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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería • 3.8 Circuito RC en serie y sus aplicaciones • Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. • Dicho circuito puede representar cualquier conexión de resistores y capacitores cuyo equivalente sea un solo resistor en serie con un solo capacitor. Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Carga de un circuito En la figura se muestra un circuito RC conectado a una fuente de voltaje continuo ε. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargar al capacitor C. a b V R Vc C + + ε R - - El proceso inicia cuando el interruptor se conecta a la posición “a” en el tiempo t=0 [s] y se considera que el capacitor se encuentra descargado. Aplicando ley de Kirchhoff a la malla. Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería carga de un circuito En la figura se muestra un circuito RC conectado a una fuente de voltaje continuo. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargar al capacitor, al cerrar el interruptor “a” R a i Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM + + ε b - - q C C Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería VR VC ; LVK VC=0 t≤0 R i(t ) VC q(t ) CVc (t ) dVc (t ) dq(t ) i (t ) i (t ) R i (t )C C dt dt dVc (t ) R C VC dt Ecuación diferencial no coeficientes constantes homogénea dVc VC dt R C R C Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM de Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ecuación diferencial lineal no homogénea coeficientes constantes con solución homogénea (VCh) y particular (Vcp). dVc VC dt R C R C dVCh VCh 0; dt R C t LnVCh C1 ; RC Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM dVCh dt VCh R C C1 LnK Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Sustituimos la antilogaritmo. constante C VCh t Ln K RC t VCh e RC ; K VCh Ke t RC Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM y aplicamos el Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Solución Particular Debido a que el segundo miembro de la ecuación diferencial no homogénea es una constante, derivando la ecuación homogénea, la solución particular será del tipo: Vcp A; A = Constante 1 A ; RC RC A Vcp Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Solución completa Homogénea más la particular Vc t Vch Vcp Ke t RC V 0 0 Ke ; K 0 Vc t 1 e Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM t RC Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Solución completa La carga del capacitor qmax q (t ) Vc t ; C C t q (t ) qmax RC 1 e C C q(t ) qmax 1 e Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM t RC Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Corriente eléctrica La corriente en función del tiempo es: dVc ic t C e dt R t RC A Donde el término RC es la constante de tiempo en segundos. c RC s Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Entonces las ecuaciones del voltaje y corriente del capacitor es: c Vc t 1 e t I c t R e Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM t c Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Las gráficas de voltaje y corriente en función de la constante de tiempo (RC) Tau. t 0.5c c Vc 0.394 0.632 ic 0.607 0.368 2c 3c 4c 0.865 0.95 0.982 0.135 0.05 0.018 5c 6c 0.993 0.998 0.007 0.002 Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería En las gráficas o en las ecuaciones, se observa que el capacitor, para cuando, se carga y adquiere el voltaje de la fuente ε. Para entonces ya no existe diferencia de potencial en las terminales del resistor, por lo que la corriente es cero, es decir, si t Vc I c 0 Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Para considerar que el capacitor se ha cargado, de acuerdo con las gráficas para el tiempo el capacitor prácticamente ya se cargo y la corriente es casi nula. Es decir, para t 4 c se ha alcanzado el 98.2% del valor final del voltaje en el capacitor y se tiene el t = 4tc resulta el 1.8% de la corriente inicial en el circuito; es por ello que, para fines prácticos, se considera que para c se han alcanzado las condiciones estables del circuito. t 4 Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Descarga Si Después de cargado el capacitor hasta alcanzar una diferencia de potencial Vc=V0, se cambia el interruptor a la posición “b”, como se muestra en la siguiente figura, se obtendrá un circuito a través del cual se pueda descargar el capacitor, transformando su energía almacenada en energía en forma de calor en el resistor. Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Circuito de descarga Se conecta ahora el interruptor en la posición b. dVc RC Vc 0 dt dVc 1 Vc 0 dt RC Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM VR b i + + dVc VR Vc 0;VR RI R ; I C C dt I R IC - - C Vc Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Circuito de descarga La solución de la última ecuación es dVc 1 Vc 0 dt RC Vc t Vch Ke Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM t RC Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Circuito de descarga Condiciones iniciales VC 0 V0 Ke Vc t V0 e 0 t RC V0 dVc e I c t C R dt Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM t RC Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Circuito de descarga En la tabla siguiente se muestran los valores de la diferencia de potencial y de la corriente en el capacitor para diferentes valores de la constante de tiempo y considerando como condiciones iniciales t Vc Ic 0.5c 0.607 -0.607 c 0.368 -0.368 2c 0.135 -0.135 3c 0.05 -0.05 4c 0.018 -0.018 5c 0.007 -0.007 6c 0.002 -0.002 Vc V0 1V Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM V0 1A R Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ejemplo Se tiene un circuito con una batería una resistencia de 50 Ω y un capacitor de 100. μF. El capacitor esta completamente descargado. ¿En cuánto tiempo se carga el capacitor al 90% de su carga máxima? t RC q (t ) qmax 1 e qs (t ) / qma6 x 90% q (t ) / qmax t RC 1 e 0.90 t RC t Ln0.10 0.10 e RC t RCLn 0.1 50 100 10 6 (2.3) 11.5 10 3 s Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ejemplo Si la resistencia del corazón se considera de R2 = 500 Ω, la Fem es de 3.7 V y el corazón late entre 60 y 100 latidos por minuto. No obstante debe estar preparado a latir a 180 latidos por minuto. Cuales serían los valores de R y C para usarse en un 1 + marcapasos. + b - - C R R2 Corazón Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería t min 1 1 min 60 s 180lat / min 180 1 min q qmax (1 e t R1C ) 0.33s q / qmax (1 e t R1C ) 0.95 t min 1 R1C 0.111s Ln(1 0.95) si 2 0.5ms 2 R2C 0.5 10 3 s 0.0005 C 1.0 F 500 1 R1C 0.1s R1 1.0 10 6 0 .1 3 R1 100 10 6 1.0 10 Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ejemplo Electrocardiograma. Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Próxima sesión Tema 4 Magnetostática Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM
