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ACADEMIA SABATINA
RECTAS Y PUNTOS DEL TRIÁNGULO
ACTIVIDADES
1. Materiales: triángulos de papel, regla y compás.
a. Toma un triángulo cualquiera, escoge uno de sus vértices y haz un doblez de
tal modo que los lados que conforman el ángulo coincidan. ¿Qué recta se
formó?
b. Completa la actividad haciendo lo mismo para los vértices restantes. ¿Qué
observas?
c.
Haz este mismo proceso con los otros triángulos y saca conclusiones con
respecto al punto de intersección de las rectas (lo llamaremos I):
d. Mide la distancia (perpendicular) de I a cada uno de los lados del triángulo.
¿Qué concluyes?
e. Traza una circunferencia con centro en I y radio la distancia de I a alguno de
los lados del triángulo. ¿Qué observas?
Angy C. Coronel Suárez
Febrero 2016
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Academia sabatina – Rectas y puntos del triángulo
2. Materiales: triángulos de papel, palitos de pincho y regla.
a. Toma un triángulo cualquiera, escoge uno de sus lados y haz coincidir sus
vértices adyacentes de forma tal que obtengas el punto medio del lado. Haz un
doblez que pase por este punto y el vértice opuesto al lado escogido. ¿Qué
recta se formó?
b. Completa la actividad haciendo lo mismo para los lados restantes. ¿Qué
observas?
c.
Haz este mismo proceso con los otros triángulos y saca conclusiones con
respecto al punto de intersección de las rectas (lo llamaremos B):
d. Toma uno de los palitos de pincho y ubica el triángulo sobre éste sin romper el
papel, de tal manera que B quede exactamente sobre la punta. Realiza el
mismo procedimiento, escogiendo otro punto sobre el triángulo. ¿Qué ocurre y
por qué?
e. Toma cualquiera de los vértices del triángulo y mide la distancia de éste al
punto B y del punto B al punto medio del lado opuesto al vértice escogido.
¿Qué conclusión puedes sacar?
Angy C. Coronel Suárez
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3. Materiales: triángulos de papel y transportador.
a. Toma un triángulo cualquiera, escoge uno de sus lados, haz un doblez de tal
modo que los bordes del lado estén sobrepuesto y que el pliegue pase por el
vértice opuesto.
¿Qué ángulo forma esta recta con el lado sobre el cual cae?
¿Qué recta se formó?
b. Completa la actividad haciendo lo mismo para los vértices restantes. ¿Qué
observas?
c.
Haz este mismo proceso con los otros triángulos y saca conclusiones con
respecto al punto de intersección de las rectas (lo llamaremos O):
Angy C. Coronel Suárez
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4. Materiales: diversos triángulos de papel, regla y compás.
a. Toma un triángulo cualquiera, escoge uno de sus lados y haz un doblez de tal
modo que los vértices que forman el lado coincidan.
¿Qué ángulo forma esta recta con el lado escogido?
¿Qué recta se formó?
b. Completa la actividad haciendo lo mismo para los vértices restantes. ¿Qué
observas?
c.
Haz este mismo proceso con los otros triángulos y saca conclusiones con
respecto al punto de intersección de las rectas (lo llamaremos C):
d. Mide la distancia de C a cada uno de los vértices del triángulo. ¿Qué puede
concluir?
e. Traza una circunferencia con centro en C y radio la distancia de C a cualquiera
de los vértices. ¿Qué observas?
Angy C. Coronel Suárez
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Todo triángulo tiene cuatro rectas notables: mediatriz, altura, mediana y bisectriz; y
cuatro puntos notables: circuncentro, ortocentro, baricentro e incentro.
La MEDIATRIZ de un lado del triángulo se define como la recta perpendicular a dicho
lado que pasa por su punto medio.
La ALTURA de un vértice del triángulo se define como el segmento que pasa por dicho
vértice y que corta perpendicularmente al lado opuesto o a su prolongación.
La MEDIANA de un lado de un triángulo se define como el segmento que une el punto
medio dicho lado con el vértice opuesto.
Angy C. Coronel Suárez
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La BISECTRIZ de un vértice de un triángulo se define como la recta que, pasando por
dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.
CONCLUSIONES
1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un único punto llamado incentro,
el cual es el centro del círculo inscrito que toca los tres lados del triángulo y, por
esto mismo, siempre es interior al triángulo.
Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del triángulo, en particular, la
distancia del incentro a los lados del triángulo es siempre la misma.
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2. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un único punto llamado
baricentro, el cual es el centro de masa del triángulo y siempre es interior al
triángulo.
La distancia del baricentro a un vértice es el doble de la distancia a su lado
opuesto.
3. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un único punto llamado ortocentro.
Se le da este nombre porque cada altura es ortogonal al lado que corta.
Una altura puede ser interior, exterior o coincidir con lado del triángulo, según si
es:
o RECTÁNGULO: la altura respecto al ángulo recto es interior y las otras dos
alturas coinciden con los catetos. El ortocentro coincide con el vértice del
ángulo recto.
o ACUTÁNGULO: las tres alturas son interiores al triángulo, luego el ortocentro
también lo es.
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o
OBTUSÁNGULO: la altura respecto al ángulo obtuso es interior y las otras dos
alturas son exteriores al triángulo, luego el ortocentro es exterior.
4. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un único punto llamado
circuncentro, el cual es el centro del círculo circunscrito que pasa por los tres
vértices del triángulo.
El circuncentro puede estar en el interior del triángulo si es ACUTÁNGULO, en el
exterior si es OBTUSÁNGULO y es exactamente el punto medio de la hipotenusa si
es RECTÁNGULO.
Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que
definen dicho lado.
Angy C. Coronel Suárez
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Con Regla y compás
Sigue los pasos para construir las alturas de un triángulo cualquiera usando regla y
compás:
a. Con origen en el vértice A, traza un arco de circunferencia de radio cualquiera pero
tal que corte al lado BC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos M y N.
b. Con origen en el punto M y un radio mayor que la mitad de la longitud de MN, traza
dos arcos de circunferencia (uno a cada lado del lado MN).
c. Con origen en el punto N y el mismo radio, traza dos arcos de circunferencia hasta
que se corten con los anteriores.
d. Traza la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos anteriores, de tal
forma que toque el vértice A. Esta recta es la altura que corresponde al vértice A.
e. Realiza el mismo procedimiento con los otros dos vértices y tendrás las alturas del
triángulo.
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Sigue los pasos para construir las medianas de un triángulo cualquiera usando regla y
compás:
a. Con origen en el vértice B y un radio mayor que la mitad de la longitud de BC, traza
dos arcos de circunferencia (uno a cada lado del lado BC).
b. Con origen en el vértice C y el mismo radio, traza dos arcos de circunferencia hasta
que se corten con los anteriores.
c. Toma la regla y marca el punto de intersección del lado BC del triángulo con la recta
imaginaria que pasaría por los puntos de intersección de los arcos anteriores. Éste es
el punto medio del segmento BC.
d. Traza la recta que une el vértice A con el punto medio de BC. Esta recta es la
mediana que corresponde al vértice A.
e. Realiza el mismo procedimiento con los otros dos vértices y tendrás las medianas del
triángulo.
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