 
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f)
6  2a b 15  2a b 
i)
b  2c  33 
g)
2xy  3z3 
j)
h)
a  2a  3a  2a  3 

 2x 

k)
x  1 yx  y  1 
2
2
2
y
 
x
1.5 Factorización
Factorizar una expresión algebraica es descomponerla en un producto de dos o más
factores.
ax  bx  x(a  b)
Factor común
ax  bx  ay  by  (a  b)( x  y)
Agrupación de términos
a 2  b 2  (a  b)(a  b)
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio general
(No
necesariamente
perfecto)
a 2  2ab  b 2  (a  b)2
cuadrado acx 2  (ad  bc)x  bd  (ax  b)(cx  d)
Suma y diferencia de cubos
XX.
a 2  2ab  b 2  (a  b)2
a 3  b 3  a  b(a 2  ab  b 2 )
a 3  b3  a  b(a 2  ab  b 2 )
Factoriza completamente por factor común las siguientes expresiones.
f)
a)
b)
g)
c)
h)
d)
e)
XXI.
Factoriza completamente las siguientes expresiones mediante la agrupación de
términos.
3
2
2
2
2
a) 4a 3 x  4a 2 b  3bm  3amx
f) 3x  2axy  2ay  3xy  2ax  3x y
b) n 2 x  5a 2 y 2  n 2 y 2  5a 2 x
c) 20ax  5bx  2by  8ay
g) a 2 b 3  n 4  a 2 b 3 x 2  n 4 x 2  3a 2 b 3 x  3n 4 x
d) 3a 2  7b 2 x  3ax  7ab 2
e) 3ax  2by  2bx  6a  3ay  4b
h) ax  bx  cx  ay  by  cy  az  bz  cz
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XXII.
Factoriza completamente las siguientes diferencias de cuadrados:
b)
a)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
XXIII.
Factoriza completamente los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
k)
XXIV.
XXV.
Factoriza completamente los siguientes trinomios generales de la forma
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Factoriza completamente las siguientes sumas y diferencias de cubos:
a) 8a 3  27b 6
b) a 3  (a  1) 3
c) 64a 3  729
3
3
d) (a  1)  (a  3)
e) 343x 3  512 y 6
f)
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( x  y) 3  ( x  y) 3
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h) (m  2) 3  (m  3) 3
g) x 3 y 6  216y 9
8x 9  125 y 3 z 6
j)
8(a  b) 3  (a  b) 3
k) 27m 6  343n 9
l)
64(m  n) 3  125
i)
XXVI.
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Factoriza completamente las siguientes expresiones:
3
a) 6m  9n  21nx  14mx 
i) 27x 3  x  y  
b)
a 6  2a 3b 3  b 6 
c)
1
d)
a  a  1 
e)
x  y 
f)
c 4  5c 2  100 
g)
4m 4  81n 4 
h)
x 2  8x  180 
2b b 2


3
9
2
6
2
 n  m  2nx  y  
2
j)
ax 3  10ax 2  25ax 
k)
64  x 6 
l)
5a 4  3125 
m)  12x 2  6x  8x 3  1 
2
n)
x 7  x 4  81x 3  81 
Ejercicios adicionales
a) 35m2n3 - 70m3
b) a4-2a2b2+b2
c) 3a2b + 6ab - 5a3b3 + 8a3bx + 4ab2m
d) a2 – 13a + 40
e) 4x2 - (x+y)2
f)
g) (a+x)2 - (x+2)2
h) a2 + 7a – 60
i)
m2 + 13m - 30
49m6 - 70am3n2 + 25a2n4
1.6 Fracciones algebraicas
El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es la expresión
algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente
por cada una de las expresiones dadas.
Para obtener el m.c.m de monomios y polinomios, se descomponen las expresiones
dadas en sus factores primos. El m.c.m es el producto de los factores primos, comunes y
no comunes, con su mayor exponente.
Ejemplo:
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Módulo 1: Álgebra
a  12a  1  3a  1  2a 2  4
a 1
a 1
a 1
a 1
 2



2
2
6a  3 4a  4a  1 32a  1 2a  12
32a  1
32a  1
Operaciones con fracciones algebraicas
Las operaciones básicas con fracciones algebraicas se realizan de la misma manera que
en aritmética, pero considerando las leyes de los exponentes.
XXVII.
XXVIII.
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Efectúa las siguientes fracciones algebraicas:
a)
b)
c)
d) De
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
XXIX.
Restar
resta
de
Efectúa las siguientes fracciones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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l)
k)
XXX.
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Efectúa las siguientes fracciones algebraicas:
a)
b)
c)
d)
2. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
2.1 Ecuaciones de primer y segundo grado con una variable
Una ecuación es una igualdad que se satisface para determinados valores de la incógnita
involucrada. Cualquier valor que sustituido en la ecuación la satisfaga recibe el nombre de
raíz de la ecuación.
Por ejemplo, x 2 - 3x - 10 = 0 es una ecuación y su raíz es x = –2 pues al sustituir se obtiene:
( -2 )2 - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0
Una ecuación de primer grado con una incógnita es aquella cuyo máximo valor para el
exponente de la incógnita es uno. Por ejemplo:
son ecuaciones de primer grado cuya incógnita es x . Comúnmente reciben el nombre de
ecuaciones lineales con una incógnita.
En forma análoga, una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella cuyo
máximo valor para el exponente de la incógnita es dos. Las ecuaciones:
x 2 - 3x - 10 = 0
a2 + 6a + 5 = 9
y( y - 4 ) = 7( 2 - y )
son de segundo grado. Comúnmente reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas.
Para calcular las raíces de ecuaciones cuadráticas, o bien para resolver la ecuación se
utilizan diferentes métodos. El más común es factorizando y utilizando la propiedad “si un
producto es igual a cero entonces alguno de los factores es cero”.
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Nota: NO todas las ecuaciones tienen solución en los números reales. Por ejemplo
x 2 + 1 = 0 , ya que NO existe número real alguno que sustituido en la ecuación satisfaga la
igualdad.
1. Resolver las siguientes ecuaciones.
x 3x x - 6
a) b) y - [4 - (y + 1)] = 4y - 15
c) ( x + 2 )2 = -8
=
2 5
2
1
1
2
d)
+ =
x +3 x x +1
g) ( x +
a
a
a
)( x - ) =
3
3
3
a -1 a - 2
e)
+
=1
a +3 a +1
a2 + b2 b a - b
- =
f)
2bx
x
x
h) 2x 2 - 2x - 1 = 0
i)
2x - b
x
2x
=
b
x + b 4b
En los ejercicios f), g) e i) las literales a y b considerarlas como constantes.
2.2 Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella cuyo máximo exponente para cualquiera
de las dos incógnitas es uno. Por ejemplo:
2x + 3 y - 6 = 9
3w - 9z = 23
z y
+ = 12
3 4
son ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La ecuación lineal con tres incógnitas se define de la misma manera que el caso anterior
solamente que posee tres incógnitas. Ejemplos:
2 x - 3y + 5z = 9
a
+ 5( b - 2 ) = 3c
2
(2 - x) +
( y +5) ( z -3)
=8
4
9
2.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Los métodos de suma y resta, de sustitución y de igualación se utilizan para resolver
sistemas de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas, dichos sistemas son de la forma:
a1 x  b1 y  c1  0
a 1 , b1  0
a 2 x  b2 y  c 2  0
a 2 , b2  0
donde x e y representan simultáneamente
los mismos números en ambas ecuaciones.
Un par de valores x e y que satisfacen
ambas ecuaciones se llama solución común
del sistema. La solución de estos sistemas
tiene un significado geométrico; para el
sistema de 2x2 (2 ecuaciones lineales con dos
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incógnitas) la solución es el punto de intersección de las rectas que representan dichas
ecuaciones.
Por ejemplo, al resolver el sistema:
2 x - 3y = 8
3x + 5y = -7
Tenemos que x = 1, y = -2 , donde el punto (1,-2) es precisamente la intersección de las
rectas que forman el sistema (ver figura).
Sin embargo, un par de rectas puede NO cortarse, en ese caso el sistema NO tendrá
solución algebraica.
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando cualquiera de los métodos
mencionados: suma y resta, igualación y sustitución.
a) {
b) {
c) {
d) {
e) {
f)
g) {
i)
{
h) {
j)
{
{
k)
{
2.4 Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas
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El método algebraico que se emplea para resolver sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas cuando una de las ecuaciones es cuadrática y la otra lineal, consiste en despejar
una de las incógnitas de la ecuación lineal y sustituir dicho despeje en la ecuación
cuadrática, se obtendrá una ecuación cuadrática, se resuelve dicha ecuación para obtener
los valores de una de las incógnitas y. para finalizar se sustituyen ambos valores en el
despeje del inicio para obtener las soluciones correspondientes a la otra incógnita.
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
a) {
b) {
c) {
d) {
e) {
f)
{
g) {
Existen otros sistemas de ecuaciones cuyas soluciones pueden obtenerse utilizando una
ecuación cuadrática. Una ecuación con dos incógnitas, digamos x e y se llama simétrica,
con respecto a estas incógnitas, si la ecuación NO se altera al intercambiar x con y .
Ejemplos de tales ecuaciones son x + y = 3 o bien x 2 + 2 xy + y 2 = 4 . Un sistema de dos
ecuaciones, ambas simétricas, con respecto a sus incógnitas se resuelve mediante la
sustitución
,
.
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.
a) {
c) {
e) {
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b) {
d) {
f)
{
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