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ESTADÍSTICA
UNIDIMENSIONAL
U. D. 14 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
1
MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
U. D. 14.5 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
2
Medidas de DISPERSIÓN
•
Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los
valores en una serie estadística respecto de la media.
•
RANGO O RECORRIDO
•
•
Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la variable.
Cuando la variable sea continua el recorrido será la diferencia entre el
valor superior de la última clase y el valor inferior de la primera.
•
DESVIACIÓN
•
Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la serie. Pueden
ser valores negativos o positivos.
La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero.
•
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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•
•
DESVIACIÓN MEDIA
Es la media aritmética de la suma de valores absolutos de todas las
desviaciones de una serie.
•
•
•
∑ fi.| xi - x |
Dm = -------------------, que da siempre un valor positivo.
∑ fi
•
Se emplea para comparar dos series semejantes.
•
•
VARIANZA
Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto
de la media.
Existen dos formas de calcularla, empleando una u la otra según la
columna que tengamos en la Tabla: ∑ [ (xi - x)2. fi ] o ∑ xi2 . fi
•
•
•
•
∑ [ (xi - x)2 . fi ]
∑ xi2 . fi
V = ---------------------- = ------------- -- x2
∑ fi
∑ fi
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Matemáticas 4º ESO E. AC.
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•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
•
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Lo que significa que la Varianza es siempre positiva.
• s=√V
•
•
Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística
Es siempre de valor positivo, pues como veremos después tiene la
característica de radio de un entorno de centro la media.
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética.
CV = s / x , que suele darse en porcentajes.
•
•
•
Consecuencia:
Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la
mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones.
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Matemáticas 4º ESO E. AC.
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Media y Desviación Típica
El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x-σ) y (x+σ)
68 %
x–s
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x
Matemáticas 4º ESO E. AC.
x+s
6
Media y Desviación Típica
68 %
x-3.s
x-2.s
x-s
x
x+s
x+2.s
x+3.s
95 %
99 %
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Matemáticas 4º ESO E. AC.
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Ejemplo 1
Calificaciones de 25 alumnos de una clase con x=113,3/25=4,53
xi – x
2,80
1
2,80
– 1,73
1,73
3,00
3,00
3,20
4
12,80
– 1,33
5,32
1,77
7,08
3,90
3
11,70
– 0,63
1,89
0,40
1,20
4,20
6
25,20
– 0,33
1,98
0,11
0,66
5,00
4
20,00
0,47
1,88
0,22
0,88
5,60
3
16,80
1,07
3,21
1,14
3,42
6,00
4
24.00
1,47
5,88
2,16
8,64
Σ
25
113,30
fi.| xi - x |
fi. (xi – x)2
fi
@ Angel Prieto Benito
xi,fi
(xi – x)2
xi
21,89
Matemáticas 4º ESO E. AC.
24,88
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Medidas de dispersión 1
•
MEDIDAS DE DISPERSIÓN EJEMPLO 1
•
RELACIÓN x-s
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
RANGO
Rango = 6 – 2,8 = 3,20
DESVIACIÓN MEDIA
∑ fi.| xi - x |
21,89
Dm = ------------------- = ---------- = 0,8756
∑ fi
25
VARIANZA
∑ [ (xi - x)2 . fi ]
24,88
V = ---------------------- = ----------- = 0,9952
∑ fi
25
DESVIACIÓN TÍPICA
s=√0,995 = 0,9975
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV = s / x = 0,9975 / 4,53 = 0,22 = 22 %
•
•
•
x–s=
= 4,53 – 0,9975 =
= 3,5325
•
•
•
x+s=
= 4,53 + 0,9975 =
= 5,5275
•
El 68% de los
alumnos han
obtenido una nota
entre 3,53 y 5,52
puntos.
68 % de 25 =
=0,68.25 = 17
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Matemáticas 4º ESO E. AC.
•
•
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Ejemplo 2
Estatura de los 80 alumnos de 4º ESO con Media x = 145 / 80 = 1,81
m.c.
(xi)
fi
[1,65 – 1,70) 1,675
6
[1,70 – 1,75) 1,725
xi,fi
fi.| xi - x | (xi-x)2
fi. (xi-x)2
– 0,135
0,81
0,01825 0,1095
12
20,70 – 0,085
1,02
0,00725 0,0870
[1,75 – 1,80) 1,775
30
52,25 – 0,035
1,05
0,00125 0,0375
[1,80 – 1,85) 1,825
22
43,15
0,015
0,33
0,00025 0,0055
[1,85 – 1,90) 1,875
8
15,00
0,065
0,52
0,00425 0,0340
[1,90 – 1,95) 1,925
2
3,85
0,115
0,23
0,01325 0,0265
80
145
3,96
0,301
Σ
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10,05
xi – x
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Medidas de dispersión 2
•
MEDIDAS DE DISPERSIÓN EJEMPLO 1
•
RELACIÓN x-s
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
RANGO
Rango = 1,95 – 1,65 = 0,30
DESVIACIÓN MEDIA
∑ fi.| xi - x |
3,96
Dm = ------------------- = ---------- = 0,0495
∑ fi
80
VARIANZA
∑ [ (xi - x)2 . fi ]
0,301
V = ---------------------- = ----------- = 0,00376
∑ fi
80
DESVIACIÓN TÍPICA
s=√0,00376 = 0,061
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV = s / x = 0,061 / 1,81 = 0,0339 = 3,39 %
•
•
•
x–s=
= 1,81 – 0,061 =
= 1,749
•
•
•
x+s=
= 1,81 + 0,061 =
= 1,871
•
El 68% de los
alumnos tiene una
altura entre 1,749 y
1,871 m.
68 % de 80 =
=0,68.80 = 54,4 =
= 54 alumnos
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•
•
•
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Ejemplo 3
Calificaciones de 100 alumnos en Matemáticas (x=4,8)
xi
fi
xi fi
xi2
fi xi2
3
40
120
9
360
5
30
150
25
750
7
30
210
49
1470
100
480
2580
•VARIANZA
•DESVIACIÓN TÍPICA
•
•S = √V =√2,76 = 1,66
∑ fi .xi 2
•V = ------------- - x 2
•
∑ fi
•V = 2,76
@ Angel Prieto Benito
= 25,80 – 4,82
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346
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Ejemplo 4
Calificaciones de 100 alumnos en Matemáticas (x = 4,7)
Atención: La columna xi es diferente del ejemplo anterior
clases
xi = m.c.
fi
xi fi
xi 2
fi xi 2
[0,5 , 3,5]
2
40
80
4
160
(3,5 , 6,5]
5
30
150
25
750
(6,5 , 9,5]
8
30
240
64
1920
100
470
93
2830
•VARIANZA
•DESVIACIÓN TÍPICA
•
•S = √V =√6,21 = 2,49
∑ fi .xi 2
•V = ------------- - x 2
•
∑ fi
•V = 6,21
@ Angel Prieto Benito
= 28,30 – 4,72
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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Ejemplo 5
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
Atención: Las columnas son diferentes de ejemplos anteriores
xi
fi
xi fi
xi2
fi xi2
3
10
30
9
90
5
80
400
25
2000
7
10
70
49
490
100
500
•MEDIA
x = 500 / 100 = 5
∑ fi .xi 2
•V = ------------- - x 2
•
•DESVIACIÓN TÍPICA
•S = √V =√0,80 = 0,90
•VARIANZA
•
2580
∑ fi
@ Angel Prieto Benito
= 25,80 – 52
V = 0,80
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s / x = 0,9 / 5 = 0,18 = 18%
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14
Ejemplo 6
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
Atención: Las columnas son diferentes de ejemplos anteriores
clases
xi = m.c.
fi
xi fi
xi 2
fi xi 2
[0,5 , 3,5]
2
40
80
4
160
(3,5 , 6,5]
5
20
100
25
500
(6,5 , 9,5]
8
40
320
64
2560
100
500
•MEDIA
x = 500 / 100 = 5
•VARIANZA
•
•DESVIACIÓN TÍPICA
•S = √V =√7,20 = 2,68
∑ fi .xi 2
•V = ------------- - x 2
•
3220
∑ fi
@ Angel Prieto Benito
= 32,20 – 52 =
V = 7,20
•COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•CV = s / x = 2,68 / 5 = 0,54 = 54%
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