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C AP ÍTULO
13
Geometría como sistema
matemático
Resumen del contenido
Habiendo experimentado todos los conceptos de un curso estándar de geometría, los
estudiantes están listos para examinar el marco de trabajo del conocimiento
geométrico que han aprendido. Los estudiantes ahora repasan y profundizan su
comprensión de aquellos conceptos, demostrando algunas de las conjeturas más
importantes en el contexto de un sistema lógico, comenzando con las premisas de
la geometría.
Premisas y teoremas
Un sistema deductivo completo debe comenzar con algunas suposiciones que estén
claramente enunciadas e, idealmente, sean tan obvias que no necesiten ser
defendidas. El Capítulo 13 comienza exponiendo sus suposiciones: propiedades de la
aritmética e igualdad, postulados de la geometría y una definición de congruencia
para ángulos y segmentos de recta. Estas suposiciones básicas se denominan
premisas. Todo lo demás se basa en estas premisas.
Luego, los estudiantes desarrollan demostraciones de sus conjeturas relativas a
triángulos, cuadriláteros, círculos, semejanza y geometría de coordenadas. Una vez
que se ha probado una conjetura, se denomina teorema. Cada paso de una prueba
debe ser respaldada por una premisa o un teorema previamente probado.
Desarrollo de una prueba
El desarrollo de una prueba es más arte que ciencia. Los matemáticos no se sientan y
escriben de una vez una prueba de principio a fin, de modo que dígale a su
estudiante que no espere hacerlo. Las pruebas requieren de pensamiento y
creatividad. Generalmente, el estudiante comenzará escribiendo lo que está dado y lo
que se pretende demostrar —el principio y el final de la prueba. Luego, quizá
utilizando diagramas, el estudiante volverá a expresar la primera y última afirmación
de varias maneras, buscando una idea de cómo llegar de uno al otro lógicamente.
Puede recordarle sobre las estrategias de razonamiento que pueden ayudar a
planificar una prueba:
Dibuje un diagrama rotulado y marque lo que sabe
● Represente una situación algebraicamente
● Aplique conjeturas y definiciones previas
● Divida al problema en partes
● Agregue una recta auxiliar
● Piense de atrás para adelante
Preguntas que puede hacer a su estudiante: “¿Qué puedes concluir con las
afirmaciones dadas?” y “¿Qué hace falta para probar la última afirmación?” Viendo
las conexiones, el estudiante puede desarrollar un plan, quizás expresado mediante
organigramas. Hay varias maneras de expresar el plan, y su estudiante podrá utilizar
más de una. Luego puede escribir la prueba, teniendo cuidado de revisar el
razonamiento. Una buena manera de cuidar los detalles es escribir una prueba de
dos columnas, con afirmaciones en la primera columna y los motivos en la segunda.
Su estudiante podría encontrar lagunas en su razonamiento y tener que volver a la
etapa de planificación.
Si no parece haber ninguna manera de probar la afirmación, puede sugerir el
razonamiento indirecto, en el cual el estudiante demuestra que la negación del
teorema es falsa. De allí se deduce que el teorema debe ser verdadero.
●
(continúa)
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Capítulo 13 • Geometría como sistema matemático (continuación)
Problema resumen
Dibuje un diagrama que dé un árbol genealógico para todos los teoremas de
triángulos que aparecen en los ejercicios de la Lección 13.3. Incluya postulados y
teoremas, pero no definiciones ni propiedades.
Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:
●
●
¿Puedes ampliar árbol de la página 707?
¿Qué representan las flechas en palabras?
Ejemplos de respuestas
Un árbol genealógico muestra cómo los teoremas se respaldan unos a otros. Un
teorema puede depender de varios teoremas, cada uno de los cuales depende de
otros teoremas y así sucesivamente, hasta llegar a los postulados de la geometría. La
parte superior del árbol genealógico debería tener todos los postulados, y todas las
flechas deberían fluir desde allí hacia abajo. Los diagramas pueden resultar bastante
complejos. No se preocupe demasiado por la prolijidad o cuán completo esté; el
objetivo es ver cómo se puede ampliar la estructura mientras se repasan los
teoremas. Aquí está el árbol completo.
Postulado
SAS
Postulado
ASA
Postulado de
las paralelas
Postulado
CA
Postulado del
par lineal
Postulado de la suma
de los ángulos
Postulado
SSS
Teorema VA
Teorema AIA
Teorema del
triángulo isósceles
Teorema de la
suma angular
en triángulos
Teorema de
las mediatrices
Teorema del
tercer ángulo
Teorema de
congruencia SAA
Recíproco del Teorema
del triangulo isósceles
Teorema de la
bisectriz de ángulo
Recíproco del Teorema
de la bisectriz de ángulo
Teorema de congruencia
de la bisectriz de ángulo
Teorema de bisectriz de
ángulo de lados congruentes
Teorema de altitud de
lados congruentes
Teorema de medianas
de lados congruentes
Teorema de coincidencia
de mediatrices
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Recíproco del Teorema de
la mediatriz
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Capítulo 13 • Ejercicios de repaso
Nombre
Período
Fecha
1. (Lección 13.1) Nombra la propiedad que respalda cada afirmación:
CD
y CD
EF
, entonces AB
EF
.
a. Si AB
CD
, entonces AB CD.
b. Si AB
2. (Lecciones 13.2, 13.3) En la Lección 13.2, Ejemplo B, el Teorema de la
suma angular en triángulos se prueba con una prueba de organigrama.
Vuelve a escribir esta prueba usando una prueba de dos columnas.
Dado: 1, 2 y 3 son los tres ángulos de ABC
Demuestra: m1 + m2 + m3 180°
3. (Lecciones 13.2, 13.4) Responde las siguientes preguntas para el
enunciado, “Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes”.
a. Tarea 1: Identifica lo dado y lo que debes demostrar.
b. Tarea 2: Dibuja y rotula un diagrama para ilustrar la
información dada.
c. Tarea 3: Vuelve a formular lo dado y lo que debes demostrar en
términos de tu diagrama.
4. (Lección 13.6) Escribe una prueba para el Teorema de arcos congruentes
con secantes paralelas: Las rectas paralelas cortan arcos congruentes
sobre un círculo.
5. (Lección 13.7) Escribe una prueba para el Teorema de las altitudes
correspondientes: Si dos triángulos son semejantes, entonces las altitudes
correspondientes son proporcionales a los lados correspondientes.
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SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 13
1. a. Propiedad transitiva
b. Definición de congruencia
2.
K
4
C
2 5
1
A
3
B
Afirmación
Motivo
1, 2 y 3 de ABC
Dado
AB
Construye KC
Postulado de paralelo
1 4; 3 5
Teorema de ángulos alternos internos
m1 m4; m3 m5
Definición de congruencia
m4 m2 mKCB
Postulado de suma angular
KCB and 5 son suplementarios
Postulado de par linear
mKCB m5 180°
Definición de suplementario
m4 m2 + m5 180°
Propiedad de sustitución de igualdades
m1 m2 m3 180°
Propiedad de sustitución de igualdades
3. a. Dado: Trapecio isósceles
Demuestra: Las diagonales son congruentes
b.
A
D
B
C
DC
; AD
BC
c. Dado: AB
Demuestra: AC DB
4.
B
C
A
D
DC
Dado: AB
BC
Demuestra: AD
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Afirmación
Motivo
DC
AB
Dado
Construye AC
Postulado de rectas
DCA BAC
Teorema de ángulos alternos internos
mDCA mBAC
Definición de congruencia
1
mBAC
2
Propiedad de la multiplicación de igualdades
1
mDCA
2
1mDCA
mAD
2
Teorema de ángulos inscritos
1mBAC
mBC
2
Teorema de ángulos inscritos
mA
A
D mBC
Propiedad de sustitución de igualdades
BC
AD
Definición de congruencia
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5.
J
C
K
B
L
R
P
D
y JR
Dado: CBD JKL; Altitudes CP
C
P CB
Demuestra: JR JK
Afirmación
Motivo
y JR
CBD JKL; Altitudes CP
Dado
BD
; JR
KL
CP
Definición de altitud
CPB y JRK son ángulos rectos
Definición de perpendicular
CPB JRK
Teorema de ángulos rectos son congruentes
CBD JKL
Los ángulos correspondientes de triángulos
semejantes son congruentes
CBP JKR
Postulado de semejanza AA
C
P C
B
JR JK
Los lados correspondientes de triángulos
semejantes son proporcionales
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