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Álgebra Lineal
Ma1010
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Departamento de Matemáticas
ITESM
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 1/26
Introducción
En este tema se presenta el concepto de vector de
coordenadas.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 2/26
Introducción
En este tema se presenta el concepto de vector de
coordenadas. Este concepto surge de la
necesidad de introducir nuevos sistemas
coordenados
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 2/26
Introducción
En este tema se presenta el concepto de vector de
coordenadas. Este concepto surge de la
necesidad de introducir nuevos sistemas
coordenados o sistemas coordenados que mejor
se adapten a una situación.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 2/26
Vector de coordenadas
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con
base B = {v1 , . . . , vn }.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 3/26
Vector de coordenadas
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con
base B = {v1 , . . . , vn }. Según un teorema
anterior, para cada v ∈ V existen escalares únicos
c1 ,. . . ,cn tales que:
v = c1 v 1 + · · · + cn v n
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 3/26
Vector de coordenadas
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con
base B = {v1 , . . . , vn }. Según un teorema
anterior, para cada v ∈ V existen escalares únicos
c1 ,. . . ,cn tales que:
v = c1 v 1 + · · · + cn v n
n
El vector en R cuyas componentes son los
coeficientes de v, expresado como [v]B , se
llama vector de coordenadas o vector
coordenado de v con respecto a B:


c1


[v]B =  ... 
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
cn
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 3/26
Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 4/26
Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 4/26
Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B. Mantendremos fijo este orden
usando siempre una base ordenada:
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 4/26
Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B. Mantendremos fijo este orden
usando siempre una base ordenada: este
concepto se referirá a una base que a pesar de
ser conjunto se considerará en un orden
determinado.
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 4/26
Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B. Mantendremos fijo este orden
usando siempre una base ordenada: este
concepto se referirá a una base que a pesar de
ser conjunto se considerará en un orden
determinado. Recuerde que en la definición
matemática de conjunto, el orden de los elementos
no afecta el conjunto,
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 4/26
Nota
Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B. Mantendremos fijo este orden
usando siempre una base ordenada: este
concepto se referirá a una base que a pesar de ser
conjunto se considerará en un orden determinado.
Recuerde que en la definición matemática de
conjunto, el orden de los elementos no afecta el
conjunto, sin embargo, en la definición de base
ordenada el orden es importante.
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 4/26
Teniendo disponible una gráfica a veces es posible
determinar con relativa facilidad los vectores de
coordendas.
Ejemplo
Si
B=
Se tiene
"
!#
3
=
3
B
("
2
1
2
1
# "
! "
,
,
−1
1
−3
0
#)
!#
Rn
=
B
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
−1
1
!
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Para ello vea la figura 1.
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 5/26
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
4
2
Rn
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
-2
-4
Figura 1: Nuevo Sistema Coordenado
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 6/26
Ejemplo
Determine el polinomio p(x) sabiendo que su
vector de coordenadas respecto a la base
B = {v1 = 1 − 7 x, v2 = −5 − 4 x}
es
[p(x)]B =
"
−6
2
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
#
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 7/26
Ejemplo
Determine el polinomio p(x) sabiendo que su
vector de coordenadas respecto a la base
B = {v1 = 1 − 7 x, v2 = −5 − 4 x}
es
[p(x)]B =
"
−6
2
#
Rn
Solución
Recuerde que el vector de coordenadas se forma
con los coeficientes de la combinación lineal de
los elementos de la base para dar el vector:
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 7/26
por tanto
p(x) = −6 v1 + 2 v2 ,
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 8/26
por tanto
p(x) = −6 v1 + 2 v2 ,
es decir
p(x) = −6 (1 − 7 x) + 2 (−5 − 4 x) ,
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 8/26
por tanto
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
p(x) = −6 v1 + 2 v2 ,
es decir
p(x) = −6 (1 − 7 x) + 2 (−5 − 4 x) ,
por tanto
Rn
p(x) = −6 + 42 x − 10 − 8 x = −16 + 34 x Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 8/26
Ejemplo
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Determine la matriz m sabiendo que su vector de
coordenadas respecto a la base
7
0
1 −1
−7 −3
−3
5
B=
,
,
,
1
−7
−5
−6
−1
−4
−3
−2
Rn
es



[m]B = 

−1
−2
−4
3





Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 9/26
Solución
Directamente de la definición de vector de
coordenadas:
m = −1
h
−3
5
1
−7
i
−2
h
7
0
−5
−6
i
+4
h
1
−1
−1
−4
i
+3
h
−7
−3
−3
−2
i
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 10/26
Solución
Directamente de la definición de vector de
coordenadas:
m = −1
h
−3
5
1
−7
i
−2
h
7
0
−5
−6
i
+4
h
1
−1
−1
−4
i
+3
h
−7
−3
−3
−2
i
desarrollando los productos

m=
3
−1
−5
7


+
−14
0
10
12


+
4
−4
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
−4
−16


+
−21
−9
−9
−6
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 10/26
Solución
Directamente de la definición de vector de
coordenadas:
m = −1
h
−3
5
1
−7
i
−2
h
7
0
−5
−6
i
+4
h
1
−1
−1
−4
i
+3
h
−7
−3
−3
−2
i
desarrollando los productos

m=
3
−5
−1
7


+
−14
0
10
12


4
+
−4
−28 −18
−4 −3
#
−4
−16
por tanto
m=
"
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base


+
−21
−9
−9
−6
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 10/26
Ejemplo
En P1 , determine el vector de coordenadas del
polinomio
p(x) = −2 − 5 x
respecto a la base ordenada
B = {v1 = 2 − 4 x, v2 = 4 + x}
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 11/26
Ejemplo
En P1 , determine el vector de coordenadas del
polinomio
p(x) = −2 − 5 x
respecto a la base ordenada
B = {v1 = 2 − 4 x, v2 = 4 + x}
Rn
Solución
Buscamos escalares c1 y c2 tales que:
−2 − 5 x = p(x) = c1 (2 − 4 x) + c2 (4 + 1 x)
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 11/26
Ejemplo
En P1 , determine el vector de coordenadas del
polinomio
p(x) = −2 − 5 x
respecto a la base ordenada
B = {v1 = 2 − 4 x, v2 = 4 + x}
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Solución
Buscamos escalares c1 y c2 tales que:
−2 − 5 x = p(x) = c1 (2 − 4 x) + c2 (4 + 1 x)
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Es decir
−2 − 5 x = (2 c1 + 4c2 ) + (−4 c1 + 1 c2 )x
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 11/26
Esto se convierte en el sistema
2 c1 + 4 c2 = −2
−4 c1 + 1 c2 = −5
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 12/26
Esto se convierte en el sistema
2 c1 + 4 c2 = −2
−4 c1 + 1 c2 = −5
Formando la matriz aumentada y reduciéndola
#
"
#
"
1 0
2 4 −2
1
→
−4 1 −5
0 1 −1
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 12/26
Esto se convierte en el sistema
2 c1 + 4 c2 = −2
−4 c1 + 1 c2 = −5
Formando la matriz aumentada y reduciéndola
#
"
#
"
1 0
2 4 −2
1
→
−4 1 −5
0 1 −1
Por tanto, c1 = 1 y c2 = −1 y
"
[p(x)]B =
1
−1
#
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 12/26
Ejemplo
En M2×2 , determine el vector de coordenadas de
la matriz
"
#
−4 −1
m=
5
4
respecto a la base ordenada
4 −4
−3
0
B=
,
,
0
−5
−1
−5
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
−5
−2
−1
−2
,
5
−4
5
1
1
Teorema
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 13/26
Solución
Buscamos c1 , c2 , c3 , y c4 tales que:


−4
5
−1
4


 = c1 
4
0
−4
−5


+c2 
−3
−1
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
0
−5


+c3 
−5
−1
−2
−2


+c4 
5
5
−4

1

Álgebra Lineal - p. 14/26
Solución
Buscamos c1 , c2 , c3 , y c4 tales que:


−4
5
−1
4


 = c1 
4
0
−4
−5


+c2 
−3
−1
0
−5


+c3 
−5
−1
−2
−2


+c4 
5
5
−4

1

Es decir, tales que:


−4
5
−1
4


=
4c1 − 3 c2 − 5 c3 + 5 c4
0c1 − 5 c2 − 1 c3 + 5 c4
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
−4c1 + 0 c2 − 2 c3 − 4 c4
−5c1 − 2 c2 − 2 c3 + 1 c4


Álgebra Lineal - p. 14/26
Igualando cada entrada se convierte en el sistema:
+
−
+
−
4 c1
4 c1
0 c1
5 c1
−
+
−
−
3 c2
0 c2
5 c2
2 c2
−
−
−
−
5 c3
2 c3
1 c3
2 c3
+
−
+
+
5 c4
4 c4
5 c4
1 c4
= −4
= −1
=
5
=
4
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 15/26
Igualando cada entrada se convierte en el sistema:
+
−
+
−
4 c1
4 c1
0 c1
5 c1
−
+
−
−
3 c2
0 c2
5 c2
2 c2
−
−
−
−
5 c3
2 c3
1 c3
2 c3
+
−
+
+
5 c4
4 c4
5 c4
1 c4
= −4
= −1
=
5
=
4
Al formar la matriz aumentada y reducirla:

1 0 0 0 − 13


12
4 −3 −5
5 −4

 0 1 0 0
1

 −4

0 −2 −2 −1 
6


→

5
 0 −5 −1
5
5 
 0 0 1 0
4

4
−5 −2 −2
1
17
0 0 0 1
12
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn








Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 15/26
Por tanto,




[m]B = 



13
− 12
1
6
5
4
17
12




 


Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 16/26
Vector de Coordenadas y Rm
Los siguiente resultado permite trasladar los
conceptos de dependencia lineal y espacios
generados a cualquier base.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 17/26
Vector de Coordenadas y Rm
Los siguiente resultado permite trasladar los
conceptos de dependencia lineal y espacios
generados a cualquier base. También justifica
nuestro proceso de vectorización para operar los
conceptos de espacios generados y dependencia
lineal.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 17/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial V de dimensión finita.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 18/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial V de dimensión finita. Sean
u, u1 , u2 , . . . , um vectores en V .
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 18/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial V de dimensión finita. Sean
u, u1 , u2 , . . . , um vectores en V . Entonces, u
es una combinación lineal de u1 , ...., um en
V , si y sólo si [u]B es una combinación lineal
de [u1 ]B , . . . , [um ]B en Rm .
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 18/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial V de dimensión finita. Sean
u, u1 , u2 , . . . , um vectores en V . Entonces, u
es una combinación lineal de u1 , ...., um en
V , si y sólo si [u]B es una combinación lineal
de [u1 ]B , . . . , [um ]B en Rm . Además, para los
escalares c1 ,. . . ,cm
u = c 1 u 1 + · · · + c m um
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
si y sólo si
[u]B = c1 [u1 ]B + · · · + cm [um ]B
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 18/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial n dimensional V .
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 19/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial n dimensional V . Entonces,
{u1 , . . . , um } es linealmente independiente
en V
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 19/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial n dimensional V . Entonces,
{u1 , . . . , um } es linealmente independiente
en V si y sólo si
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 19/26
Teorema
Sea B una base ordenada de un espacio
vectorial n dimensional V . Entonces,
{u1 , . . . , um } es linealmente independiente
en V si y sólo si {[u1 ]B , . . . , [um ]B } es
linealmente independiente en Rn .
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 19/26
Matriz de transición: Introducción
Sean B = {v1 , . . . , vn } y B ′ = {v′ 1 , . . . , v′ n } dos
bases ordenadas de un espacio vectorial de
dimensión finita.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 20/26
Matriz de transición: Introducción
Sean B = {v1 , . . . , vn } y B ′ = {v′ 1 , . . . , v′ n } dos
bases ordenadas de un espacio vectorial de
dimensión finita. Sea P la matriz n × n cuyas
columnas son [v1 ]B′ , . . . , [vn ]B′ :
P = [[v1 ]B′ [v2 ]B′ · · · [vn ]B′ ]
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 20/26
Matriz de transición: Introducción
Sean B = {v1 , . . . , vn } y B ′ = {v′ 1 , . . . , v′ n } dos
bases ordenadas de un espacio vectorial de
dimensión finita. Sea P la matriz n × n cuyas
columnas son [v1 ]B′ , . . . , [vn ]B′ :
P = [[v1 ]B′ [v2 ]B′ · · · [vn ]B′ ]
Entonces P es invertible y ésta es la única matriz
en la que para todo v ∈ V :
[v]B′ = P [v]B
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 20/26
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Figura 2: Múltiples Sistemas Coordenados
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 21/26
La matriz P del resultado anterior se
denomina matriz de transición o matriz de
cambio de base de B a B ′ .
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 22/26
Teorema
Si P es la matriz de transición de B a B ′ ,
entonces
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 23/26
Teorema
Si P es la matriz de transición de B a B ′ ,
entonces P−1 es la matriz de transición de
B ′ a B.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 23/26
Ejemplo
En R2 , determine la matriz de transición de la
base:
(" # " #)
1
0
,
B=
0
1
a la base:
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
′
B =
("
−6
−7
# "
,
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
0
5
#)
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 24/26
Solución
Lo que debemos hacer es determinar el vector de
coordenas de cada uno de los elementos de la
base vieja en función de la base nueva.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 25/26
Solución
Lo que debemos hacer es determinar el vector de
coordenas de cada uno de los elementos de la
base vieja en función de la base nueva. Aunque la
versión oficial consiste en trabajar con los vectores
uno por uno.
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 25/26
Solución
Lo que debemos hacer es determinar el vector de
coordenas de cada uno de los elementos de la
base vieja en función de la base nueva. Aunque la
versión oficial consiste en trabajar con los vectores
uno por uno. Es posible trabajarlos un solo
paquete combo:
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 25/26
Solución
Lo que debemos hacer es determinar el vector de
coordenas de cada uno de los elementos de la
base vieja en función de la base nueva. Aunque la
versión oficial consiste en trabajar con los vectores
uno por uno. Es posible trabajarlos un solo
paquete combo: Se forma la matriz aumentada:
[Basenueva |BaseV ieja ]
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 25/26
Solución
Lo que debemos hacer es determinar el vector de
coordenas de cada uno de los elementos de la
base vieja en función de la base nueva. Aunque la
versión oficial consiste en trabajar con los vectores
uno por uno. Es posible trabajarlos un solo
paquete combo: Se forma la matriz aumentada:
[Basenueva |BaseV ieja ]
Y se aplica a esta matriz aumentada el proceso
de Gauss-Jordan.
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 25/26
Solución
Lo que debemos hacer es determinar el vector de
coordenas de cada uno de los elementos de la
base vieja en función de la base nueva. Aunque la
versión oficial consiste en trabajar con los vectores
uno por uno. Es posible trabajarlos un solo
paquete combo: Se forma la matriz aumentada:
[Basenueva |BaseV ieja ]
Y se aplica a esta matriz aumentada el proceso
de Gauss-Jordan. Al aplicar Gauss-Jordan
quedarán en el lugar adecuado los vectores de
coordenadas de cada un de los vectores de la
base vieja respecto a la base nueva:
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 25/26
es decir,
h
Basenueva |BaseVieja
i
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 26/26
es decir,
h
i
Basenueva |BaseVieja → [I|P]
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 26/26
es decir,
h
i
Basenueva |BaseVieja → [I|P]
Aplicando esta idea al problema:
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Álgebra Lineal - p. 26/26
es decir,
h
i
Basenueva |BaseVieja → [I|P]
Aplicando esta idea al problema:
"
#
−6 0 0 1
−7 5 1 0
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 26/26
es decir,
h
i
Basenueva |BaseVieja → [I|P]
Aplicando esta idea al problema:
"
#
#
"
1 0
−6 0 0 1
0 −1/6
→
−7 5 1 0
0 1 1/5 −7/30
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 26/26
es decir,
h
i
Basenueva |BaseVieja → [I|P]
Aplicando esta idea al problema:
"
#
#
"
1 0
−6 0 0 1
0 −1/6
→
−7 5 1 0
0 1 1/5 −7/30
Por tanto,
P=
"
0 −1/6
1/5 −7/30
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
#
Introducción
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y
Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
Transición
Teorema 3
Ejemplo 6
Álgebra Lineal - p. 26/26