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Estadística I. Finanzas y Contabilidad
Tema 7: Introducción a la inferencia estadística
1. Planteamiento y objetivos
2. Estadísticos y distribución muestral
3. Estimadores puntuales
4. Estimadores por intervalos
Lecturas recomendadas:

Capítulos 19 a 21 del libro de Peña y Romo (1997).
Estadística I. Finanzas y Contabilidad
Recordemos :
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7.1 Planteamientos y objetivos
Estadística Descriptiva: la edad media de una muestra de 20 votantes
del PP es de 55 con desviación típica 5.
Modelo Probabilístico: La edad de un votante del PP sigue una
distribución normal N(m,s) N(54,2.1).
calculamos probabilidades
m.
Predecimos que m está en (52,57).
Inferencia: Usamos la muestra para adivinar
Predecimos que m vale 55.
Rechazamos la posibilidad de que m < 50.
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Muestra aleatoria simple
 Se elige al azar
 Cada elemento de la población tiene la misma
probabilidad de ser elegido
 La selección se hace de manera independiente
para cada individuo
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7.2 Estadísticos y distribución muestral
Distintas muestras tienen distintas
medias. Antes de obtener la
muestra, la media es una variable.
La media y varianza de la media son
Si N es suficientemente grande, la
distribución de la media es normal
Para ver como varia la media de distintas muestras:
http://www.stat.tamu.edu/~west/ph/sampledist.html
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7.2 Estadísticos y distribución muestral
Distintas muestras tienen distintas medias. Antes de obtener la
muestra, la media es una variable.
La media y varianza de la media son
Si n es suficientemente grande, la distribución de la media es normal
Para ver como varia la media de distintas muestras:
http://www.stat.tamu.edu/~west/ph/sampledist.html
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7.3 Estimadores puntuales
Usamos X como estimador de la media poblacional m.
Dada una muestra, el valor de la media muestral x es la estimación de m.
Buenas propiedades estadísticas: insesgado, eficiente, etc.
insesgado: E[X]= m
eficiente: Var[X] pequeña
Igualmente, la varianza muestral S2 (cuasi-varianza) es un estimador
razonable de s2:
S2 =
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7.4 Estimadores por intervalos
Queremos calcular un intervalo donde estemos bastante seguros de que esté m.
Intervalo ancho
muy impreciso
Intervalo pequeño
menos seguridad
Método probabilístico:
• Elegir un nivel de confianza, por ejemplo 95% (o 90% o 99%)
• Elegir los límites del intervalo
L(X1,…,XN), U(X1,…,XN)
tal que P(L < m < U) = 95%
• Dados los datos de la muestra, el intervalo de 95% de confianza es
(L(x1,…,xN), U(x1,…,xN))
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Interpretación
Si construimos muchos intervalos con el mismo método y el
mismo nivel de confianza de 95%, un 95% de estos intervalos
contendrán el parámetro que queremos estimar.
http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/conf_interval/index.html
Si hemos construido un solo intervalo de 95% de confianza, no es
correcto decir que la probabilidad de que esté m dentro es de 95%.
Antes de elegir la muestra, decimos: la probabilidad de que el intervalo
contenga a m es de 95%. Eso me da confianza en el intervalo cuando ya
tenga la muestra y lo haya calculado.
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Un intervalo de 95% de confianza para la media de
una población normal (varianza conocida)
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Un intervalo de 95% de confianza para la media de
una población normal (varianza conocida)
Dada una muestra x1,…xN, el intervalo al 95% de confianza para m es
En general, el intervalo al 95% de confianza para μ es
¿Qué es este 1.96?
¿Cuál sería el intervalo al 90% o el 99% de confianza?
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Ejemplos
1. En una muestra de 20 catalanes, su sueldo medio era de € 2000
mensuales. Suponiendo que la desviación típica de los sueldos en
Cataluña es de € 500, hallar un intervalo de 95% de confianza para el
sueldo medio en Cataluña.
2. En una muestra de 10 estudiantes universitarios, la altura media era
de 170cm. Suponiendo que la desviación típica de las alturas de los
españoles es de 5cm, hallar un intervalo de 99% de confianza para la
altura media.
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Otros intervalos de confianza útiles
1. Un intervalo de (1-α)100% de confianza para la media de una población
normal (varianza desconocida)
2. Un intervalo de (1-α)100% de confianza para la diferencia de las medias
de dos poblaciones normales (varianzas conocidas)
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Un intervalo de 95% de confianza para una
proporción
Dada una muestra de tamaño N con proporción muestral
confianza para p es
, un intervalo de 95% de
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Ejemplos
3. En una muestra aleatoria de 100 votantes, 45 de ellos votaron al PSOE en las
últimas elecciones. Usar esta información para estimar la proporción de los
votantes en España que votaron al PSOE. Dar una estimación puntual y un
intervalo de confianza de 95%.
4. 20 personas en una muestra de 30 americanos están a favor de la pena de
muerte. Estimar la proporción de la población americana que esté a favor y dar un
intervalo de 90%.