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1 Dinámica 1 Los principios de Newton Física 2º BACHILLERATO 1ª Ley (ley de la inercia) Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, en tanto que no actúe sobre él una fuerza que que le obligue a cambiar su estado 2ª Ley (ley fundamental de la dinámica) Existe una relación constante entre las fuerzas aplicadas a un cuerpo y las aceleraciones producidas. Esta constante se denomina masa inercial del cuerpo F1 F2 F3 ... cte m a1 a2 a3 3ª Ley (principio de acción y reacción) Para cada acción, existe siempre una reacción de la misma intensidad pero dirigida en sentido contrario F FAB BA Las leyes de Newton permiten resolver cualquier problema de mecánica entre cuerpos con velocidades muy inferiores a los de la luz y tamaños muy superiores a los de las partículas atómicas 1 Dinámica 2 Física 2º BACHILLERATO Sistemas de referencia inerciales SRI (en reposo) y SRI’ (que se desplaza con MRU) son sistemas de referencia inerciales. El ciclista P se desplaza con respecto a ambos SRI d r i d r i' d r S dt dt dt rs r i r i' r S SRI’ r i' ri v i v i' v S P d v i d v i' d v S ai ai' aS dt dt dt Como SRI’ se desplaza con v = cte respecto a SRI as 0 ai ai' m ai m ai' Fi Fi' El estudio del movimiento de P es igual desde los dos sistemas ya que ai ai' Multiplicando por la masa de P resulta: La causa que produce el movimiento en P es la misma, por ser Fi Fi' Si P no tuviera aceleración, su movimiento se observaría igual en ambos sistemas En los sistemas de referencia inerciales, se cumplen las leyes de Newton, y por ello, solo las fuerzas reales producen aceleración 1 Dinámica 3 Física 2º BACHILLERATO Sistemas de referencia no inerciales SRNI SRNI son sistemas que se desplazan con aceleración con respecto a SRI. El ciclista P se desplaza con respecto a ambos rs SRI ri r ni r S r ni d r i d r ni d r S dt dt dt ri vi vni v S P d v i d vni d v S ai ani aS dt dt dt Multiplicando por la masa de P resulta: m ai m ani m as Fi Fni Fs El estudio del movimiento de P no es igual para ambos sistemas ya que ai ani La causa que produce el movimiento en P es distinta para cada sistema. Fi Fni Si P no tuviera aceleración en el SRI, lo que se mediría en el SRNI sería ani aS Fni m as Fi que es la llamada fuerza de inercia En los SRNI, no se cumplen las leyes de Newton salvo que se introduzcan unas fuerzas ficticias denominadas fuerzas de inercia 1 Dinámica 4 Física 2º BACHILLERATO Principio de equilibrio dinámico de D´Alembert Las leyes de la dinámica de Newton no se cumplen en sistemas no inerciales Para poder aplicarlas con su misma formulación, D’Alembert introdujo unas nuevas condiciones de equilibrio teniendo en cuentaque siempre que un cuerpo se encuentre en un sistema acelerado, con aceleración as este sufre una fuerza igual y de sentido contrario de valor Fi m as La suma de las fuerzas que actúan sobre cualquier sistema, incluidas las inerciales, ha de ser igual a cero F m as 0 F Fi 0 1 Dinámica 5 Los sistemas de partículas Física 2º BACHILLERATO Un sistema de partículas es un conjunto de ellas que pueden considerarse puntuales, de modo que la posición y el movimiento de cada una, influye en el de los demás Un sistema material es discreto si está formado por un número finito de partículas localizadas El sistema solar puede estudiarse como un sistema de partículas Un sistema material es continuo, si está formado por un número de partículas que no se puede delimitar entre ellas Cualquier sistema de partículas puede describirse mediante el estudio de algunas magnitudes globales 1 Dinámica 6 Física 2º BACHILLERATO Centro de masas El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula material, en la que se concentra toda la masa del sistema, tal que su vector de posición r g cumple que: mi r i M r g mi r i r g M ( M = mi ) z mi xi xg M mi yi yg M zg r1 G m4 m2 rg y r3 x r4 r2 mi zi M En los sistemas continuos y homogéneos, el centro de masas coincide con el centro de simetría del sistema m1 m3 1 Dinámica 7 Física 2º BACHILLERATO Aplicación al cálculo del centro de masas Se toman los tres cuadriláteros marcados, se calcula su centro de simetría mediante el corte de sus diagonales y se concentra en dichos puntos la masa de cada placa, que se expresa en función de la densidad superficial de masa r1 1,5 i 2 j r 2 3,5 i 0,5 j r 3 3,5 i 3,5 j m1 = S1 = 12 m2 = S 2 = m3 = S 3 = r G mi r i 12 (1,5 i 2 j ) (3,5 i 0,5 j ) (3,5 i 3,5 j ) 1,8 i 2 j M 14 r G 1,8 i 2 j 1 Dinámica 8 Física 2º BACHILLERATO Movimiento del centro de masas Cuando una fuerza actúa sobre un sistema de partículas, este se comporta de forma que el centro de masas se mueve como si toda la masa del sistema de partículas estuviese concentrada en él mi r i rg M mi vi drg 1 d ri mi vg dt M dt M mi ai d vg 1 d vi mi ag dt M dt M Para un sistema de partículas m1, m2, ..., mi , cada una de ellas estaría sometida a fuerzas ejercidas por las demás, por lo que se denominan fuerzas int internas F i y fuerzas del exterior del sistema F ext i Por la 2ª ley de Newton Fi int Fi Un objeto lanzado puede moverse de manera compleja, pero su centro de masas describe una parábola 0 Por el principio de acción y reacción F int i F ext mi ai i Fi F ext mi ai F ext M aG i i 1 Dinámica 9 Física 2º BACHILLERATO Momento lineal de una partícula. Impulso mecánico Se llama momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula al producto de su masa por la velocidad que lleva, es decir, p m v Esta magnitud vectorial define la capacidad que tienen los cuerpos para modificar el estado de movimiento de otros cuerpos Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza F durante un tiempo dt , este experimenta una aceleración que modifica el valor de su velocidad, y por tanto, de su cantidad de movimiento t dv a F d v F dt m d v F dt dt m m m d v t0 F dt Si F cte m ( v v0 ) F t v v0 p I El impulso que recibe la pelota al ser devuelta por la jugadora, modifica su cantidad de movimiento El impulso de una fuerza que actúa sobre una partícula, se invierte en variar su cantidad de movimiento 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 100 Momento lineal de un sistema de partículas La velocidad del centro de masas de un sistema de partículas se expresa así: m vG i vi mT vG mi vi i i mT La velocidad del centro de masas de un sistema de partículas es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de ellas p p1 p2 ... pn m1 v1 m2 v2 ... mn vn La suma de los momentos lineales de las chispas es igual al de toda la masa concentrada antes de la explosión El momento lineal de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría toda la masa concentrada en el centro de masas 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 111 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento Un sistema se denomina aislado cuando sobre él no se ejerce ninguna fuerza externa FT F ext F int aislado Fint Si en un sistema de partículas sumamos las fuerzas de carácter interno con independencia del cuerpo en el que se apliquen, estas se anulan por ser iguales dos a dos FT aislado 0 F 0 I p 0 En un sistema aislado, se conserva la cantidad de movimiento F 0 p cte 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 122 Momento angular de una partícula Cuando un cuerpo gira, además del momento lineal tiene cantidad de movimiento de rotación o momento angular Se denomina momento angular o momento cinético L de una partícula de masa m y velocidad v con respecto a un punto O, al momento de su cantidad de movimiento L O L r mv r El momento angular o momento cinético L de dicha partícula con respecto al un punto O, es un vector: cuyo módulo es L = r. p. sen m cuya dirección es perpendicular al plano formado por r y v cuyo sentido es el que indica la regla del tornillo v 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 133 Momento angular de un sistema de partículas Los movimientos de todas las partículas del sistema se estudian referidos a un punto común que sirve de origen de los vectores de posición de todas ellas En tal caso, se cumple que: m2 v1 L l1 l2 ... ln r 1 p1 r 2 p2 ... rn pn m1 L0 L G RG mT vG vG mT RG r4 P0 El momento angular del sistema, con respecto a cualquier punto, en función del momento angular del centro de masas con respecto a dicho punto es: G v4 m4 v3 r1 L li r2 Se llama momento angular o cinético de un sistema de partículas con respecto a un punto a la suma de los momentos angulares de todas ellas: v2 r3 m3 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 144 Teorema de conservación del momento angular El momento angular que adquiere una partícula o un sistema de partículas con respecto a un punto fijo, es función de la fuerza total aplicada y del punto en que se aplique, es decir del momento de la fuerza dr d (m v ) d L d ( mv r r mv ) dt dt dt dt Es nulo por tener ambos vectores la misma dirección d L m d v m r F M r r a dt dt Si F 0 Si r y F son paralelos M0 dL 0 dt M r F 0 El momento angular se conserva en todos los casos en que M 0 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 155 Aplicación del teorema de conservación del momento cinético La órbita de un planeta alrededor del Sol es elíptica, colocándose éste, en uno de los focos. Si la velocidad en el punto más cercano al Sol de un planeta es 30 km/s y su distancia es 1,5 . 1011 m, ¿puede calcularse su valor en el punto más lejano, situado a 1,9 . 1011 m? Las únicas fuerzas que actúan son las internas de interacción gravitatoria Se trata de un sistema aislado y se puede aplicar el principio de conservación del momento angular o cinético vp Sol vp La Lp ra m va rp m vp m ra va sen 90 = m rp vp sen 90 ra va = rp vp 11 va rp vp 1,5 .10 . 30000 23684 ra 1,9 .1011 va = 23684 m/s Tierra 1 Dinámica 166 El sólido rígido como caso particular de sistema de partículas Física 2º BACHILLERATO Cualquier cuerpo puede considerarse formado por muchas unidades de masa m1, m2, m3, ... La suma de todas ellas formaría el cuerpo entero de masa M, es decir: M = mi Esta descomposición del sólido como suma de partes, permite estudiarlo como un sistema de partículas con la condición de que se mantengan todas ellas, siempre en la misma posición relativa unas de otras Un sólido rígido es un sistema de partículas en el que las distancias entre ellas permanecen constantes 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 177 Magnitudes angulares Los movimientos circulares se estudian con sus propias variables 0 wt 1/2 at2 w w0 at Radián es el ángulo que abarca un arco de circunferencia igual al radio. Es la unidad angular en el S.I. Las magnitudes lineales se obtienen multiplicando las angulares por el radio, es decir: s=.r se expresa en rad v=w.r w se expresa en rad/s at = a . r a se expresa en rad/s2 1 Dinámica 188 Rotación y traslación Física 2º BACHILLERATO S Traslación pura Ó Se produce cuando todos los puntos del sólido, al permanecer a la misma distancia, tienen la misma velocidad L I D Este movimiento puede describirse mediante el de un solo punto representativo como es el centro de masas vi = vG O Rotación pura R Se produce cuando todos sus puntos realizan circunferencias cuyos centros se encuentran sobre una recta denominada eje de rotación Í Todas las partículas tienen la misma velocidad angular G La velocidad tangencial de cada elemento mi del sólido será: vi = w ri I D O Traslación más rotación La velocidad de cada partícula será la suma de ambas vi = vG + w ri 1 Dinámica 199 El momento de inercia Física 2º BACHILLERATO El efecto de inercia de una masa en rotación es la tendencia que tiene el cuerpo a seguir girando Depende no sólo de su masa, sino de cómo esté distribuida alrededor del eje de giro Supongamos un disco y un anillo de igual masa y radio, girando con la misma velocidad angular. La diferente distribución de la masa entorno al eje de giro, hace que la fuerza necesaria para modificar su velocidad, sea mayor en el anillo que en el disco La tendencia a permanecer en su estado de movimiento, es mayor para el cuerpo con mayor momento de inercia El momento de inercia de un cuerpo puntual de masa m respecto un eje es el producto de su masa por el cuadrado de la distancia al eje de giro I = mr2 El momento de inercia de un cuerpo puntual es una magnitud escalar El momento de inercia de un conjunto de partículas es la suma de los momentos de inercia de cada una de ellas I mi r 2i I v r 2 dm 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 20 Momento de inercia de algunas figuras sencillas R R R I = mR2 I= 1 mR2 2 I = mR2 R a I= R L b 1 m (a2 + b2) 12 2 I = m R2 5 I= I= 1 m L2 3 1 mR2 2 L I= 1 m L2 12 1 Dinámica 221 Teorema de Steiner d CM CM I = I0 + M d2 Física 2º BACHILLERATO El momento de inercia de un cuerpo que está girando respecto a un eje cualquiera que no pase por su centro de masas es igual a su momento de inercia con respecto a otro eje paralelo que pase por el centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes 1 Dinámica 22 Teorema de las figuras planas Física 2º BACHILLERATO z y x Ix = Iy Si se toman tres ejes perpendiculares entre sí, de modo que dos de ellos estén en el plano de la figura, el momento de inercia respecto del eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de los otros dos ejes Iz = Ix + Iy 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 23 Ecuación fundamental de la dinámica de rotación Sea una partícula de masa m con MRUA, que gira alrededor de un eje debido al momento producido por una fuerza que actúa sobre ella, perpendicularmente a este El momento, con respecto al eje, que actúa sobre la partícula es: M M r F O Es una magnitud vectorial: Módulo: M = r F sen 90 = r m a a=ar r M = mr2 a F m Dirección: la del eje de rotación Sentido: el obtenido al girar r sobre F, por el ángulo más corto, según la regla del tornillo M = mr2 a M=Ia Expresándolo en función del momento de inercia: 2 I=mr Ecuación fundamental e la dinámica de rotación M I. a 1 Dinámica Física 2º BACHILLERATO 24 Momento angular de un sólido rígido en rotación Se puede considerar un sólido rígido como un sistema de partículas de modo que cada elemento mi gira alrededor del eje con un radio ri y una velocidad vi Su momento angular con respecto al centro de su trayectoria es: L i ri m vi Es una magnitud vectorial: Módulo: L = r mv sen 90 = r m v vi = w ri Li = mri2 w Dirección: la del eje de rotación Sentido: el que se obtiene por aplicación de la regla del tornillo Para todas las partículas del sólido: L = Li = Si M 0 dL I dw I a M dt dt En el SR se cumple que: mri2 L I. w w=Iw dL 0 L cte dt I1w1 + I2w2 = ... = cte Teorema de conservación: Si M 0 el momento angular L permanece cte
