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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
LECCIÓN Nº 03
MALLAS EN CIRCUTOS CC
1. REDES ELECTRICAS
Cuando los elementos básicos de un circuito se conectan para formar un circuito, la
interconexión resultante se describe en términos de nodos, caminos, ramas, lazos y
mallas. Es fundamental conocer estos términos básicos necesarios para describir de
manera clara y concisa las características más importantes de los circuitos.
Un nodo es un punto de un circuito en donde se unen dos o más elementos. La
creación de un camino cerrado, o lazo cerrado, consiste en comenzar en un nodo
seleccionado, para luego pasar por un conjunto d elementos básicos conectados y
regresar al nodo inicial sin pasar más de una vez por cualquier nodo intermedio en el
circuito.
Un camino se forma cuando se pasas por un conjunto de elementos básicos de
circuito contiguos, en forma ordenada, sin pasar por un nodo más de una vez. Una
rama es un camino que conecta dos nodos. Una malla es un tipo de lazo especial que
no contiene otros lazos.
2. ECUACIONES DE LAS REDES ELECTRICAS
El número de nodos, ramas y mallas en un circuito determina el número de ecuaciones
simultáneas que hay que obtener para resolver el circuito. La razón se debe a que el
número de corrientes desconocidas en el circuito es igual al número de ramas, b,
donde se desconoce la corriente. Por ejemplo en la figura tiene tres ramas en las
cuales no se conoce la corriente que circula por cada una de ellas. Recuerde que
necesitamos b ecuaciones independientes para resolver un circuito con b corrientes
desconocidas. Si n representa el número de nodos en el circuito, podemos obtener n-1
ecuaciones independientes al aplicar la ley de Kirchoff para la corriente a cualquier
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conjunto de n-1 nodos. Como necesitamos b ecuaciones para describir un circuito
dado y podemos obtener n-1 de estas ecuaciones a partir de la ley de Kirchoff para la
corriente, hay que aplicar la ley de Kirchoff para el voltaje a los lazos independientes o
mallas para obtener las b – (n-1) ecuaciones restantes.
3. LEY DE KIRCHOFF
Ley de Corriente de Kirchoff
Como no se produce la acumulación de cargas en un nodo, el total de cargas que
entra a un nodo es igual al total de cargas que salen del nodo. Se puede expresar la
ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) de dos formas:
La suma algebraica de las corrientes en un nodo es
cero. Se considera positiva una corriente que entra al
nodo y negativa una corriente que sale del nodo.
- IA + IB - IC - ID + IE = 0
La suma de corrientes que entran a un nodo es igual a
la suma de corrientes que salen del nodo.
IB + IE = IA + IC + ID
Cuando no se sabe el sentido de la corriente en un elemento se coloca la flecha en
cualquier sentido, si el resultado da signo negativo, indica que el sentido real es el
contrario al indicado por la flecha.
Ejemplo 1
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Ejemplo 2
Hallar IA, ID, IF:
LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF
La suma de voltajes en una o en una trayectoria cerrada o en una malla de un circuito
es igual a cero, para la evaluación numérica se toma como positivo el voltaje si se trata
de una elevación de voltaje al pasar por el elemento y negativo si hay una caída de
voltaje.
La trayectoria en el sentido marcado determina que
hay elevación de voltaje (- a +) en VA, VC, VE y hay
caída de voltaje (+ a -) en VB y VD. Al aplicar la ley de
voltajes de Kirchoff nos resulta en la siguiente
ecuación:
VA - VB + VC – VD + VE = 0
Un forma rápida de plantear la ecuación de trayectoria es tener en cuenta el signo del
voltaje al salir del elemento en el sentido de la trayectoria y ese signo se coloca en la
ecuación, para el circuito mostrado el signo en el recorrido es + al salir de los
elementos A, C y E y ese es el signo de VA, VC, VE en la ecuación y es - al salir de B y
D por lo tanto el signo de VB y VD es - en la ecuación.
Ejemplo 1
Dado VA = 5 v, determinar VB y VC
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Para la trayectoria en color rojo se tiene: VA - VB = 0, entonces: 5 v - VB = 0, de donde
VB = 5 v
Para la trayectoria en color verde se tiene: - VC - VB = 0, entonces: - VC - 5 v= 0, de
donde VC = -5 v; el signo menos indica que la polaridad es la contraria en el circuito
real, este caso nos indica que para esta conexión llamada en paralelo los voltajes son
iguales para todos los elementos en paralelo.
Ejemplo 2
Si V13 = 10 v, V12 = 7.5 v y V43 = 4.8 v; hallar los otros voltajes.
Se observa que los voltajes se pueden indicar por el nombre del elemento como en el
primer ejemplo o por la diferencia de voltajes entre dos nodos, en este caso el primer
subíndice indica el lado positivo y el segundo subíndice indica el lado negativo.
Planteamos las ecuaciones para las diferentes trayectorias y vamos encontrando las
respuestas que nos sirvan para solucionar las ecuaciones de otras trayectorias:
Trayectoria roja: V13 - V12 + V23 = 0
10 v - 7.5 v + V23 = 0
V23 = -2.5 v
Trayectoria azul: - V23 + V42 - V43 = 0
- (- 2.5 v) + V42 - 4.8 v = 0
V42 = 2.3 v
Trayectoria verde:V12 + V41 -V42 =0
7.5 v + V41 - 2.3 v = 0
V41 = - 5.2 v
4. RESOLUCION DE MALLAS ELECTRICAS POR ECUACIONES
ELECTRICAS
En la siguiente figura se presenta un circuito eléctrico conformado por dos mallas.
Ahora a estas mallas se les aplica la ley de Kirchoff para el voltaje, expresando todos
los voltajes entre resistencias en términos de las corrientes de malla, obteniendo las
ecuaciones:
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v1 ≈ i a R1 + (i a − i b )R3 ;
− v 2 ≈ (i b − i a )R3 + i b R2 ;
v1 ≈ i a ( R1 + R3 ) − i b R3 ;
− v 2 ≈ − i a R3 + i b ( R2 + R3 );
5. RESOLUCION DE MALLAS POR EL METODO MATRICIAL
Teniendo las ecuaciones eléctricas de un circuito donde se empleo el procedimiento
de mallas, se observa que la solución de este se irá complicando mientras mas mallas
exista, por tener mas valores encontrar. Es por esta razón que se emplea el método
de Cramer (matricial), el cual consiste en resolver ecuaciones simultáneas. Mediante
un ejemplo se podrá entender con más claridad este método
Teniendo el siguiente circuito:
a) Utilizar el método de las corrientes de malla para determinar la potencia
relacionada con cada una de las fuentes de voltaje del circuito
b) Calcular el voltaje V0 en la resistencia de 8Ω
a) Si suponemos que las caídas de voltaje son positivas, las tres ecuaciones de malla
son:
− 40 + 2i a + 8( i a − i b ) ≈ 0;
8( i b − i a ) + 6i b + 6( i b − i c ) ≈ 0;
6( i c − i b ) + 4i c + 20 ≈ 0;
Reorganizando las ecuaciones para poder aplicar el método de Cramer para resolver
ecuaciones simultáneas, se obtiene
10ia − 8ib − 0ic ≈ 40;
− 8ia + 20ib − 6ic ≈ 0;
0ia − 6ib + 10ic ≈ −20;
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El determinante característico es
10
−8
0
∆ = − 8 20 − 6
0 − 6 10
= 10( 200 − 640) + 8( −80) = 1640 − 640 = 1000
Las tres corrientes de malla son:
La corriente de malla ia es idéntica a la corriente de rama en la fuente de 40V, por la
cual la potencia relacionada con esta fuente es
P40V = −40ia = −224 W
El signo negativo indica que esta fuente suministra potencia a la red. La corriente en la
fuente de 20 V es idéntica a la corriente de malla ic, por lo tanto
P20V = 20i c = −16 W
La fuente de 20 V también suministra potencia a la red
b) La corriente de rama de la resistencia de 8Ω, en la dirección de la caída de voltaje
v0, es ia-ib, por consiguiente
v 0 = 8( i a − i b ) = 8( 3.6) = 28.8 V
Ejemplo 1:
Emplear el método de las corrientes de malla para análisis de circuitos y determinar la
potencia que disipa la resistencia de 4Ω del circuito de la figura
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Solución:
Este circuito tiene seis ramas donde se desconoce la corriente y cuatro nodos. Por lo
tanto se necesitan tres corrientes de malla para describir el circuito. Estas corrientes se
definen en el circuito de la figura
Las tres ecuaciones de corrientes de malla son:
Ahora expresamos la corriente de rama que controla la fuente de voltaje dependiente
en términos de las corrientes de malla, de la siguiente manera:
que es la condición que impone la presencia de la fuente dependiente. Al sustituir la
ecuación en las ecuaciones y agrupar los coeficientes de i1, i2 e i3 se obtiene:
El determinante característico es:
Si desarrollamos el determinante característico por la primera columna se obtiene:
Como estamos buscando la potencia que se disipa en la resistencia de 4Ω, calculamos
las corrientes de malla i2 e i3.
La corriente en la resistencia de 4Ω cuyo sentido es de izquierda a derecha, es i3 - i2 o
2 A. Por lo tanto, la potencia que disipa es
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6. ECUACIONES DE NODOS
En un nudo, la suma de las corrientes que entran es igual a las de que salen. O bien,
la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula.
Ejemplo 1
a) Usar el método de los nodos para el análisis de circuitos y encontrar las corrientes
en las ramas 1a, ib e ic en el circuito presentado
b) Encontrar la potencia asociada a cada fuente y determinar si la fuente suministra o
consume potencia
a) Se observa que el circuito tiene dos nodos esenciales; por consiguiente, se
requiere una sola expresión del voltaje de nodo. Seleccionamos como nodo inferior
y definimos el voltaje del nodo desconocido como v1. Al sumar las corrientes que
salen del nodo 1 se obtiene la ecuación para el voltaje del nodo:
v1 − 50 v1 v1
+
+
− 3 = 0;
5
10 40
v1 = 40 v
Por lo tanto:
ia =
50 − 40
= 2 A;
5
ib =
40
= 4 A;
10
ic =
40
= 1 A.
40
b) La potencia asociada a la fuente de 50 V es
P50 v = −50i a = −100 W(suminist ro)
La potencia correspondiente a la fuente de 3 A es
P3 A = − 3v 1 = − 3( 40 ) = −120 W(suminist ro)
Ejemplo 02:
Utilizar el método de los voltajes de los nodos para encontrar la potencia que disipa la
resistencia de 5 Ω en el circuito de la figura
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Solución:
Comenzamos por indicar que el circuito tiene tres nodos esenciales. Por lo tanto se
requieren dos ecuaciones de voltaje de los nodos para describir el circuito. En el nodo
inferior terminan cuatro ramas, por lo cual lo seleccionamos como nodo de referencia.
Los dos voltajes de los nodos desconocidos se definen en el circuito de la figura. Al
sumar las corrientes que salen del nodo 1 se genera la ecuación
Al sumar las corrientes que salen del nodo 2 se obtiene
Las dos ecuaciones de voltaje de los nodos que se han obtenido contienen tres
incógnitas:
Para eliminar iΦ hay que expresar esta corriente controladora en
términos de los voltajes de los nodos, o sea
Al sustituir esta relación en la ecuación del nodo 2, las ecuaciones de voltaje de los
nodos se simplifican como sigue
Despejando v1 y v2 se obtiene
Entonces,
y
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7. AUTOEVALUACION
Problema 01:
Utilice el método de las corrientes de malla para encontrar (a) la potencia suministrada
por la fuente de 100 V al circuito que se muestra en la figura y (b) la potencia que
disipa la resistencia de 15 Ω.
Respuesta: (a) 600 W; (b) 240W.
Problema 02:
a) Emplee el método de las corrientes de malla para encontrar las corrientes de rama
ia, ib e ic en el circuito de la figura
b)Repita la parte (a) invirtiendo la polaridad de la fuente de 64V
Respuesta:
Problema 03:
Calcule con el método de las corrientes de mafia la potencia total que se disipa en el
circuito de la figura
Respuesta: 153 W
Problema 04:
Emplee el método de las corrientes de malla para encontrar v0 en el circuito que se
muestra en la figura
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Respuesta: 20 V.
Problema 05:
Use el método de las corrientes de malla para encontrar la potencia que suministra la
fuente de voltaje dependiente del circuito que aparece en la figura.
Respuesta: 2700 W
Problema 06:
a) Emplee el método de las corrientes de malla para encontrar el valor de i∆ en el
circuito de la figura.
b) Determine la potencia que suministra la fuente de corriente independiente.
c) Determine la potencia que suministra la fuente de voltaje dependiente.
Respuesta:
Problema 07:
Use el método de las corrientes de malla para encontrar la potencia que disipa la
resistencia de 20Ω del circuito que se muestra en la figura
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Respuesta: 259.2 W
Problema 08:
a) Mediante el método de las corrientes de malla calcule la potencia que se disipa en
la resistencia de 25Ω en el circuito de la figura
b) ¿Qué porcentaje de la potencia total generada en el circuito se disipa en la
resistencia de 25Ω ?
Respuesta:
Problema 09:
Use el método de los voltajes de los nodos para encontrar v0 en el circuito de la figura
Respuesta: -5V
Problema 10:
Aplique el método de los voltajes de los nodos para encontrar v1 y v2 en el circuito de
la figura
Respuesta:
Problema 11:
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a) Con base en el método de los voltajes de los nodos, encuentre v1, v2 e i1 en el
circuito que se muestra en la figura.
b) ¿Cuánta potencia suministra la fuente de 12 A al circuito?
c) Repita (a) y (b) para la fuente de 5 A.
Respuesta: (a) 48 V, 64 V, -8 A; (b) 768 W; (c) -240W.
Problema 12:
Utilizando el método de los voltajes de los nodos, encuentre la potencia total que se
disipa en el circuito de la figura
Respuesta: 2430 W
Problema 13:
Use el método de los voltajes de los nodos para calcular v en el circuito que se
muestra.
Respuesta: 15 V.
Problema 14:
Use el método de los voltajes de los nodos para determinar el valor de v0 en el circuito
de la figura
Respuesta: -23 V
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Problema 15:
Utilice el método de los voltajes de los nodos para encontrar v∆ en el circuito de la
figura
Respuesta: 5 V
Problema 16:
Use el método de los voltajes de los nodos para encontrar v en el circuito que se
muestra en la figura.
Respuesta: 8 V.
Problema 17:
Con base en el método de los voltajes de los nodos, encuentre v1 en el circuito que se
muestra.
Respuesta: 120 V.
Problema 18:
Mediante el método de los voltajes de los nodos, encuentre u en el circuito que se
presenta.
Respuesta: 24 V.
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Problema 19:
Use el método de los voltajes de los nodos para encontrar la potencia generada por la
fuente de 20 V del circuito que aparece en la figura
Respuesta: 602.5W
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