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ÁLGEBRA LINEAL
ÁLGEBRA LINEAL
Florencio Guzmán Aguilar
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de prepensa: Gerardo Briones González
Diseño de interiores: Juan Bernardo Rosado Solís
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: © Thinkstockphoto
Revisión técnica: Alex Polo Velázquez
Álgebra lineal
Derechos reservados:
© 2014, Florencio Guzmán Aguilar
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-891-6
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente
obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y
por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
PRÓLOGO
La ciencia y la tecnología han desempeñado, a lo largo de la historia, y desempeñan, en la actualidad, un papel
fundamental en el desarrollo de la humanidad. La manera en la cual han contribuido éstas, ha sido modelando y
describiendo los fenómenos propios de la naturaleza y los generados por la misma sociedad, a través de leyes,
teorías, reglas, etcétera. Todas estas formas de interpretar y resolver la infinitud de problemas que se presentan
en la vida cotidiana, en todas las áreas de las ciencias, tienen lugar mediante el uso de ecuaciones.
El término ecuación proviene del vocablo en latín aequatio, que significa igualdad. Por tanto, una ecuación
representa o expresa, en su concepción más fundamental, la idea de un equilibrio perfecto. Las ecuaciones son,
en principio, expresiones abstractas o representaciones simbólicas que se han consolidado como la herramienta
matemática fundamental de la ciencia y la tecnología, porque con ellas los hombres han planteado y resuelto
sus problemas a situaciones concretas, en todos los ámbitos de su quehacer cotidiano.
Una infinidad de estos problemas se modelan y resuelven utilizando ecuaciones lineales. Las ecuaciones
lineales son de las más antiguas y de las más sencillas, matemáticamente hablando, pero esto no limita su aplicación a una inmensa variedad de problemas. Su uso se ha hecho común en situaciones tan amplias y variadas,
que van desde el cálculo de cosechas en determinada área de terreno, hasta el cálculo de la trayectoria de
un planeta o un satélite, el cálculo del crecimiento de una población, el cálculo de una reacción química o del
presupuesto de un país, el análisis de señales o de la estabilidad de una estructura, etcétera.
Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en plantear las ecuaciones lineales, entre los años 2000 y
1500 a. C. Mientras que los chinos ya utilizaban sistemas de ecuaciones lineales hacia el año 400 a. C., y resolvían dichos sistemas utilizando una regla que, en la práctica, es el conocido método de eliminación de Gauss
o de variables. Es precisamente C. F. Gauss quien primero tuvo conocimiento de estos escritos y, al describir
el movimiento del asteroide Pallas, obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Cabe
mencionar que los griegos no se interesaron a fondo en este tipo de problemas lineales, aunque sus desarrollos
geométricos, claramente tienen un pensamiento lineal.
Los sistemas de ecuaciones lineales dieron origen a dos importantes conceptos matemáticos: los vectores
y los espacios vectoriales, los cuales fueron desarrollados por J. R. D’Alambert, L. Euler, J. L. Lagrange y W. R.
Hamilton, entre otros reconocidos matemáticos. Posteriormente, J. J. Silvestre definió el concepto de matriz y
junto con A. Cayley desarrollaron el álgebra matricial, donde incluyen las transformaciones lineales y las formas
cuadráticas, como casos particulares de esta teoría matricial. Por último, el matemático C. Jordan introdujo su
forma canónica de Jordan.
La noción del determinante aparece con G. Leibniz, quien obtuvo un resultado que se conoce como la regla
de Cramer. Otras contribuciones a este nuevo desarrollo matemático se deben a C. MacLaurin, G. Cramer, P. S.
Laplace, Gauss, C. G. J. Jacobi, entre otros. Por su parte, A. L. Cauchy introdujo el concepto de determinante en
el sentido que hoy conocemos y utilizamos, al igual que el término de ecuación característica y de valor propio
asociado con una matriz cuadrada.
Todos los conceptos antes mencionados y todos aquellos desarrollados posteriormente están englobados
y forman parte de un área de las matemáticas llamada: álgebra lineal. Como hemos visto, estas ideas han sido
decisivas en muchas áreas del conocimiento del desarrollo humano.
El presente texto de Álgebra lineal aborda los principales temas de esta rama de las matemáticas, que ha
enriquecido y se ha enriquecido de otras áreas, tanto al interior de las matemáticas como fuera de ellas. Diversas áreas de las matemáticas, la física, la biología, la química, las ciencias sociales, etcétera, son el interés del
álgebra lineal. Más recientemente, con la aparición de la computación y la informática, la tecnología también
se ha visto beneficiada con los desarrollos de estos adelantos tecnológicos, en diversas áreas, como el diseño
de estructuras, la robótica y el control, los códigos y la criptografía, entre otras. Por tanto, sobra mencionar la
importancia de aprender y comprender la teoría del álgebra lineal.
Esta obra tiene como fundamento los cursos de álgebra lineal que se imparten a nivel superior en el área de
ingeniería. A diferencia de otras obras, que contienen demasiado material extra (que en algunos casos no es
necesario, o bien, no es posible tratarlo en los cursos por cuestiones de tiempo), este libro presenta los temas
esenciales y necesarios para comprender, de una manera general, sin tantos tecnicismos teóricos, el álgebra
lineal y poder aplicar estos conocimientos en la resolución de los problemas de la ingeniería.
v
Contenido
En Álgebra lineal, la presentación de los temas se hace de una manera clara y práctica, mostrando los principales resultados del álgebra lineal de una forma natural, conforme se va desarrollando la teoría. El contenido se
presenta en un lenguaje sencillo y comprensible, tal como el que emplea el profesor frente al grupo. La solución
de los problemas resueltos que contiene el texto es totalmente explícita al mostrarse todos los pasos necesarios para el proceso de solución del problema. En tanto, los problemas para resolver son representativos de los
diversos temas que se abordan en el texto, y cuya solución implica el perfecto entendimiento y comprensión
de la teoría.
El contenido está distribuido como se relaciona a continuación. En la unidad 1 se describe la estructura general de una ecuación lineal y de un sistema de ecuaciones lineales, además de que se analizan los métodos para
resolverlas, los tipos de solución que pueden presentar y la relación de éstas con la geometría. En la unidad 2
se define el concepto de matriz y se desarrolla el álgebra matricial; se presenta el concepto del determinante
como parte fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales, con la regla de Cramer o con la matriz
inversa. La estructura y propiedades de los espacios vectoriales se presentan en la unidad 3, donde la idea más
importante son las bases de los espacios vectoriales, sus características y su construcción. En la unidad 4 se
estudian las propiedades y características de las transformaciones lineales, cómo determinar la inversa de una
transformación lineal y su representación matricial, también se detallan en esta unidad. Finalmente, en la unidad
5, se describe el problema de los valores y los vectores propios o característicos, el proceso de diagonalizar
matrices y, en particular, el uso de éstos en las formas cuadráticas y las secciones cónicas; por último, en esta
unidad también se tratan las formas canónicas de Jordan y el teorema de Cayley-Hamilton.
vi
Grupo Editorial Patria©
AGRADECIMIENTOS
Al Instituto Politécnico Nacional (IPN) por proporcionarme las
herramientas y la experiencia para poder realizar este trabajo; a la
COFAA y al programa de EDD del mismo instituto.
Florencio Guzmán Aguilar.
México D. F., 2011.
vii
Contenido
CONTENIDO
Unidad 1 Sistemas de ecuaciones lineales
1.1
Introducción
2
1.2
Ecuación lineal
2
1.3
Sistemas de ecuaciones lineales
4
1.4
Aplicaciones de los sistemas de
ecuaciones lineales
12
Aspectos geométricos de los sistemas de
ecuaciones lineales
18
1.5
Problemas para resolver
Unidad 2 Matrices y determinantes
viii
1
23
29
2.1
Introducción
30
2.2
Definición de matriz
30
2.3
Álgebra matricial
32
2.4
Representación matricial de un sistema de
ecuaciones lineales
34
2.5
El determinante
38
2.6
Menores y cofactores
42
2.7
Propiedades de los determinantes
44
2.8
Regla de Cramer
48
2.9
Matriz inversa
51
2.10 Matriz transpuesta
54
2.11 Matriz adjunta
55
2.12 Método alterno para encontrar la matriz inversa
57
Problemas para resolver
60
Grupo Editorial Patria©
Unidad 3 Espacios vectoriales
65
3.1
Espacios vectoriales
66
3.2
Subespacios vectoriales
67
3.3
Combinación lineal de vectores
69
3.4
Bases de espacios vectoriales
74
3.5
Matriz de cambio de base o de transición
78
3.6
Bases ortonormales
84
Problemas para resolver
Unidad 4 Transformaciones lineales
91
95
4.1
Transformaciones lineales
4.2
Núcleo o kernel de una transformación lineal
104
4.3
Imagen de transformaciones lineales
106
4.4
Representación matricial de una
transformación lineal
110
Problemas para resolver
Unidad 5 Valores y vectores característicos
96
122
127
5.1
Valores y vectores característicos
128
5.2
Polinomio característico y ecuación característica
131
5.3
Diagonalización de matrices
134
5.4
Diagonalización de matrices simétricas
138
5.5
Formas cuadráticas y secciones cónicas
146
5.6
Forma canónica de Jordan
150
Problemas para resolver
154
ix
UNIDAD
1
Sistemas de
ecuaciones lineales
OBJETIVOS
Determinar los tipos de solución que puede presentar una ecuación lineal.
Comprender la estructura general de un sistema de ecuaciones lineales.
Resolver los sistemas de ecuaciones lineales y analizar sus soluciones.
Analizar las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
Plantear sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas cotidianos.
Entender el significado geométrico en la solución de los sistemas de ecuaciones lineales.
¿QUÉ SABES?
¿Cuáles son las ecuaciones más comunes para resolver problemas?
¿Qué posible solución puede tener una ecuación lineal?
¿Cuál es la relación de rectas y planos con las ecuaciones lineales?
¿Cuáles son las múltiples aplicaciones que tienen las ecuaciones lineales para resolver
diversos problemas?
UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
1.1 Introducción
La linealidad es un término que utilizamos de manera frecuente en casi todos los ámbitos de nuestras actividades, debido a que, muchas veces, de manera inconsciente, lo usamos para describir situaciones sencillas
o prácticas, o para simplificar un problema determinado. En efecto, el concepto lineal o de linealidad refleja
uno de los comportamientos, en cualquier área del conocimiento, más simples y sencillos de estudiar, modelar y resolver. Ya sea en ingeniería, biología, matemáticas, química, economía, física, etcétera, siempre surgen
fenómenos o problemas que tienen un carácter o comportamiento lineal.
Todas estas situaciones de tipo lineal pueden ser representadas mediante ecuaciones lineales o sistemas
de ecuaciones lineales de diversos tipos y características, lo que significa que, como se dijo antes, no por el
hecho de describir problemas no muy complejos o complicados, sean de poco interés. Por el contrario, los
resultados que se derivan de resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, tienen gran repercusión
tanto en la parte algebraica como en la parte geométrica, desde su planteamiento, hasta su solución.
Para ejemplificar esta situación, supongamos que vamos a viajar a determinado
estado del país; si consultamos un mapa de carreteras, podremos encontrar la distancia en kilómetros del punto de partida del viaje al punto destino. Dicha distancia
constituye los kilómetros que tenemos que recorrer siguiendo la carretera, la cual tiene
curvas, pendientes, desviaciones, etcétera. Pero, con toda seguridad, la distancia en
línea recta del origen al destino del viaje es una cantidad menor que la que aparece
en el mapa de carreteras. Con esta trayectoria recta, que es la más simple y sencilla de
todas las posibles, estamos simplificando un recorrido real de viaje.
Figura 1.1
Los ingenieros civiles utilizan
las ecuaciones lineales al
realizar los cálculos de los
proyectos de construcción.
Ahora, supongamos que nuestro automóvil tiene un consumo promedio de 10
kilómetros por litro de gasolina; esta relación entre la gasolina consumida por el
automóvil y los kilómetros recorridos es lineal. Esto facilita determinar, entre otras
cosas, cuántos kilómetros puede recorrer el automóvil con determinada cantidad de litros de gasolina;
por ejemplo, con 10 litros de gasolina el auto puede recorrer 100 kilómetros de distancia. Si graficamos ambos parámetros en un plano, donde uno de los ejes corresponda a los litros de gasolina y el otro
a los kilómetros, el resultado será una línea recta. Sin embargo, la realidad es muy distinta, ya que el
consumo de gasolina por kilómetros recorridos es una relación mucho más compleja, la cua depende de
muchos otros factores.
Este tipo de relaciones lineales, aunque simples, se utilizan para modelar y resolver una infinidad de
problemas y fenómenos en distintas áreas del conocimiento, por ejemplo, podemos aplicarlos en modelos
de crecimiento poblacional, teoría de grafos, modelos de insumo-producto, circuitos eléctricos, reacciones
químicas, ajustes de curvas, programación lineal, etcétera.
En esta primera unidad, se analizan la estructura general de una ecuación lineal y de un sistema de ecuaciones lineales, y con base en ésta se plantea su posible o posibles soluciones. Asimismo, se estudian las
múltiples aplicaciones de estas ecuaciones lineales, al plantear y resolver problemas de diversos tipos. Por
último, se relacionan las ecuaciones lineales con la geometría, ya que esta última disciplina nos permite visualizar gráficamente lo que algebraicamente estamos haciendo con las ecuaciones; además de que facilitan,
la mayoría de las veces, la solución de éstas.
1.2 Ecuación lineal
Alerta
El álgebra lineal se puede
utilizar en la solución de
problemas tan amplios
como la distribución de las
líneas de producción de una
maquiladora, el presupuesto
de un país, el cálculo de
la órbita de un satélite
artificial y el cálculo de la
estabilidad estructural de un
puente colgante en ingeniera
civil, entre muchos otros
casos del área de ingeniería.
2
Cuando se requiere resolver un problema, ya sea de tipo científico o de alguna aplicación tecnológica, en
cualquier área de la ciencia, en algún momento, por lo general siempre está involucrada una ecuación lineal
o un sistema de ecuaciones lineales. De allí la importancia de saber cómo plantear y resolver este tipo de
ecuaciones, así como de entender sus soluciones.
Una ecuación es lineal si las variables que aparecen en ésta sólo son de primer orden o grado, si en ella
no aparecen productos entre estas variables y si tampoco aparecen funciones o recíprocos de las variables.
La forma más general de escribir una ecuación lineal con n variables es:
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 1 … 1 anxn 5 b
donde las xi son las variables o incógnitas del sistema, las ai son números reales que llamaremos coeficientes
asociados a las variables y el término b, llamado coeficiente o término independiente, también es un número
real, en todos los casos i 5 1, 2, …, n. En general, a los números reales se les llama escalares.
Una solución de una ecuación lineal es un conjunto de n números reales i , con i 5 1, 2, …, n, tales que
satisfacen la siguiente igualdad:
a11 a2 2 a3 3 … an n b
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A continuación analizaremos las posibles soluciones que puede presentar una ecuación lineal, dependiendo
del número de variables que contenga y del valor de sus coeficientes, las cuales, en general, presentan tres
posibilidades cuando se resuelven. Comencemos por la ecuación lineal más sencilla.
❚ Caso 1
Ecuación lineal con una variable o incógnita ax 5 b.
Solución:
b
a) Si a fi 0 y b ∈ R (b puede tomar cualquier valor real), entonces la solución es x = , se dice que el sistema
a
tiene solución única.
b) Si a 5 0 y b fi 0, entonces obtenemos la ecuación 0 ∙ x 5 b, la cual no tiene solución, (no existe número
real x, tal que multiplicado por cero resulte diferente de cero).
c) Si a 5 0 y b 5 0, entonces obtenemos la ecuación 0 ∙ x 5 0, que tiene una infinidad de soluciones (cualquier número real x satisface la igualdad).
Problema resuelto
Encontrar la solución para cada una de las siguientes ecuaciones lineales:
a) 4x 2 1 5 x 1 6,
b) 2x 2 5 2 x 5 x 1 3,
c) 4 + x 2 3 5 2x 1 1 2 x,
Solución
7
a) Reescribimos la ecuación de la forma 3x 5 7, cuya solución es x = .
3
Por tanto, la ecuación tiene solución única.
b) Reescribimos la ecuación de la forma 0 ∙ x 5 8.
Por tanto, la ecuación no tiene solución.
c) Reescribimos la ecuación de la forma 0 ∙ x 5 0.
Cualquier número real es solución; por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
❚ Caso 2
Ecuación lineal con dos variables o incógnitas a1x1 1 a2x2 5 b
Solución:
Escribimos una de las variables de la ecuación en términos de la otra (no importa cuál de las dos, el resultado
no se altera).
Pongamos a x1 en términos o en función de x2, esto es,
a1x1 + a2 x 2 = b
⇒ a1x1 = b − a2 x 2
⇒
x1 =
b ⎛ a2 ⎞
−
x 2 , a1 ≠ 0,
a1 ⎜⎝ a1 ⎟⎠
a x2 se le llama parámetro libre, por lo cual puede tomar cualquier valor real, es decir,
x 2 R
así, x1 depende del parámetro libre y se obtiene sustituyendo el valor de x2, esto es,
x1 b a2
b a2 a1 a1 a1
Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones, las cuales dependen del valor que tome el
parámetro libre.
3
UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Problema resuelto
Resolver la siguiente ecuación lineal: 3x − 12y = − 6.
Solución
Escribimos la variable x en términos de la variable y, esto es:
3x ] 12y 5 ]6
⇒
3x 5 ]6 1 12y
⇒ x 5 ] 2 1 4y
Entonces, y es el parámetro libre y puede tomar cualquier valor
y 5 ^ ∈ R,
de manera que la variable x se escribe en términos de este parámetro como
y 5 ]2 1 4^
Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones generadas por los valores que le asignemos a ^.
Para obtener soluciones particulares a la ecuación lineal sólo le damos valores al parámetro libre ^; es decir,
si ^ 5 3
⇒
si ^ 5 ]1 ⇒
si ^ 5 0
⇒
y53
y
x 5 ]2 1 (4)(3) 5 10,
y 5 ]1
y
x 5 ]2 1 (4)(]1) 5 ]6,
y50
y
x 5 ]2 1 (4)(0) 5 ]2.
❚ Caso 3
Ecuación lineal con tres variables o incógnitas a1x1 + a2 x 2 + a3 x 3 = b
Solución:
Alerta
Cuando se resuelve una
ecuación lineal:
1. Podemos considerar
a cualquiera de las
variables de la ecuación
lineal como parámetros
libres; esto no afectará la
solución de la ecuación
lineal.
2. Para obtener soluciones
particulares de la
ecuación lineal, sólo le
damos valores específicos
a los parámetros libres.
3. Las ecuaciones lineales
de más de una variable
siempre tendrán un
número infinito de
soluciones debido a los
parámetros libres.
Escribimos una de las variables de la ecuación en términos de las dos restantes. Esto es:
a1x1 1 a2x2 1 a3x3 5 b
⇒
a1x1 5 b ] a2x2 1 a3x3
⇒
x1 =
a
b a2
x2 3 x3, a1 fi 0
−
a1
a1 a1
x2 y x3 son ahora los parámetros libres, que pueden tomar cualquier valor real. Esto es:
x 2 R ,
x 3 R ,
entonces, escribimos la variable x1 como función de estos parámetros libres
x1 a
b a2
3
a1 a1
a1
Por tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
1.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, las cuales contienen a las mismas variables o incógnitas, y la solución para las variables de una de las ecuaciones debe ser la misma para
las restantes ecuaciones del conjunto. Es decir, la solución debe ser simultánea para todas las ecuaciones.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas o variables se representa de forma general como:
a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 … + a1n x n = b1
a21x1 + a22 x 2 + a23 x 3 … + a2n x n = b2
a31x1 + a32 x 2 + a33 x 3 … + a3n x n = b3
…
am1x1 + am2 x 2 + am3 x 3 … + amn x n = bm
en las que las xj son las variables o incógnitas del sistema, las aij son los coeficientes asociados a las variables y
las bi son los coeficientes independientes. Donde i 5 1, 2, …, m indica el número de ecuaciones del sistema
y j 5 1, 2, …, n proporciona el número de variables del sistema.
Una solución del sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de n números reales i , con i 5 1, 2, …, n,
tales que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Al igual que para una sola ecuación
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lineal, un sistema de ecuaciones lineales, en general, puede tener solución única, un número infinito de soluciones o puede que no tenga solución.
Analicemos la manera de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que corresponde al
caso más sencillo de un sistema de ecuaciones lineales.
❚ Caso 4
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables o incógnitas
a11x1 + a12 x 2 = b1
(1)
a21x1 + a22 x 2 = b2
(2)
Solución:
a) Método de sustitución
Escribimos una de las variables, de cualquier ecuación, en términos de la otra y la sustituimos en la ecuación
restante, con esto obtenemos una ecuación lineal de una sola variable. La elección de la ecuación y de la
variable o incógnita es totalmente arbitraria.
De la ecuación (1) tenemos:
a11x1 a12 x 2 b1
x2 b1 a11
x1,
a12 a12
entonces, sustituimos x2 en la ecuación (2), de forma que:
b
a
a21x1 a22 1 11 x1 b2
a12 a12 a22a11 a22b1
b2
a21 a x1 a
12
12
a21a12 a11a22 a22b1 b2a12 a22b1
x1 b2 a
a12
a12
12
x1 b2a12 a22b1
a21a12 a11a22
Ahora, sustituyendo x1 en x2, tenemos:
x2 b1 a11 b2a12 a22b1 a12 a12 a21a12 a11a22 x2 1
a12
x2 1 a12 b1a21 b2a11 a12 a21a12 a11a22 x2 x2 1
a12
b2a11a12 b1a11a22 b1 a a a a
21 12
11 22
b1a21a12 b1a11a22 b2a11a12 b1a11a22 1
a
a21a12 a11a22
12
b1a21a12 b2a11a12 a a a a
21 12
11 22
b1a21 b2a11
a21a12 a11a22
b) Método de eliminación de variables
Otra manera de resolver el sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:
Eliminamos cualquiera de las dos variables del sistema mediante operaciones; por ejemplo, multiplicar las
ecuaciones por un escalar y sumar o restar ecuaciones.
Así, multiplicamos la ecuación (1) por a21 y la ecuación (2) por a11, para obtener:
a21a11x1 + a21a12 x 2 = a21b1
(3)
a11a21x1 + a11a22 x 2 = a11b2
(4)
Ahora, restamos la ecuación (4) de la ecuación (3), y la ecuación resultante la sustituimos por cualquiera de
las dos anteriores, esto es:
a21a11x1 + a21a12 x 2 = a21b1
(5)
(a21a12 − a11a22 ) x 2 = a21b1 − a11b2
(6)
donde la ecuación (6) sólo tiene una variable, de la cual podemos determinar su solución de forma directa.
Así que:
a b − a11b2
x 2 = 21 1
a21a12 − a11a22
5
UNIDAD
1
Alerta
Cuando resolvemos un
sistema de ecuaciones
lineales usando eliminación
de variables:
1. Aplicamos las
operaciones que se
obtienen de sistemas
de ecuaciones lineales
equivalentes.
2. Los sistemas de
ecuaciones lineales que
se obtienen mediante
las transformaciones
son equivalentes, en el
sentido de que todos ellos
tienen el mismo conjunto
solución.
3. Se requiere verificar que
la solución es válida
para todos los sistemas
de ecuaciones lineales
equivalentes.
Sistemas de ecuaciones lineales
De la misma forma, ahora multiplicamos la ecuación (1) por a22 y la ecuación (2) por a12,
a22a11x1 + a22a12 x 2 = a22b1
(7)
a12a21x1 + a12a22 x 2 = a12b2
(8)
Ahora restamos la ecuación (8) de la ecuación (7), y la ecuación resultante la sustituimos por cualquiera de
las dos anteriores, esto es
a22a11x1 + a22a12 x 2 = a22b1
(a22a11 − a12a21 ) x1 = a22b1 − a12b2
(9)
(10)
de la ecuación (10) podemos encontrar el valor de la segunda variable:
a b − a12b2
x1 = 22 1
a22a11 − a12a21
Las transformaciones u operaciones que se pueden aplicar a un sistema de ecuaciones lineales para obtener
un sistema equivalente, es decir, que tenga el mismo conjunto solución, son:
a) Cambiar el orden de las ecuaciones lineales dentro del sistema.
b) Multiplicar una o varias ecuaciones por un escalar, distinto de cero.
c) Sumar o restar ecuaciones.
Método de Gauss o de eliminación de variables
Consiste en un algoritmo o procedimiento para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales; en
general, durante este proceso se eliminan variables de las ecuaciones que conforman el sistema. De manera
que, al finalizar el procedimiento, en cada ecuación queda una sola variable, con su valor correspondiente,
el cual nos dará la solución del sistema.
Apliquemos el método al siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 … + a1n x n = b1
a21x1 + a22 x 2 + a23 x 3 … + a2n x n = b2
a31x1 + a32 x 2 + a33 x 3 … + a3n x n = b3
…
am1x1 + am2 x 2 + am3 x 3 … + amn x n = bm
1. Se eliminaron todos los términos que contienen a los coeficientes ai1 con i 5 2, 3,…, m, utilizando el coeficiente a11 y las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes.
2. En seguida, se eliminan los términos que contienen los coeficientes ai2 con i 5 3, 4,…, m, usando el coeficiente a22 y aplicando las operaciones que sirven para obtener ecuaciones equivalentes.
3. Este procedimiento se repite hasta terminar con la ecuación que contiene al término con el coeficiente amm; entonces, resolvemos esa ecuación lineal para la o las variables correspondientes, xm o am1k con
k 5 1, 2, 3,…, l, si el sistema tiene m ecuaciones con n 5 m 1 l, variables o incógnitas.
4. Una vez resuelta la última ecuación, hacemos una sustitución hacia atrás para obtener el valor de las variables restantes.
La forma final del sistema de ecuaciones lineales, equivalente al sistema de ecuaciones lineales original, que
se obtiene mediante este proceso, se conoce como forma escalonada, ya que todos los coeficientes aij 5 0
para i . j, para el caso de un sistema con más variables que ecuaciones,
a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + … + a1n x n = b1
a22 x 2 + a23 x 3 + … + a2n x n = b2
a33 x 3 + … + a3n x n = b3
…
amn x m + am +1x m +1 + … + amn x n = bm
Si el sistema de ecuaciones lineales tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas o variables,
m 5 n, entonces la última ecuación del sistema, después del proceso será:
amn x n = bm
6
Grupo Editorial Patria©
En caso de que alguno o algunos de los coeficientes aii, que son utilizados para eliminar los demás coeficientes, sean iguales a cero, entonces podemos intercambiar filas para seguir con el proceso, o en su caso dejar
la ecuación correspondiente como tal.
Para ilustrar el procedimiento del método de eliminación gaussiana o, simplemente, método de eliminación de variables, resolveremos algunos ejemplos. En éstos se analizan los diversos casos que se pueden
presentar, dependiendo del número de ecuaciones y de variables del sistema.
En adelante etiquetaremos a las ecuaciones como R1, R2, R3, etcétera, de manera que, (]1)R2 6 (5)R4 →
R2, significa que estamos multiplicando a la ecuación dos por menos uno y le estamos sumando/restando
cinco veces la ecuación cuatro, y la ecuación resultante de esta operación la sustituimos por la ecuación dos
del sistema.
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x 1 2y 1 z 5 3
R1
2x 1 5y ] z 5 ]4
R2
3x ] 2y ] z 5 5
R3
Solución
Forma escalonada x 1 2y 1 z 5 3
R2](2)R1 → R2
R3](3)R1 → R3
R3
⇒
z=
x 1 2y 1 z 5 3
y ] 3z 5 ]10
]8y ] 4z 5 ]4
R31(8)R2 → R3
y ] 3z 5 ]10
]28z 5 ]84
−84
=3
−28
R2 ⇒ y 5 ]10 1 3z 5 ]10 1 3(3) 5 ]1
R1 ⇒ x 5 3 ] 2y ] z 5 3 ] 2(]1) 5 2
⇒
Solución única
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5
R1
2x1 1 2x2 ] 3x3 1 x4 5 3
R2
3x1 1 3x2 ] 4x3 ] 2x4 5 1
R3
Solución
x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5
R2](2)R1 → R2
R3](3)R1 → R3
R3](2)R2 → R3
x3 ] 7x4 5 ]7
2x3 ] 14x4 5 ]14
x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5 ⇒ x1 1 x2 ] 2x3 1 4x4 5 5
x3 ] 7x4 5 ]7 ⇒ x3 ] 7x4 5 ]7
050
Forma escalonada
R2 ⇒
x3 5 ]7 1 7x4
R1 ⇒
⇒
x1 5 5 ] x2 1 2x3 ] 4x4
x1 5 2( 7 7 ) 4
⇒
⇒
⇒
⇒
x 4 R es un parámetro libre
x 3 7 7
x 2 R es un parámetro libre
x1 9 10
Soluciones infinitas
7
UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Método de eliminación de Gauss-Jordan
El procedimiento de eliminación de variables se aplica como en el método anterior, pero en éste se eliminan todos los coeficientes aij 5 0 para i fi j, si es posible. De manera que el sistema de ecuaciones lineales
equivalente que se obtiene al final del proceso sólo contiene una variable por ecuación, excepto en la última
ecuación del sistema, la cual puede contener más de una variable.
En el siguiente caso, aplicamos el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas,
a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 … + a1n x n = b1
a21x1 + a22 x 2 + a23 x 3 … + a2n x n = b2
a31x1 + a32 x 2 + a33 x 3 … + a3n x n = b3
…
am1x1 + am2 x 2 + am3 x 3 … + amn x n = bm
1. El coeficiente del primer término de la primera ecuación debe ser igual a uno, es decir, a11 5 1. Con éste
y con las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes, eliminamos todos los términos que contienen
a los coeficientes ai1 con i 5 2, 3,…, m.
2. Ahora, el coeficiente del segundo término de la segunda ecuación debe ser igual a uno, esto es: a22 5 1;
con este coeficiente y con las operaciones para obtener ecuaciones equivalentes, ahora eliminamos los términos que contienen los coeficientes ai2 con i fi 2.
3. Este procedimiento se repite en las ecuaciones restantes, de manera que se obtenga un sistema de ecuaciones lineales equivalente donde:
Alerta
Tanto para el Método de
eliminación de variables
como para el de GaussJordan:
1. La forma final del sistema
equivalente depende del
número de ecuaciones y
del número de incógnitas
o variables.
2. La forma final del sistema
equivalente depende del
tipo de solución que tenga
el sistema.
0 si i j
aij 1 si i j
si esto es posible.
4. Una vez que se obtiene la forma final del sistema equivalente, con base en el punto anterior, podemos
obtener la solución del sistema de ecuaciones lineales.
Al final de este procedimiento, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales equivalente de la forma siguiente,
x1 = c1
x2 = c2
x3 = c3
x m + dmk x k + + dmn x n = cm
Apliquemos el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver los siguientes ejemplos.
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
5x 1 11y ] 21z 5 ]22
R1
x 1 2y ] 4z 5 ]4
R2
3x ] 2y 1 3z 5 11
R3
Solución
R1↔R2
R11(2)R2 → R1
R31(8)R2 → R3
R11(2)R3 → R1
R21R3 → R2
8
x 1 2y ] 4z 5 ]4
5x 1 11y ] 21z 5 ]22
3x ] 2y 1 3z 5 11
R2](5)R1 → R2
R3](3)R1 → R3
x 1 2y ] 4z 5 ]4
0]y1z52
0 ] 8y 1 15z 5 ]23
x 1 0 ] 2z 5 0
0]y1z52
0 1 0 ] 7z 5 ]7
(]1)R2 → R2
R3/7 → R3
x 1 0 ] 2z 5 0
0 1 y ] z 5 ]2
0101z51
x101052
0 1 y 1 0 5 ]1
0101z51
⇒
x52
y 5 ]1 Solución única
z51
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Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x 1 2y ] 3z 5 1
R1
2x 1 5y ] 8z 5 4
R2
3x 1 8y ] 13z 5 7
R3
Solución
x 1 2y ] 3z 5 1
R2](2)R1 → R2
R3](3)R1 → R3
x 1 2y ] 3z 5 1
0 1 y ] 2z 5 2
0 1 2y ] 4z 5 4
R2 ⇒ y 5 2 1 2z
R1 ⇒ x 5 1 ] 2y 1 3z
z R
y = 2 + 2α
x 1 2(2 2 ) 3
3
0 1 y ] 2z 5 2
0101050
R3](2)R2 → R3
⇒
z 5 es un parámetro libre,
z 5 ]1
y 5 2 1 2(]1) 5 0
Soluciones
infinitas
Solución
particular
x 5 ]3 ] (]1) 5 ]2
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2a 1 8b 1 6c 5 20
R1
4a 1 2b ] 2c 5 ]2
R2
3a ] b 1 c 5 11
R3
Solución
R1/2 → R1
R2/2 → R2
a 1 4b 1 3c 5 10
2a 1 b ] c 5 ]1
3a ] b 1 c 5 11
R2](2)R1 → R2
R3](3)R1 → R3
R1](4)R2 → R1
a 1 0 ] c 5 ]2
01b1c53
R31(13)R2 → R3 0 1 0 ] 5c 5 20
a 1 4b 1 3c 5 10
R2/(]7)R1 → R2 0 1 b 1 c 5 3
R3/(5) → R3
R11R3 → R1
R2]R3 → R2
a 1 0 ] c 5 ]2
01b1c53
0101c54
a52
b 5 ]1
c54
a 1 4b 1 3c 5 10
0 ] 7b ] 7c 5 ]21
0 ] 13b ] 8c 5 ]19
a10]052
0 1 b 1 0 5 ]1
010]c54
Solución única
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x 1 2y ] 3z 1 4t 5 2
R1
2x 1 5y ] 2z 1 t 5 1
R2
5x ] 12y ] 7z 1 6t 5 7
R3
9
UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Solución
R1](2)R2 → R1
x 1 2y ] 3z 1 4t 5 2
R2](2)R1 → R2 0 1 y 1 4z ] 7t 5 ]3
R3](5)R1 → R3
0 1 2y 1 8z ] 14t 5 ]3
x ] 0 ] 11z 1 18t 5 8
0 1 y 1 4z ] 7t 5 ]3
R3](2)R2 → R3
R3
⇒
010101053
El sistema no tiene solución.
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x 1 2y 1 2z 5 2
R1
3x ] 2y ] z 5 5
R2
2x ] 5y 1 3z 5 ]4
R3
x 1 4y 1 6z 5 0
R4
Solución
R11R4 → R1
R2](3)R1 → R2
R3](2)R1 → R3
R3/(8) → R3
R1/(11) → R1
R2/(11) → R2
2x 1 6y 1 8z 5 2
3x ] 2y ] z 5 5
3a ] b 1 c 5 11
R1/(2) → R1
x ] 3y 1 4z 5 1
0 ] 11y ] 13z 5 2
0 ] 11y ] 5z 5 ]6
(11)R11(3)R2 → R1
11x 1 0 1 5z 5 17
x 1 3y 1 4z 5 1
3x ] 2y ] z 5 5
2x ] 5y 1 3z 5 ]4
0 ] 11y ] 13z 5 2
R3]R2 → R3
11x 1 0 1 5z 5 17
0 1 11y 1 13z 5 2
010]z51
R11(5)R3 → R1
R2](13)R3 → R2
0 1 11y 1 0 5 ]11
x101052
0 ] y 1 0 5 ]1
⇒
010]z51
x52
y51
z 5 ]1
0 1 0 ] 8z 5 8
11x 1 0 1 0 5 22
010]z51
Solución única
Otro tipo de problemas que resulta interesante resolver, por sus diversas aplicaciones, por ejemplo donde se
involucran multiplicadores de Lagrange, son aquéllos donde uno impone las condiciones necesarias al sistema para que tenga determinado tipo de solución, estas condiciones se introducen en ciertos parámetros, de
los cuales depende el sistema de ecuaciones lineales.
Problema resuelto
Para el siguiente sistema de ecuaciones determinar las condiciones en a, b, c, donde a, b, c e R para obtener:
a) Solución única.
b) Sin solución.
c) Soluciones infinitas.
x 1 2y ] 3z 5 a
10
R1
2x 1 6y ] 11z 5 b
R2
x ] 2y 1 7z 5 c
R3
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Solución
x 1 2y ] 3z 5 a
R2](2)R1 → R2
0 1 2y ] 5z 5 b ] 2a
R3]R1 → R3
0 1 4y ] 10z 5 c ] a
R3
⇒ 0 5 c 1 2b ] 5a
x 1 2y ] 3z 5 a
0 1 2y ] 5z 5 b ] 2a
R31(2)R2 → R3 0 1 0 1 0 5 c 1 2b ] 5a
No puede tener solución única.
No tiene solución si: 5a ] 2b ] c fi 0
Tiene un número infinito de soluciones
si: 5a ] 2b ] c 5 0
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Cierto tipo de ecuaciones lineales o de sistemas de ecuaciones, aquéllas donde la ecuación o todas las ecuaciones se igualan con cero, se conocen como homogéneas. Éstas tienen la característica de que, sin importar
el valor de los coeficientes o el número de variables, siempre tienen solución, ya sea solución única (todas
las variables iguales a cero) o bien un número infinito de soluciones.
Alerta
Pero lo más importante de esta propiedad es su gran utilidad en muchos otros conceptos y aplicaciones,
por ejemplo para mostrar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente (unidad
3), para determinar el núcleo o kernel de una transformación lineal (unidad 4), para encontrar los vectores
propios o característicos asociados a una matriz (unidad 5), etcétera.
1. Si la solución del sistema
homogéneo es única,
entonces la solución es la
trivial.
A continuación, analizamos la estructura y las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y estudiamos las posibles soluciones de éstos, en términos del número de ecuaciones y de variables
del sistema.
2. Si un sistema homogéneo
tiene más incógnitas que
ecuaciones, entonces
tiene un número infinito
de soluciones, incluyendo
a la solución trivial.
Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas y n variables es aquel para el cual todos los coeficientes
independientes son iguales con cero; esto es, bi 5 0 para todo i. Entonces,
a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 … + a1n x n = 0
a21x1 + a22 x 2 + a23 x 3 … + a2n x n = 0
a31x1 + a32 x 2 + a33 x 3 … + a3n x n = 0
…
am1x1 + am2 x 2 + am3 x 3 … + amn x n = 0
Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene solución. Una de éstas puede ser la solución
trivial, esto es:
x1 5 x1 5 … 5 xn 5 0, o bien xi 5 0 para toda i
o bien, el sistema homogéneo puede tener un número infinito de soluciones, las cuales están dadas en términos de los parámetros libres.
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones homógeno:
x1y]z50
R1
2x 1 4y ] z 5 0
R2
3x ] 2y 1 2z 5 0
R3
Solución
R2](2)R1 → R2
R3](3)R1 → R3
x1y]z50
0 1 2y 1 z 5 0
0 ] y 1 5z 5 0
R2 ↔ R3
x1y]z50
0 ] y 1 5z 5 0
0 1 2y 1 z 5 0
11
UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
R11R2 → R1
x 1 0 1 4z 5 0
0 ] y 1 5z 5 0
R31(2)R2 → R3 0 1 0 ] 11z 5 0
x 1 0 1 4z 5 0
0 ] y 1 5z 5 0
R3/(11) → R3 0 1 0 1 z 5 0
R1](4)R3 → R1
R2](5)R3 → R2
⇒
x101050
0]y1050
0101z50
x50
y50
z50
Solución única.
Problema resuelto
Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x1y]z50
R1
2x 1 3y 1 z 5 0
R2
x ] 4y 1 2z 5 0
R3
Solución
R2](2)R1 → R2
R3]R1 → R3
⇒
x1y]z50
0 ] 5y 1 3z 5 0
0 ] 5y 1 3z 5 0
x1y]z50
0 ] 5 y 1 3z 5 0
R1
⇒
x=
2
y
3
R2
⇒
y=
3
z
5
R3]R2 → R3
(3)R11R2 → R1
x1y]z50
0 ] 5y 1 3z 5 0
0101050
3x ] 2y 1 0 5 0
0 ] 5y 1 3z 5 0
z es un parámetro libre ⇒
z R
y
3
5
x
2 3
2
3 5
5
Número infinito de soluciones.
1.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
En esta sección analizamos algunos problemas cuya solución se obtiene a través del planteamiento y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, los cuales, como veremos, pueden aparecer en cualquier área
del conocimiento.
Problema resuelto
Cuatro socios de una empresa desean repartirse las ganancias, cuyo valor asciende a $4 680 000.00, de la
2
siguiente manera: las de las ganancias se dividirán en partes iguales entre los cuatro. De la otra tercera par3
te, cada uno recibirá $60 000.00 cada año hasta que cumplan 20 años en la empresa. Si entre cada socio se
llevan 3 años de diferencia dentro de la empresa, determinar: ¿cuánto dinero recibirá cada uno de los socios?,
y ¿cuántos años tiene cada uno de ellos en la empresa?
12
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Solución
Planteamos el problema como sigue, sea x1, x2, x3 y x4 el dinero que recibirá cada uno de los socios, de mayor
1
a menor edad dentro de la empresa, respectivamente; correspondiente a la parte de las ganancias
3
($1 560 000.00), entonces tenemos que x1 1 x2 1 x3 1 x4 51 560 000.
Por otro lado, como el socio menor recibirá 3 veces más la cantidad de $60 000.00 con respecto al socio que
le sigue de edad, entonces tenemos que x4 ] x3 5 3 ∙ 60 000 5 180 000, lo mismo sucede con los demás, es
decir, x3 ] x4 5 180 000 y x2 ] x1 5 180 000.
De esta forma encontramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
x1 1 x2 1 x3 1 x4 51 560 000.
x4 ] x3 5 180 000
x3 ] x2 5 180 000
x2 ] x1 5 180 000
Al resolver tenemos la solución: x1 5 120 000, x2 5 300 000, x3 5 480 000 y x4 5 660 000.
2
de $4 680 000.00 equivalen a $3 120 000.00 que dividido entre cuatro son $780 000. Por lo cual cada
3
socio recibirá en total,
Los
x1 5 $120 000.00 1 780 000.00 1 900 000.00
x2 5 $300 000.00 1 780 000.00 1 1 080 000.00
x3 5 $480 000.00 1 780 000.00 1 1 260 000.00
x4 5 $660 000.00 1 780 000.00 1 1 440 000.00
Ahora, por ejemplo, el socio mayor recibirá x1 5 $120 000.00 cuando cumpla 20 años en la empresa, $60 000.00
por año, entonces x1 5 120 000.00 5 2 ∙ 260 000.00, significa que le faltan 2 años para cumplir los 20 en la
empresa, por tanto:
El socio 1 tiene 18 años en la empresa
El socio 2 tiene 15 años en la empresa
El socio 3 tiene 12 años en la empresa
El socio 4 tiene 9 años en la empresa
Problema resuelto
El nivel de contaminación ambiental, medido durante un día determinado, para las tres principales
ciudades de la República Mexicana: Ciudad de México, Monterrey y Guadalajara, fue de 18 puntos IMECA,
en promedio. Para ese día en particular, se cuenta con los siguientes datos en las lecturas: en la Ciudad de
México la contaminación estuvo 4 puntos por encima del promedio de las otras dos ciudades y en Monterrey
la medición indicó 3 puntos menos que el promedio de las otras dos ciudades. ¿Cuál fue el índice de
contaminación en cada ciudad ese día?
Solución
Consideremos a las siguientes variables x, y y z, como los puntos o niveles de contaminación en cada una de
las tres ciudades, Ciudad de México, Monterrey y Guadalajara, respectivamente. Si el promedio de las tres
mediciones dio 18 puntos, entonces:
x+y+z
= 18.
3
13
UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Como en la Ciudad de México el nivel de contaminación fue mayor en 4 puntos respecto del promedio de
las otras dos ciudades, entonces:
x=
y+z
= 4.
2
Finalmente, el nivel en Monterrey fue 3 puntos menos que el promedio de las otras dos ciudades, lo que
quiere decir que:
y=
x+z
= 3.
2
Tenemos, entonces, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + y + z = 54
2x − y − z = 8
− x + 2y − z = − 6
De donde obtenemos la siguiente solución:
62
puntos de concentración en la ciudad de México
o.
3
y = 16 puntos de concentración en la ciudad de Monterrey.
x=
z=
52
puntos de concentración en la ciudad de Guadalajara.
3
Problema resuelto
Una armadora de automóviles fabrica tres modelos distintos: sedán, camioneta y compacto. Para armar un
sedán se necesitan 10 horas, más otras 2 horas de prueba y 2 horas más para los acabados. La camioneta se
lleva 12 horas de ensamblado, 2.5 horas de prueba y 2 horas más de detalles. Por último, el compacto utiliza
6 horas en el armado, 1.5 para las pruebas y 1.5 horas para los terminados. Si la empresa armadora dispone
de 1 560 horas para ensamblar los automóviles, 340 para probarlos y 320 para darles los acabados, ¿cuántos
automóviles puede fabricar al mes?
Solución
Consideremos como x1, x2, y x3 el número de unidades que puede producir la armadora en un mes, cantidades
que corresponden a los modelos sedán, camioneta y compacto, respectivamente. El número total de horas
necesarias para construir determinado número de automóviles está dado por 10x1, 12x2, y 6x3; si se cuenta
con 1 560 horas al mes para ensamblarlos, obtenemos la ecuación: 10x1 1 12x2 1 6x3 5 1 560.
Para las horas de prueba también tenemos que 2x1 1 2.5x2 1 1.5x3 5 340.
De la misma forma para los terminados encontramos que 2x1 1 2x2 1 1.5x3 5 320.
Por tanto, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:
10x1 1 12x2 1 6x3 5 1 560
2x1 1 2.5x2 1 1.5x3 5 340
2x1 1 2x2 1 1.5x3 5 320
Determinamos el número de automóviles que puede producir la armadora, los cuales están dados por:
tipo sedán x1 5 60
tipo camioneta x2 5 40
tipo compacto x3 5 80
14
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En cálculo, geometría, etcétera, es muy común que a partir de cierta información que se tiene de funciones
o de objetos geométricos, se construya la ecuación que los describe, para poder resolver este tipo de problemas es necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Problema resuelto
Determinar el polinomio de segundo grado: p(x) 5 a0 1 a1x 1 a2x2, cuya gráfica contiene a los puntos (1, 4),
(2, 0) y (3, 12).
Solución
El polinomio lo podemos ver como una función y(x) 5 p(x) ; entonces, para cada par ordenado (x, y), tenemos
un punto donde debemos evaluar la función x y un valor de la función y, esto es,
para el punto (1, 4)
⇒ a0 1 a1(1) 1 a2(1)2 5 4
para el punto (2, 0) ⇒
a0 1 a1(2) 1 a2(2)2 5 0
para el punto (3, 12) ⇒
a0 1 a1(3) 1 a2(3)2 5 12
de donde obtenemos el sistema de ecuaciones lineales,
a0 1 a1 1 a2 5 4
a0 1 2a1 1 4a2 5 0
a0 1 3a1 1 9a2 5 12
que tiene por solución los valores, a0 5 24, a1 5 ]28, y a2 5 8.
Por tanto, el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (1, 4), (2, 0) y (3, 12), tiene la forma p(x) 5
24 ] 28x 1 8x2.
Problema resuelto
Gracias a la geometría sabemos que un plano está completamente definido si conocemos tres puntos que
estén contenidos en él, siempre y cuando éstos no sean colineales. Determinar el plano que contiene a los
siguientes puntos: (1, 1, 2), (1, 2, 0) y (2, 1, 5).
Solución
La ecuación general de un plano está dada por ax 1 by 1 cz 1 d 5 0 y un punto (x, y, z) en el plano es aquel
que satisface la igualdad. Entonces, evaluamos cada uno de los puntos en la ecuación, para determinar los
coeficientes del plano, esto es,
para el punto (1, 1, 2) ⇒
a 1 b 1 2c 1 d 5 0
para el punto (1, 2, 0) ⇒
a 1 2b 1 d 5 0
para el punto (2, 1, 5) ⇒
2a 1 b 1 5c 1 d 5 0
Resolviendo el sistema para las constantes, tenemos que, c 5 ]d, b 5 ]2d y a 5 3d, esto es, un sistema con
un número infinito de soluciones en términos de una variable, la cual podemos tomar como parámetro libre,
es decir, d R .
Para una solución particular, d 5 1, c 5 ]1, b 5 ]2 y a 5 3.
Entonces, un plano que contiene a los tres puntos (1, 1, 2), (1, 2, 0) y (2, 1, 5) es paralelo al plano dado por la
ecuación, 3x 1 2y ] z 1 1 5 0 o a cualquier otro paralelo a él, obtenido con algún valor de d = α .
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UNIDAD
1
Sistemas de ecuaciones lineales
Problema resuelto
Resolver el siguiente sistema de fracciones parciales:
1
A
B
C
=
+
+
( x − 1)( x + 2)( x + 1) ( x − 1) ( x + 2) ( x + 1)
Solución
Tenemos que hallar las constantes A, B y C, tales que la fracción pueda escribirse como una suma de fracciones
parciales, esto es:
1
A
B
C
=
+
+
( x − 1)( x + 2)( x + 1) ( x − 1) ( x + 2) ( x + 1)
=
A ( x + 2)( x + 1) + B( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1)( x + 2)
( x − 1)( x + 2)( x + 1)
=
A ( x 2 + 3x + 2) + B( x 2 − 1) + C ( x 2 + x − 2)
( x − 1)( x + 2)( x + 1)
=
( A + B + C )x 2 + (3A + C )x + (2A − B − 2C )
( x − 1)( x + 2)( x + 1)
de donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
A +B+C =0
3A + C = 0
2A − B − 2C = 1
Cuya solución es, A =
1
1
1
, B = y C = − . Por tanto, la suma en fracciones parciales
6
3
2
se puede escribir como:
1
1
1
1
=
+
+
( x − 1)( x + 2)( x + 1) 6( x − 1) 3( x + 2) 2( x + 1)
Cuando analizamos circuitos eléctricos, cuyos componentes son resistencias y fuentes de alimentación o
voltaje, debemos considerar las corrientes que circulan por el circuito y el voltaje proporcionado por las
fuentes.
Para describir estas relaciones usamos la ley de Ohm (el voltaje es igual al producto de la corriente por
la resistencia); además de las dos leyes de Kirchhoff, la ley de corriente o nodos (en cualquier nodo la suma
de las corrientes que inciden es igual a la suma de las corrientes que salen de él), la ley del voltaje o mallas.
La suma de todos los cambios de voltaje en un circuito cerrado es igual al voltaje proporcionado por la
fuente.
Problema resuelto
Encontrar el valor de las corrientes eléctricas, que circulan por el circuito eléctrico siguiente:
Considere los siguientes valores, E 5 6 voltios, R1 5 2 ohms, R2 5 3 ohms, R3 5 4 ohms y R4 5 2 ohms.
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Solución
R1
A
i1
E1
1
i2
1
R4
i3
2
R2
]
B
Figura 1.2
R3
Para generar nuestras ecuaciones lineales, utilizamos las leyes de Ohm y de Kirchhoff, esto es:
Para el nodo A tenemos, i1 ] i2 ] i3 5 0
Para la malla 1 tenemos, 2i1 1 3i2 5 6
Para la malla 2 tenemos, ]3i3 1 6i3 5 0
De esta manera, el sistema de ecuaciones lineales a resolver es:
i1 ] i2 ] i3 5 0
2i1 1 3i2 5 6
]3i2 1 6i3 5 0
3
3
, i 2 = 1 y i 3 = , que corresponde a las corrientes que circulan por el circuito eléctrico,
2
2
como se observa en la figura 1.2.
La solución es, i1 =
Cuando combinamos moléculas de cierto tipo, éstas se combinan y se obtienen nuevas moléculas; este
proceso se conoce como reacción química. Lo importante de una reacción química es que el número de
átomos de cada tipo, antes y después de la reacción, sea exactamente el mismo, a esto se llama balancear
la ecuación química. Para llevar a cabo el balance de una reacción química es necesario resolver sistemas
de ecuaciones lineales.
Problema resuelto
Balancear la siguiente ecuación química:
NH3 O2 N2 H2O
la cual está asociada a la combustión de amoníaco; con lo que se obtienen los siguientes productos: nitrógeno
y agua.
Solución
El número de átomos del mismo tipo debe ser el mismo en ambos lados de la reacción, es decir:
sean ^1, ^2, ^3 y ^4 números enteros tales que,
1NH3 2O2 3N2 4H2O
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