Download Trigonometría del círculo unitario

Trigonometría del
círculo - parte 1
• Un círculo con
centro en el
origen de un
sistema de
coordenadas
rectangulares
y con radio
igual a 1 se
llama un
círculo
unitario.
• Si el punto
P(x,y) pertenece
al círculo
unitario, y el
segmento OP es
un radio,
entonces OP
intercepta un
arco dirigido q
va desde el eje
de x hasta P
(arco S).
• El arco
interceptado,
arco S, tiene
la misma
medida que el
ángulo central
ϴ.
En el círculo unitario
definimos
• sin(s) = sin(ϴ) como
la distancia, y, vertical
desde P hasta el eje
de x.
• Similarmente,
definimos
cos(s)=cos(ϴ) como
la distancia horizontal
desde el origen hasta
la coordenada en x
del punto P.
Arco s
• Si el círculo NO
es unitario,
entonces NO es
de radio 1.
• En este caso, se
determina el
seno y el coseno
del ángulo
central utilizando
el triángulo recto
imaginario que
se forma y las
razones que
estudiamos para
el triángulo recto.
Radio = 3
Vimos anteriormente que
en un triángulo recto:
opuesto
sin(  ) 
hipotenusa
adyacente
cos( ) 
hipotenusa
Utilizando el triángulo
recto imaginario
podemos traducir estas
razones a:
y
sin(  ) 
r
x
cos( ) 
r
Similarmente podemos
usar el triángulo recto
imaginario que se forma
dentro del círculo para
determinar las otras 4
razones
trigonométricas:
op
hip
ry
tan(

sec( ) 
ady x
ady
hip rx
cot( ) 
csc(

op yy
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
y
2
sin(  )  
r
2
x
2
cos( )  
r
2
y
tan( )  
x
2
1
2
P

2, 2

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
r
2
2 2
csc( )  

 2
y
2
2
r
2
2 2
sec( )  

 2
x
2
2
x
cot( )  
y
2
1
2
P

2, 2

EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se
muestra.
Sabemos que:
•el radio es 1
3 4
3
P , 
•x= 5
5 5
4
•y=
y
5
•Por lo tanto,
4
3
sin(  ) 
cos( ) 
5
5
y 4
tan( )  
x 3

x
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se
muestra.
Las relaciones recíprocas son:
5
csc( ) 
4
5
sec( ) 
3
3 4
P , 
5 5
y

x
x 3
cot( )  
y 4
Práctica
• Hallar los valores de las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.
 5 12 
P

13
,
13


P15, 8
Radio = 1
Radio = 17
Soluciones
• Hallar los valores de las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.
 5 12 
P

13
,
13


Radio = 1
5
cos  
13
12


sin  
13
12
tan   
5
13
sec  
5
13
csc   
12
5
cot   
12
cos  
Radio = 17
15
17
8
sin   
17
P15, 8
8
tan   
15
17
sec  
15
17
csc   
8
15
cot   
8