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INICIACIÓN AL ÁLGEBRA, ENTRE LA BÁSICA Y LA MEDIA:
ANÁLISIS EN EL AULA DESDE LA TEORÍA ANTROPOLÓGICA
DE LO DIDÁCTICO (TAD)
Raimundo Olfos Ayarza
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
Introducción:
El paso de octavo básico a primero medio es crítico en la educación formal. Existe una
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discontinuidad en los programas de estudio (Espinoza , 2003), y en muchos casos los niños
pasan de una escuela a un liceo o bien de una enseñanza dirigida por un profesor generalista
a una dirigida por un especialista en la asignatura. En este contexto, la enseñanza de la
matemática pasa del ámbito numérico al ámbito del álgebra (Mineduc, 1998; 2001), lo cual
conlleva un nivel de abstracción mayor. El objetivo del trabajo es mostrar cómo se inicia en
las aulas el álgebra escolar en este contexto de cambio paradigmático para el alumno.
Este estudio se realiza desde la teoría antropológica de lo didáctico (Chevallard, 1999). en
el contexto de una investigación más general, proyecto Fondecyt 1020342, investigación
que analiza el paso de la básica a la media en matemáticas revisando los temas de números,
proporcionalidad, geometría y álgebra. Siendo este último el tema tratado en este trabajo.
En este escrito se presentan algunas hipótesis acerca de los procesos de reconstrucción de
las organizaciones matemáticas en el aula referidas a la iniciación al álgebra.. Estas
hipótesis se sostienen en la observación y análisis de más de 50 horas de clases, revisión de
los cuadernos y de las pruebas de los alumnos, en aquellos temas que nos parecieron
centrales en el proceso de iniciación al álgebra, según la perspectiva de la TAD..
En la primera sección se muestra un panorama general de las aulas: alumnado, profesores e
instituciones observadas. Luego, se presentan las organizaciones matemáticas y las
organizaciones didácticas desarrolladas en tales aulas.. En tercer lugar, se contrasta la
dimensión fáctica con la dimensión curricular establecida en los programas de estudio y en
los textos escolares. Luego, se finaliza con la proposición de un conjunto de hipótesis para
poner a prueba en una etapa futura de análisis desde la perspectiva institucional.
I Las cuatro aulas.
El estudio se realiza, tras revisar programas y textos de estudio, en el contexto de cuatro
aulas, dos de octavo básico y dos de primero medio. Dos de las aulas, un octavo y un
primero pertenecen a un mismo establecimiento escolar y conducidas por un mismo
profesor. El establecimiento es un colegio particular subvencionado de nivel
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Proyecto Fondecyt 1020342 Lorena Espinoza (Inv Ppal.), Coinvestigadores Q. Barbé, G. Gálvez, R. Olfos.
socioeconómico medio que se caracteriza por su alto nivel de exigencia académica, y de
exigencia en el cumplimiento de normas. Es un establecimiento confesional administrado
por una congregación religiosa católica.
Las otras dos aulas corresponden a las de una escuela municipalizada y a la de un liceo
municipalizado. El aula de primero medio es de un liceo municipalizado con vasta
trayectoria que ha vivido una etapa de decaimiento. Las paredes de los edificios están con
grafitis, incluso al interior de la sala. La asistencia a clases es inferior al 75% y los alumnos
en general no se esfuerzan en las tareas de aprendizaje.
El aula de octavo es de una escuela de niños, varones, única en la comuna. En su misión se
considera la formación de niños con carácter, destacando cualidades de su género. El grupo
de profesores se muestra comprometido con la escuela, en particular con el éxito escolar de
los niños, quienes provienen de un ambiente socioeconómico medio bajo.
II Caracterización de las OM, y descripción de las OD referidas al álgebra en cuatro
aulas: dos de 8º y dos de 1º medio.
En las aulas de 8º, el álgebra es dejada para más adelante. Se trabajan temas numéricos
previos al álgebra como potencias y números negativos. Las potencias fueron esbozadas sin
hacer el tratamiento profundo propuesto en los programas de estudio que las vincula
fuertemente con el sistema de numeración decimal. En sólo una de las dos aulas observadas
el vínculo fue más patente y más aún, se relacionó las potencias con la notación científica
como lo sugiere e programa. No hubo un desarrollo de las propiedades del producto de
potencias, quedando ello para primero medio.
Con respecto al tratamiento de los números negativos, el enfoque es tradicional, partiendo
de la ampliación del ámbito numérico considerando escalas de temperatura, niveles bajo el
mar y situaciones financieras de deudas, como lo sugieren los textos y los programas. El
tratamiento de la operatoria es más pragmático: de situaciones de contexto rápidamente se
pasa a las reglas, cuestión totalmente justificada por razones de tiempo curricular. Las
nociones de sistema numérico y de estructura algebraica quedan subyacentes, apareciendo
justificaciones desde esa perspectiva, pero sin un asidero claro. Los profesores mencionan
las propiedades algebraicas de la operatoria con negativos, entrando al terreno tecnológico
teórico con ambigüedades, las mismas ambigüedades que se observan en los textos
escolares. Se superponen justificaciones basadas en la generalización con otras basadas en
principios o reglas. Esto último no sucede en los programas de estudio, donde el enfoque es
claramente inductivo.
El uso de letras en fórmulas, expresiones y ecuaciones es trabajado sin profundidad teórica,
En el tratamiento de las letras se observaron los mismos fenómenos didácticos observados
por Kieran (Kieran, C. y Wagner, S. 1988): el uso de la letra como número generalizado y
como número desconocido. El concepto de variable no es sistematizado, ya que hay una
omisión intencionada desde las orientaciones de los programas de la noción de conjunto
numérico, y en consecuencia del concepto de dominio o ámbito de referencia numérico.
Inconsistencia que también está presente en los textos. Las ecuaciones de primer grado con
una incógnita es emblemáticamente la iniciación al álgebra. Se da sólo una pincelada, pues
es un tema a profundizar en enseñanza media. Como justificación al procedimiento de
resolución de ecuaciones por un lado surge la balanza y por otro el principio o “regla”de la
aditividad, “si a cantidades iguales se suman una misma cantidad, resultan cantidades
iguales”, entrecruzándose nuevamente dos tradiciones como fuentes de justificación: una
inductiva y otra deductiva o axiomática.
Antes de cerrar el punto en cuestión, es necesario dejar en claro que el trabajo matemático
vinculado al álgebra que se observó en las dos aulas de 8º básico fue muy disímil. En una
de las aulas, por ejemplo, el trabajo con números negativos fue rápido y efectivo, en
cambio en la otra, pese a que el tema también había sido estudiado en profundidad en 7º
básico, no fue efectivo, alcanzando los alumnos bajas calificaciones en la prueba del tema
en cuestión.
Las OD referidas al álgebra tuvieron distintas orientaciones en cada una de las dos aulas
observadas. En un caso, la profesora adoptó con algunos recortes las OD propuestas en el
libro de texto usado como referente. En el otro, las OD obedecieron a una planificación
institucional de tradición, que va más allá de los contenidos que se proponen en el
programa de estudio, pero en la cual se privilegia el tecnicismo y una justificación
tecnológico teórica antecesora a la del formalismo de la reforma de la década de 1960.
En las dos aulas observadas de primero medio se constató la iniciación al álgebra. En
ambos casos, se identificó el álgebra como una aritmética generalizada, en la cual se
introdujo letras en lugar de números, traspasándose por tanto todas las propiedades
“algebraicas” de los números. En ningún caso se accedió a una mirada del álgebra desde
una perspectiva “funcional”, y por ende, quedó fuera la representación cartesiana, los
registros gráficos, la noción de variable y la noción de dominio de definición de una
variable. Más aun, los problemas de factibilidad de las soluciones a los problemas se
limitaron a las condiciones de contexto y no se atedió a los problemas propios que emergen
de las limitaciones de las estructuras algebraicas de los sistemas numéricos.
En las dos aulas se estudiaron los dos temas propuestos en los programas de estudio, a
saber “lenguaje algebraico” y “factores y productos”. Pero, al igual que en las aulas de 8º,
los niveles de profundidad en las dos aulas de 1º Medio fueron muy distintos. En una de las
aulas la profesora hizo un gran esfuerzo para dar una pincelada a los conceptos algebraicos
más tradicionales. Tras retomar la operatoria aritmética y la proporcionalidad, introdujo el
lenguaje algebraico en dos semanas, sin hacer referencia a contextos y sin profundizar en el
sentido de las expresiones algebraicas, es decir, sin seguir los lineamientos de los
programas. Luego, en dos meses trabajó el tema de “factores y productos”, remitiéndose a
sumas y productos de expresiones algebraicas y a la factorización de expresiones con
coeficientes numéricos enteros y fraccionarios, sin llegar a trabajar expresiones algebraicas
fraccionarias. Si bien el foco fue el manejo de símbolos sin significado para el alumno, no
podría decirse que el foco fue el trabajo de la técnica, ya que hubo poca variación y poca
reiteración del trabajo de la técnica. Podría decirse que hubo una presentación a modo de
cultura general de algunos conceptos básicos: “factor común”, “cuadrado de binomio” y
“suma por diferencia” entre otros; pero, es poco probable que los aprendizajes alcanzados
vayan a perdurar en el tiempo, sobre la base del escaso trabajo de la técnica realizado.
El otro 1º Medio observado tuvo comparativamente un alto nivel de exigencia, aunque no
por ello mayor repitencia escolar o deserción. Si de los 45 alumnos 5 repitieron, en el aula
antes comentada, de los 40 alumnos más de 20 o bien repitieron o bien desertaron.
Nuevamente, se entra a un análisis que va más allá de las OM y las OD, se trata de
cuestiones institucionales, que serán analizadas con profundidad en la etapa que viene.
Independiente de las cuestiones de carácter institucional, la iniciación al álgebra escolar
implica un nuevo nivel de abstracción. Se pasa al estudio de una categoría de conceptos a
otra más abstracta que la categoría de los números, que ya es abstracta. Y por ende, aquí
hay elementos que llevan a los alumnos a reprobar el ramo, contribuyendo así a la
repetición y a la deserción escolar.
La tradición escolar basada en la memorización y en un álgebra escolar desligada de los
contextos cotidianos de los alumnos primó en las dos aulas observadas. La preocupación de
los docentes por la manipulación de expresiones simbólicas por sobre la comprensión del
significado y del uso que pudiera dársele al álgebra llevó probablemente a ese estado
frecuente en que una proporción importante del alumnado no se siente bien estudiando
álgebra y no la alcanza a dominar.
En ambas aulas se hizo poco caso a las orientaciones curriculares de los programas, y se
hizo caso omiso de las OD propuestas por los libros de texto de la reforma. Si bien, la
resolución de problemas se tuvo presente en una de las aulas, ésta se trabajó como una
aplicación de la matemática y no como la fuente que da origen y sentido al álgebra. La
escasa conexión del lenguaje algebraico a contextos reales pasó la cuenta en el momento
final en que se trabajó la resolución de problemas mediante el uso de ecuaciones de primer
grado. El alto grado de fracaso del alumnado en la prueba correspondiente, llevó al profesor
a proponer una segunda prueba cuya nota resultante decidió promediar con la primera.
En la segunda aula, donde hubo mayor exigencia, más profundidad matemática y mejor
rendimiento escolar, se privilegió el trabajo de la técnica, se incluyó la resolución de
problemas como una aplicación y en consecuencia, en alguna medida hubo apertura al
sentido y uso del lenguaje algebraico. Esto último, uno de los objetivos planteados en los
programas de estudio.
Además, desde la perspectiva didáctica, cabe señalar que en la segunda aula hubo
momentos de exploración, de evaluación y de institucionalización. Eso sí que esos
momentos fueron menos frecuentes y en algunas ocasiones bastante breves. El énfasis fue
el trabajo de la técnica y para ello el profesor decidió trabajar sistemáticamente con el texto
de A Baldor (1940) muy popular en nuestro país.
Por último, cabe destacar que a los alumnos de la segunda aula se aplicó una prueba con el
objeto de obtener evidencias acerca del escaso dominio que se esperaba de ellos con
respecto al uso del álgebra en contextos reales. La prueba dio evidencias de la dificultad
para los alumnos para identificar variables y formar expresiones algebraicas que
representen enunciados verbales
Contrastando las caracterizaciones de 8º y 1º
En primer lugar cabe destacar que ni en 8º básico ni en 1º medio se observó un énfasis
curricular conforme a los lineamientos de la reforma, salvo el hecho que se ha dejado
bastante de lado el formalismo, los conceptos de conjunto, los sistemas numéricos, las
estructuras algebraicas y la noción de función. Es decir, se observa la ausencia de lo que la
reforma dejó fuera, pero no se observa lo que la reforma quiso incluir.
Las OM que se conservan son las tradicionales. En octavo, por ejemplo predomina el
estudio de Z y no el de los números negativos La mayor parte de las OD sugeridas en los
programas y textos de primero medio no fueron gestionadas en las aulas, ni surgieron OD
más completas en el sentido de la TAD. Una excepción es el caso de la OD referida a
factores y productos observada en una de las aulas, que si bien estaba claramente inclinada
hacia el trabajo de la técnica, ésta se desarrolló en profundidad e incluyó una variedad de
momentos didácticos a lo largo de los más de 6 meses en que se desarrolló.
Finalmente cabe destacar que efectivamente se observó un quiebre en el paso de la
aritmética de enseñanza básica al tratamiento del álgebra en educación media, que lleva la
pérdida de sentido de la matemática escolar para el alumno. Quiebre que si bien los
programas de estudio remedian con la unidad “lenguaje algebraico”, los profesores se la
saltan, como si no alcanzaran a visualizar el sentido de esta unidad.
III Fenómenos Didácticos a la luz del constraste entre la dimensión fáctica y la
curricular.
A continuación se hace referencia a los fenómenos didácticos observados en las aulas y que
se relacionan con los fenómenos observados en el análisis curricular de la primera etapa
del estudio.
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Con la reforma, a diferencia de lo que se constata en los nuevos programas de
estudio, no se apreció en el aula mayor explicitación de los elementos de las OD.
Las OD varían de profesor en profesor, sin que se mantengan las de los programas.
Los profesores rescatan en la medida de lo posible, cuando les parece, las mismas
OD de los textos que ellos prefieren.
Las OM observadas en el aula son usualmente puntuales e incompletas.
Observándose bastante completitud sólo en algunas, las cuales privilegió el docente
a su gusto, utilizando para ello un excesivo tiempo en desmedro de otras OM.
Las actividades son presentadas por el profesor como valiosas en sí mismas,
surgiendo el sentido de la técnica de manera espontánea, como una forma eficiente
de resolver el problema matemático al cual se enfrenta al alumno, por ejemplo
resolver una ecuación.
Si bien se observó en el análisis curricular que la gestión de la construcción de OM
locales quedaba en manos del profesor, existen condiciones institucionales que no
dan crédito a tal autonomía.
De hecho la escolarización es obligatoria y muchos alumnos no tienen interés ni en las
matemáticas ni en el estudio. Y por otro lado, las instituciones en que existe tradición
académica exitosa en Chile, han logrado su prestigio al margen de una matemática
completa en el sentido de la TAD. Los profesores aún no perciben la necesidad de ajustarse
a un enfoque curricular en el que se privilegie OM locales o globales. No se observó en las
aulas el tratamiento de OM nuevas, en el sentido de aquellas OM que aparecieron con los
nuevos programas de estudio.
• Se observó OD menores propias de los profesores, ni propuestas en los programas,
ni sugeridas en los textos (estrategias para la presentación de conceptos en que los
profesores reconocen dificultades para el alumno).
En 8º no hay una preparación para el álgebra, salvo el tratamiento de los números
negativos y una breve introducción a las ecuaciones aditivas. El enfoque asumido para el
tratamiento de la operatoria de los números negativos es un botón de muestra de lo que
viene en álgebra: un álgebra sin sentido en donde lo importante es el manejo de la técnica,
sin más justificación que su eficiencia.
• Ni en 8º básico ni en 1º medio se da importancia o tiempo a la exploración, ni a la
modelización ni a la formalización.
IV Acerca de las hipótesis sobre el proceso de reconstrucción de OM en el aula
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Existe diferencias en cuanto al uso de textos, estas diferencias obedecen más
a una identificación de los profesores con textos particulares que a
cuestiones ligadas al nivel escolar, al hecho de que el profesor sea
generalista o especialista o al nivel escolar en el que se desempeña.
Las OD de aula, en algunos casos son exactamente las mismas OD de textos.
En otros casos son totalmente distintas.
En general, las OM observadas fueron incompletas y con incoherencias.
Las OD en 8º no fueron parecidas entre sí, aunque sí fueron coherentes con
la tradición y OM puntuales.
Se verificó una tendencia pedagógica tecnicista.
Referencias:
Chevallard, Yves (1999) El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de
lo didáctico. En Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 19, Nº 2, pp. 216266. (Traducción de Ricardo Barroso, Universidad de Sevilla).
Espinoza, Lorena (2003) El paso de la básica a la media en Geometría. Reunión
Latinoamericana de Matemática Educativa. Santiago.
Kieran, C. Y Wagner, S. (Eds). (1988) Research issues in the learning and teaching of
algebra. Reston, VA: NCTM.
MINEDUC (2001) Programa de Estudio. Educación Matemática. Octavo año de Enseñanza
Básica. Ministerio de Educación Chile.
MINEDUC (1998) Programa de Estudio. Matemática Primer Año de Enseñanza Media.
Ministerio de Educación Chile.