Download Uso de las Identidades trigonometricas

Proyecto Guao
Identidades trigonométricas fundamentales
Se llaman identidades trigonométricas aquellas igualdades que contienen funciones de un ángulo o de
varios y se verifican cualquiera sea el valor que se le da al ángulo o a los ángulos. Una identidad
trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida
para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones.
Existen dos formas para demostrar una identidad:
1. Transformando uno de los miembros mediante relaciones trigonométricas hasta hacerlo
exactamente igual al otro.
Ejemplo:
Paso 1: Tomaremos el primer miembro
1
Proyecto Guao
Paso 2: Por la relación
Paso 3:Sacando común denominador
=
Paso 4: Sacando factor común en el numerador
=
Paso 5: Por la relación
=
Paso 6: Por ultimo multiplicando en el numerador
2. La segunda forma para demostrar una identidad es desarrollar separadamente cada miembro de la
igualdad hasta alcanzar una tercera expresión igual en ambos caso.
Ejemplo 2. Demostrar la siguiente identidad
sen2
=
Paso 1: Desarrollamos el primer miembro
sen2 =
Paso 2: Por la relación sen2
=
Paso 3: Sacando común denominador
2
Proyecto Guao
Paso 4: Sacando factor común
Paso 5:Por ser
=
Paso 6: Por ser
=
Desarrollamos el segundo miembro
=
Paso 1: Aplicando las relaciones de factorización
=
=
=
= tg
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Co mp r ob ar l a i d en ti dad
Solución
=
=1
Recuerde:
=
=
3
Proyecto Guao
2.
Comprobar
Sacamos factor común
=
=
3.
=
=
Comprobar
Por ser
=
4.
Comprobar
5.
Comprobar
=
6.
Demostrar:
sen2a=
Solución:
sen2a =
=
Desarrollamos el primer miembro
sen2a
=
sen a.cos a
= Sacando común denominador
4
Proyecto Guao
=
=
= Sacando factor común
= tg a
Desarrollamos el segundo miembro
=
=
=
7.
Demostrar que:
sec x= 1
csc x cot x
=
= tg a
Demostración: Pasando a senos y/o cosenos todas las funciones,
sabiendo que:
sec x= 1
;
csc x= 1
y cot x =cos x
cos x
sen x
sen x
sustituyendo en la igualdad original se obtiene que:
1
Cos x = 1
1
cos x
Sen x
senx
Aplicando la ley de la herradura:
Sen x= Sen x
Cos x Cos x
La igualdad que es cierta sin lugar a dudas, ya que cualquier cosa es
igual a sí mismo. Por lo tanto, ha quedado demostrada.
8.
Demostrar que
sen 2 x sec x = Sen x
Cot x
Demostración:
Pasando a senos y/o cosenos todas las funciones, sabiendo que
sec x= 1
y
cos x
cot x =cos x
sen x
Sustituyendo en la ecuacion original se obtiene:
sen 2 x. 1
cos x
= sen x
cos x
5
Proyecto Guao
sen x
Aplicando la ley de la herradura y haciendo multiplicaciones:
Sen2 x= Sen2 x
Cos x Cos x
La igualdad es cierta sin lugar a dudas, ya que cualquier cosa es
igual a sí mismo. Por lo tanto, ha quedado demostrada.
9.
Cotg(a+b)=cotga .cotgb-1
Cotga +cotg b
Cotg(a+b)=1
= 1
= 1- tga +tgb
Tg(a+b) tga+tgb
tga+tgb
1- tga.tgb
1
- tga.tgb
= tga.tgb tga.tgb
tga + tgb
tga.tgb tga.tgb
10.
Demostrar que:
Sen2x +cos2x=tanx.cotgx
= cotga .cotgb-1
Cotga +cotg b
Sen2x +cos2x =1 . cotgx
Cotgx
Simplificando el lado derecho
Sen2x +cos2x =1 Por ser tanx.cotgx =1
Queda demostrado:
Sen2x +cos2x = tanx.cotgx
Profesor : MILITZA INDABURO
Fe y Alegría
Versión :2015-10-22
6