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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
1.8 Energía potencial eléctrica y definición de
potencial eléctrico.
Trayectoria de una carga en una curva
VB
VA
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Si queremos desplazar la carga q en contra
de la fuerza ejercida por el campo eléctrico,
desde A hasta B, el trabajo realizado por el
agente externo es:
B
WB  
A


F  qE
A

 
B 
F  dl  q  E  dl
A
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La integral de línea entre dos puntos A y B es
independiente de la trayectoria, de acuerdo al teorema
de Stokes
Rotacional del campo E
 
  E ( x, y , z )  0
Para cualquier función escalar
vectorial V‘ se cumple que :
de
variable
  V ( x, y, z )  0
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Tomando en cuenta que el campo y el la
función escalar, pueden quedar expresados
como:

E ( x, y.z )  V ( x, y, z )
Igualando las integrales, la cual varía
solamente respecto de los puntos A y B

 

E

d
l


V
 dl


B
B
A
A
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• Para demostrar que la integral de línea solo depende de las
posiciones de los extremos.
• Tomemos la siguiente figura, sea una trayectoria A B
B
V 
dℓ1
Δℓ1
3
1
A
Δℓ3
2
Δℓ2
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Demostración de que la variación de una función en la
dirección dl desde A hasta B es independiente de la
trayectoria. (Sea la trayectoria de A hasta B)
V   V  x y z
1
1
1
  V 
Si Δℓi son muy pequeños Δν‘
diferencial
V   dV   
x yz
A
tiende
A
A
a ser un
V
V
V
dx 
dy 
dz
x
y
z

dl  dxi  dyj  dzk


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
V   (V )  d 
igualando

V  x y z   V  x y z   V  l
1
Donde
1
1
V1
A
A
A
1
1
Es el gradiente de V‘ en el
punto 1 de la curva.
De manera similar del punto 1 al 2

V  x y z   V  x y z   V  l
2
2
2
1
1
1
2
2
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Para los puntos 2 a 3
V  x3 y3 z3
Donde
V3
  V 
x2 y2 z2

  V3  l3
Es el gradiente de V‘ en el
punto 3 de la curva.
Y de igual forma para todos los puntos de la curva.
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Al sumar todas las contribuciones de los n
elementos de Δℓi , se eliminan todos los
componentes quedan solamente:

V  x y z   V  x y z    V  l
n
B
Cuando
B
B
A
A
A
i
i 1
i
l  0
i

V  xB yB zB   V  xA y A z A    V   dl
B
A
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Por lo anterior, se concluye que la integral de línea
solamente depende de las posiciones inicial y final
de una trayectoria.

V  xB yB zB   V  xA y A z A    V   dl
B
A
Para cuando una carga se mueve del punto A
hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la
variación de la energía potencial eléctrica U
Por lo tanto se puede obtener una diferencia de
energías potenciales.
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ENERGÍA POTENCIAL.
Para cuando una carga se mueve del punto A
hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la
variación de la energía potencial eléctrica U
Por lo tanto se puede obtener una diferencia de
energías potenciales.
Lo anterior aplicado al campo eléctrico E
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La energía potencial eléctrica en el punto A,
tomando una referencia de cero en el infinito
es:
 
A
U A WA  q  E  dl

Lo anterior representa el trabajo de traer la carga q desde
infinito hasta A
La Energía potencial por unidad de carga se le conoce como
el potencial eléctrico en el punto A y es VA, siendo este
potencial un escalar
UA
VA 
q
 
A

 
E  dl
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Las unidades son
Joule
J 
    volt  V 
Coulomb  C 
Si el punto A esta a un potencial VA y el punto B a un potencial
VB, existe una diferencia de potencial entre A y B y se expresa
como:
V
AB
 V V
A
B
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Se cumple que
V
AB
 V  V  V
BA
B
A
Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B y
recordando el potencial en A
UA
q
 
A

 
E  dl  VA
  B 
VAB  VA  VB   E  dl   E  dl
A



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Como es conservativo el campo, las trayectorias
de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo
de B , por lo que

A


A



 
B 
A 
E  dl   E  dl   E  dl

B


 
B 
A 
E  dl   E  dl   E  dl

B
Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:
VAB  
A
B
 
E  dl
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La expresión anterior, permite obtener el potencial
eléctrico a partir de la distribución de carga del
campo de origen.
Es decir, es posible calcular el potencial o
diferencia de potencial debido al campo eléctrico
creado por una carga, una línea, una superficie,
entre otras distribuciones.
VAB  
A
B
 
E  dl
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Y el trabajo para mover una carga de un punto A
hacia un punto B es:
W B q 
A
A
VAB  
A
B
W B q() 
A
B
A
B
 
E  dl
 
E  dl
 
E  dl  qVBA
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Potencial debido a una carga puntual
 
V    E  dl
A
A
El campo E de una
carga puntual:

1
Q
E
rˆ
4 r
2
0
El potencial en A
es VA

Ar
ˆ  dl
1
VA  
Q

40
r2
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Carga puntual Q , y trayectoria dl en
dirección hacia la carga.
dî
Vector r:
A
E
+
ra
Vector dl:
ř
dř
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El producto punto de dr y dl, donde dl esta
en dirección a la carga.


rˆ  dl  rˆ dl cos   dl
Además de dl= -dr
VA  
1
40
Q
rA

dr
2
r
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Resolviendo
integral definida
la
El potencial en A es
VA debido a una
carga puntual es:
1
1
VA  
Q[
 0]
40
rA
Q
V 
V 
4 r
1
A
0
A
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Resolviendo
integral definida
la
El potencial en A es
VA debido a una
carga puntual es:
1
1
VA  
Q[
 0]
40
rA
Q
V 
V 
4 r
1
A
0
A
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Potencial para una carga puntual.
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Para
el
potencial
cartesianas.
V  x, y , z  
en
1
coordenas
Q
4 0
x
2
 y2  z2

1
2
V 
Para n cargas puntuales, se obtiene el potencial debido a
cada carga y se suman por superposición.
V 
1
40
n

i
rn

Q
V 
r
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Para
el
potencial
cartesianas.
en
coordenas
Para el caso de distribuciones de carga
V 
1
40

dq
V 
r
Para el caso de distribuciones de carga superficial.
V 
1
40

dA
r
V 
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Considere la carga Q en el siguiente esquema.
Obtener la diferencia de potencial de i a f que realiza un agente
externo para mover una carga Q de i a f.
V fi  V f  Vi  
i
f
 
E  dl
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El campo por una carga puntual es :
1
Q
E
r
2 ˆ
40 r
V fi  V f  Vi  
i
f
 J 
Q
r  dl  
2 ˆ
40 r
C 
1


rˆ  dl  rˆ dl cos   1cos180dl  dl
dl  dr
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La diferencia de potencial de f a i
V fi  V f  Vi 
Q
40

i
f
1
Q 1
dr 
2
r
40 r
1
1
V fi 
(  )V 
40 rf
ri
Q
f
i
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• Diferencia de potencial entre dos puntos producidos
por una línea con λ
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Diferencia de potencial entre dos puntos f, i producida por una
superficie infinita cargada uniformemente
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• El campo en una superficie con distribución δ
 ˆ
E
j
2 0
V fi  V f  Vi   
yf
yi


dy  
y
2 0
2 0


V fi  
yi  y f 
2 0
yf
yi
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Diferencia de potencial por dos superficies infinitas
paralelas de signo contrario y de igual magnitud.
 ˆ
E
j
2 0
V fi  V f  Vi   
i
f
 
yf 2

2 E  dl   
dy   y
yi 2
0
0

V fi   yi  y f   E  d V 
0
yf
yi
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Próxima sesión:
Ejemplos de potencial y:
1.9 Cálculo de diferencias de potencial
(carga puntual, segmento de línea,
superficie infinita, placas planas y
paralelas).
1.10 El gradiente de potencial eléctrico.