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Hola chicos. Con ustedes tenemos el problema que estamos atrasados en las clases. Vamos a tratar de atrasarnos un
poco menos con estas clases vía internet. Cualquier duda dirigirse a el.marce67@gmail.com.
Estábamos por empezar a ver funciones trigonométricas y como introducción vimos como se expresaban los valores
de las razones trigonométricas utilizando lo irracionales. Ahora vamos a ver funciones trigonométricas propiamente
dichas, así que lo que viene tiene que ir en la carpeta. Si quieren, los gráficos, los pueden imprimir, recortar y pegar
en la carpeta. Los comentarios entre paréntesis no hacen falta pasarlos a la carpeta. Empezamos
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Circunferencia Trigonométrica
Como sabemos las razones trigonométricas fueron creadas para relacionar las medidas de los lados de un triángulo
rectángulo, y que según varían los ángulos de este, varían las medidas de los lados, y por consiguiente el valor de la
razón correspondiente.
También sabemos que en un triángulo rectángulo, la máxima amplitud que podemos hallar en un ángulo es 90º
(Obviamente el ángulo recto, ya que si hubiera otro mayor o igual de 90º, se superaría los 180º, límite para la suma
de los ángulos interiores) Sin embargo se define a las funciones trigonométricas para cualquier ángulo (pueden ver
que esto es cierto, con la calculadora prueben calcular, por ejemplo el sen 250º, ángulo imposible en un triángulo, y
van a ver que les da -0,93969) utilizando una circunferencia de radio 1, la que se denomina circunferencia
trigonométrica o goniométrica. Utilizando un radio móvil que gire, se pueden representar todos los ángulos, incluso
los que son mayores de 90º, y también ángulos negativos, ya que se toman como ángulos positivos cuando el sentido
de giro es contrario a las agujas del reloj ( ) y como negativo el giro a favor de las agujas del reloj ( ), (como si fuera
una recta numérica doblada). También para ángulos mayores de 360º, que como podemos observar vuelven a
coincidir con los ángulos menores. Ejemplo:
radio movil=1
90º (-270º)
30º (-330º)
sentido +
0º=360º (-360º)
sentido -
210º (-150º)
315º (-45º)
Si el ángulo supera un giro completo, por ejemplo 390º, es fácil observar que coincide con el ángulo de 30º. Para
saber con qué ángulo coincide de la primera vuelta es suficiente con hacer una división por 360: el cociente será la
cantidad de giros y el resto, el ángulo del primer giro. Ejemplo:
Con que ángulo de la primera vuelta coincide un ángulo de 780º?
780º 360
060º 2
Entonces el ángulo de 780º son 2 vueltas completas y coincide con el ángulo de 60º en la primera vuelta
Otro ejemplo:
Con que ángulo de la primera vuelta coincide un ángulo de 820º 43’ 55’’? (solo se hace la división de la parte entera)
820º 360
100º 2
Entonces el ángulo de 820º 43’ 55’’ son dos vueltas completas y coincide con el ángulo de 100º 43’ 55’’. (se
entendió?)
El mismo criterio se utiliza para los radianes, lo único que se divide por 2π. Ejemplo:
9
 ? (Recuerden que una vuelta son 2π, y 9   4,5 que
2
2
obviamente es mayor que una vuelta; igual que con sexagesimales solo utilizo la parte entera; no hace falta π porque
se cancela)
Con que ángulo de la primera vuelta coincide un ángulo de
4 2
0 2
1
Entonces 4,5 π son dos vueltas y coincide con el ángulo de la primera vuelta (0 de resto + 0,5= 0,5) 0,5   .
2
Otro ejemplo:
Con que ángulo de la primera vuelta coincide el ángulo 23  ?
4
Como 23   5,75
4
5 2
1 2
Entonces podemos decir que
23
 son 2 vueltas y coincide con el ángulo de la primera vuelta (1 de resto +
4
175
7
 
100
4
(Vamos a hacer un ejercicio)
0,75=1,75) 1,75 
Ej Nº……. (ustedes lo ponen)
Representar como ángulos de la primera vuelta
e)3
a )478º
25

6
39
g) 
2
70
h) 
3
b)1000º
f)
c )555º
d )897º 34'5''
(El miércoles publico las soluciones, así que háganlos ustedes,… vamos, no se hagan los piolas)
(Todo lo visto nos muestra que en una circunferencia podemos representar todos los ángulos, siendo un ángulo un
número real, ya sea expresado como sexagesimal o como radian. Vamos a ver como utilizamos esto para las razones
trigonométricas y vamos a empezar por la función seno)
Función Seno
Si vemos la circunferencia trigonométrica ubicada con su centro coincidente con el origen de un par de ejes
cartesianos ortogonales, observamos que para un ángulo cualquiera α, se forma un triángulo rectángulo con el
radio=1 como hipotenusa y las coordenadas de la intersección de esta con la circunferencia como catetos:
y
2
1
y0
-1
0
-1
P(x0;y0)
x0
1
α =angulo
|y0|=medida del cat. opuesto
|x0|=medida del cat. adyacente
1= medida de la hipotenusa
2
x
DEFINICION: Se define como función seno al cociente entre el valor de la coordenada “y” de la intersección del radio
con la circunferencia y la medida de la hipotenusa (opuesto/hipotenusa). En símbolos
f    sen  
cateto opuesto y0

 y0
hipotenusa
1
Esto quiere decir que el valor de y0 es justamente el valor del seno del ángulo. Vamos a representar estos valores en
función de α en un par de ejes cartesianos ortogonales donde en el eje horizontal representamos los valores del
ángulo y sobre el eje de ordenadas, los valores de y0. El grafico queda así.
y
y
2
2
1,5
y0
120º
1 90º
1
60º
3
2
45º
135º
30º
150º
180º
-1
2
2
0,5
0
1
0
0
135º
45º
30º
60º
225º
315º
90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º 390º
α
330º -0,52
210º

225º
315º

240º
300º
-1 270º
2
3
2
-1
Esta grafica del seno se denomina sinusoide. Acá se observa claramente que el máximo valor del seno es 1 y el
mínimo -1. Este valor máximo se denomina Amplitud. También vemos que la grafica se repite para los ángulos
mayores de una vuelta ya que (como vimos) se superponen con los de la primera. Lo mismo para ángulos negativos
(no se ven en el grafico pero están, obviamente, a la izquierda del 0º). Las funciones que repiten sus valores de “y”
de manera cíclica se denominan “periódicas”. Justamente se denomina “periodo” a la longitud de este ciclo, en la
sinusoide, como podemos observar es de 360º o 2π, en radianes, es decir una vuelta.
También podemos observar los signos. Como vemos y0 es positivo para el primero y segundo cuadrante, por eso el
seno es positivo entre 0 y π, y negativo entre π y 2π. Es decir
(hasta acá por ahora, en las siguientes clases vamos a ver las otras funciones)
Saludos. Marcelo Maiolo