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Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es
una colección de igualdades de la forma:
a11 x1  a12 x2 
a21 x1  a22 x2 
am1 x1  am 2 x2 
 a1n xn  b1 

 a2 n xn  b2 


 amn xn  bm 
Resolver un sistema
de ecuaciones
lineales consiste en
encontrar valores
de las incógnitas
que verifiquen
todas las
igualdades a la vez.
Si los términos independientes bi son todos iguales a
cero, el sistema se llama HOMOGÉNEO.
Dos sistemas con la misma solución son EQUIVALENTES.
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© Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales
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1
Clasificación de sistemas
Sistema INCOMPATIBLE
No tiene solución
x y 2 

2 x  3 y  1
 x  8 y  6 
Sistema COMPATIBLE
DETERMINADO: solución única
x y 2 

2 x  3 y  1
 x  8 y  7 
x = 1, y = 1
es la única
solución
x = 1, y = 1
verifican las dos
primeras ecuaciones
pero no la última
Sí tiene solución
INDETERMINADO: infinitas soluciones
x  y  2z  4 

 x  4 y  3z  4 
x = 1, y = -3, z = 3 es solución
x = 4, y = 0, z = 0 es otra solución
x = 0, y = -4, z = 4 es otra solución
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2
Métodos de Resolución
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1. Se despeja una variable en una ecuación y se sustituye en el
resto.
2. Se repite el proceso hasta conseguir una sola ecuación con una
incógnita, la cual se resuelve de forma inmediata.
3. Con ese valor, se van obteniendo los valores del resto de
variables.
despejamos y de la 1ª ecuación
x y 2 

2 x  3 y  1  y  2  x
 x  8 y  7 
sustituimos en las otras dos ecuaciones
5x  5 
  x  1 y  1
9 x  9 
calculamos y
calculamos x
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3
Métodos de Resolución
MÉTODO DE IGUALACIÓN
1. Se despeja la misma variable en todas las ecuaciones y se igualan
los resultados.
2. Se repite el proceso hasta conseguir una sola ecuación con una
incógnita, la cual se resuelve de forma inmediata.
3. Con ese valor, se van obteniendo los valores del resto de
variables.
x y 2 

2 x  3 y  1
 x  8 y  7 
y  2 x
despejamos y

5
5 
x 
3
3 


13
13 
x
24
24 
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1 2
y  x
3 3
7 1
y  x
8 8
1 2 
2  x   x
3 3 

1 2
7 1 
 x  x
3 3
8 8 
igualamos

 x  1 y  1
calculamos y
calculamos x
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Métodos de Resolución
MÉTODO DE REDUCCIÓN
1. Se multiplica una ecuación por un número y se suma a otra
ecuación para eliminar (reducir) una variable.
2. Se repite el proceso hasta conseguir una sola ecuación con una
incógnita, la cual se resuelve de forma inmediata.
3. Con ese valor, se van obteniendo los valores del resto de
variables.
x y 2 

2 x  3 y  1
 x  8 y  7 
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(1ª).(-2)+(2ª)

(1ª)+(3ª)
x y 2 

5 y  5
9 y  9 
A la segunda ecuación se le suma la
primera multiplicada por –2.
A la tercera ecuación se le suma la
primera multiplicada por 1.
 y 1  x 1
calculamos y
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calculamos x
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5
Notación Matricial
a11 x1  a12 x2 
a21 x1  a22 x2 
am1 x1  am 2 x2 
 a11

a21

A


 am1
G3w
rupo
a12
a22
am 2
 a1n xn  b1 

 a2 n xn  b2 


 amn xn  bm 
AX = b
donde
 b1 
 
b2 

b
 
 
 bm 
a1n 

a2 n 


amn 
matriz de coeficientes
del sistema
puede expresarse como
 x1 
 
x2 

X
 
 
 xn 
vector de términos
independientes
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vector de
variables
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Método de Gauss para resolver sistemas
En la matriz ampliada (A|b) se aplican transformaciones
elementales hasta llegar a una matriz escalonada que
representa un sistema equivalente al inicial. Este nuevo
sistema se resuelve por sustitución regresiva.
 a11 a12

a21 a22

 A | b  

 am1 am 2
| b1 

| b2 

|

| bm 
a1n
a2 n
amn
 A | b 
transformaciones elementales
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

0




0
matriz ampliada
del sistema
|
|
0
|
0
|






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7
Método de Gauss para resolver sistemas
Ejemplo:
 A | b
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 1 1 | 2
 A | b    2 3 | 1 
 1 8 | 7 


9
1
1
|
2
1 | 2


F3  F3  F2  1
F2  F2  2 F1
5




0

5
|

5
0

5
|

5






F3  F3  F1 

0 0 | 0
0
9
|
9




sistema
equivalente

x y 2 

2 x  3 y  1
 x  8 y  7 
x  y  2   x 1

5 y  5  y  1
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sustitución
regresiva
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8
Teorema de Rouché-Frobenius
Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, se dice:
Sistema COMPATIBLE
 rang  A  rang  A | b 
¿ rang  A  rang  A | b  ?
Sí
No
Sistema compatible
Sistema incompatible
¿ rang  A  rang  A | b   n ?
Si
No
rang  A  rang  A | b   n
Sistema compatible determinado
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Sistema compatible indeterminado
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Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo 1:  x  2 y  z  0 
 x  y  2 z  3 
n=3

2 x  5 y  z  5
3x  2 y  z  2 
 1
F2  F2  F1 
0

 A | b  
0
F3  F3  2 F1
F4  F4  3 F1 
 0

 1
F3  F3  3 F2 
 0

F4  F4  4 F2  0

 0
2
1
0
0
2
1 |
3
3 |
1
1 |
4
2 |
 1 2 1

1 1 2

 A | b  
2 5
1

1
 3 2
0

3
5 

2 
1 |
 1
F2  F3 
 0

F2  F2  0

 0
0
 1


1 |
5  F4  F4  F3  0
6 |
18    0


6 | 18 
 0
2
1
0
0
0

| 3
| 5 

| 2
|
2
1 |
1
1 |
3
3 |
4
2 |
0

5
3

2 
1 |
0

1 | 5  rang  A  3
6 | 18  rang  A | b   3

0 | 0
Sistema compatible y determinado: x = 1, y = 2, z = 3
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Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo 2:
n=3
x  y  z  3

x  2 y  3z  2
2 x  5 y  z  0 
1
1
F2  F2  F1
 A | b    0 3
F3  F3  2 F1 
 0 7
1
F3 3 F3

 0
0

3

2 | 1 
1 | 6 
1
|
rang  A | b   3
rupo
1 |
7
F3  F3  F2
3
3  F3  F3 17 F2  1
2


3
2 | 1    0
0
0 17 | 11

1
rang  A  2
G3w
1 1 1 | 3
 A | b    1 2 3 | 2 
 2 5 1 | 0 



1

0
0

3 

3
2
|
1 
0 17 3 | 11 3 
1
1
|
3 

3 2 |
1 
0 0 |  39 2 
1 1 |
Sistema incompatible
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Teorema de Rouché-Frobenius
x  y  2 z  3t  1 
 1 1 2 3 | 1 

2 x  3 y  z  t  3  A | b    2 3 1 1 | 3 
1 1 1 1 | 0
x  y  z  t  0 


Ejemplo 3:
n=4
1
F2  F2  2 F1
 A | b    0
F3  F3  F1 
0
F3  F3  2 F2

G3w
rupo
1

0
0

1
5
2
1
2
1
1
0
1
1

5 5 | 5 
1 2 | 1 
2
3 |
1

1 | 1
0 |
1 
3 |
x  1  2t 

yt


z 1

1
F2  F2
5

1

0
0

rang  A  3
rang  A | b   3
1
1
2
1

1 1 | 1
1 2 | 1
2
3 |
Sistema compatible
e indeterminado
Infinitas soluciones, según
los valores que se den a la
incógnita t
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Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales
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12
Resolución mediante la matriz inversa
Sea el sistema AX = b, con la matriz A cuadrada (mismo
número de ecuaciones que de incógnitas). Si existe la
matriz inversa de A, entonces la solución viene dada por:
Ejemplo:
X  A1  b
2x  y  z  5
 2 1 1 
13 28
9 28 
  5 14

3x  2 y  7 z  6  A   3 2 7  A1   17 14 19 28 11 28 
 1 2

1


1
4
1
4


4 9
x  4 y  9 z  0

x 1
9  5   1 
 10 13
1 
      y  2
1
X  A  b   34 19 11 6    2 

28 
 z  1
 0   1 

14
7
7


   
G3w
rupo
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Regla de Cramer
Sea el sistema AX = b, con la matriz A cuadrada (mismo
número de ecuaciones que de incógnitas). Si existe
solución única, se puede obtener como sigue:
i
xi 
A
i  1,
,n
número de
incógnitas
i  es
el determinante que resulta de sustituir la
columna de A correspondiente a la incógnita i-ésima
por la columna correspondiente a los términos
independientes.
A  es
G3w
rupo
el determinante de A.
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14
Regla de Cramer
Ejemplo:
2x  y  z  5

3x  2 y  7 z  6
x  4 y  9 z  0 
2
1 1
A  3 2 7  28  0
1
4
9
1 1
2 5 1
6 2 7
3 6 7
4 9 28
1 0
x


1
A
28
28
 2 1 0 9 56
y


2
A
28
28
5
2
1 5
3 2 6
4 0
3 1
28
z


 1
A
28
28
G3w
rupo
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Bloque 2. Álgebra. Tema 5. Sistemas de Ecuaciones Lineales
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15