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CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento es el
porcentaje de veces que ocurrirá a
largo plazo. L. Chao.
Es la posibilidad numérica, medida
entre 0 y 1, de que ocurra un evento.
A. Webster.
Es una medida cuantitativa de qué
tan probable es que ocurra un evento.
W. Navidi.
PROBABILIDAD
El modelo de frecuencia relativa (a
posteriori).
P(E) = número de veces que ha
ocurrido el evento en el pasado /
número total de observaciones.
El modelo subjetivo.- Se utiliza
cuando se desea asignar probabilidad
a un evento que nunca ha ocurrido.
(opiniones, creencias).
El modelo Clásico (a priori).
PROBABILIDAD
P(E) = Número de formas en las que
puede ocurrir un evento / Número
total de posibles resultados.
CÁLCULOS DE
PROBABILIDADES
1.- Las placas de matrícula para
automóviles emitidas por cierto estado
tienen 3 dígitos seguido por 3 letras.
Una compañía fabricante de autos está
realizando una campaña de ventas de 4
semanas para atraer posibles
compradores para sus distribuidores en
ese estado. Se selecciona
aleatoriamente un número de placa, y el
número se fija en la sala de exhibición
de cada distribuidor. La persona cuyo
número de placa coincida con el número
extraído ganará un auto. ¿Cuál es la
probabilidad de que usted gane el auto
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
2.- En las loterías se acostumbra que
la persona cuyo número se extraiga
primero reciba el mayor premio, y así
sucesivamente. Supóngase que en
cierta lotería se vendieron 30 boletos
a 30 personas y solamente van a
seleccionarse 3 para determinar los
ganadores Suponga que usted, su
hermano y su hermana compraron
boleto. ¿Cuál es la probabilidad de
que gane el primer premio, su
hermano el segundo y su hermana el
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
3.- De entre una clase de 40
estudiantes, debe seleccionarse
aleatoriamente un comité de 5
estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad
de que un grupo de 5 muy buenos
amigos de la clase sea seleccionado
para ese comité?
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
4.- Una caja contiene 20 unidades de
cierto producto electrónico; 4 de ellas
son defectuosas y 16 son buenas. Se
seleccionan aleatoriamente 4
unidades y se venden. Obténgase la
probabilidad de que (a) las 4
unidades sean defectuosas, (b) entre
las 4 unidades vendidas 2 sean
buenas y 2 defectuosas y (c) se
vendan al menos 3 unidades
REGLAS Y FUNCIONES
PROBABILÍSTICAS
Contar es suficiente para cálculos
probabilísticos simples, pero cuando
un problema es complejo resultan
necesarias varias reglas para auxiliar
en la determinación de
probabilidades.
Axiomas o postulados (se aceptan sin
prueba).
P(E)≥0 si P=0 el evento no ocurrirá
P(S)=1
P(E)≤1
REGLAS DE ADICIÓN
1.- Complemento Unión
P(E)+P(É)=1 donde É es el
complemento de E
(E U É )=1 se lee La unión de E y É
P(E)=1- P(É) y P(É)=1-P(E)
Eventos mutuamente excluyentes:
Regla especial
P(E₁ U E₂)=P(E₁)+P(E₂) ya que (E₁ n
E₂ )=ф
Donde ф es un conjunto vacío
REGLAS DE ADICIÓN
1.- Supóngase que una bolsa
contiene 10 esferas marcadas 1, 2,
…,10. Sea E₁ el evento de extraer
una esfera marcada con 3 o menos, y
E₂ el evento de extraer una esfera
marcada con 6 o más.
P(E₁ U E₂ )=P(E₁) + P(E₂)=
3/10+5/10= 8/10
3/
REGLAS DE ADICIÓN
2.- Sea que se indique S al evento de
que usted asista a una universidad
estatal y P al evento de que asista a una
universidad privada. Considere que no
asistirá a ambas simultáneamente. Si la
probabilidad de que asista a una
universidad estatal es 0.4 y a una univ.
Privada 0.25, entonces la probabilidad
de que asista ya sea a una universidad
estatal o a una privada es:
P(S U P)= P(S)+P(P)= 0.40 +0.25 =
0.65
REGLAS DE ADICIÓN
Regla general de adición:
P(E₁ U E₂ )=P(E₁)+P(E₂)-P(E₁ n E₂)
Se aplica a eventos cualesquiera ya
sean mutuamente excluyentes o no.
Si son mutuamente excluyentes,
entonces E₁ n E₂=ф
La P(ф)=0
REGLAS Y FUNCIONES
PROBABILÍSTICAS
1.-Dadas 10 esferas marcadas del 1
al 10, sea E1 el evento de extraer una
esfera marcada con un número par y
E2 el evento de extraer una esfera
marcada con 5 o menos.
P(E1 U E2)= P(E1)+P(E2)-P(E1 n E2)
=1/2 + ½ - 2/10 = 4/5
REGLAS Y FUNCIONES
PROBABILÍSTICAS
2.- Supóngase que la probabilidad de
que usted llegue a asistir a una
universidad es de 0.6; la probabilidad de
que trabaje tiempo completo es 0.7, y la
probabilidad de que llegue a asistir a
una universidad y trabaje tiempo
completo es de 0.5. ¿Cuál es la
probabilidad de que o asista a una
universidad o trabaje tiempo completo?
P(U u W)=P(U)+P(W)-P(U n
W)=0.6+0.7-0.5=0.8
REGLAS Y FUNCIONES
PROBABILÍSTICAS
3.- Supóngase que se extrae un
naipe de una baraja ordinaria de 52.
Obténgase la probabilidad de extraer
un naipe de figura (F), es decir ; rey,
reina y sota o una pica(S). En
REGLAS Y FUNCIONES
PROBABILÍSTICAS
Regla: Si hay n eventos E1,E2, … ,
En los cuales son mutuamente
excluyentes, entonces la probabilidad
de la unión de estos eventos es la
suma de todas sus probabilidades
individuales.
P(E1 U E2 U … U En)
=P(E1)+P(E2)+…P(En)