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Diseños factoriales a dos
niveles
Tema 3
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
1
Descripción breve del tema
1. Introducción
2. El diseño 22
3. Estimación
4. Diseños 2k (tabla de signos)
5. Efectos e interacciones significativas
Ignacio Cascos
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2
Objetivos

Utilizar modelos con varios factores a dos
niveles (la aparición de sólo dos niveles
facilita el trabajar con numerosos factores)

Estimar efectos e interacciones

Identificar factores e interacciones
significativas
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
3
Descripción breve del tema
1. Introducción
2. El diseño 22
3. Estimación
4. Diseños 2k (tabla de signos)
5. Efectos e interacciones significativas
Ignacio Cascos
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4
Introducción



Con frecuencia, en la experimentación industrial, se
necesita dilucidar el efecto de un gran número de
factores sobre la variable respuesta.
Aunque el número de niveles de cada factor sea bajo,
el número de combinaciones aumenta rápidamente
(3 factores, 4 niveles cada uno, 43=64
combinaciones).
Consideramos sólo 2 niveles para cada factor, los
valores extremos (nivel alto, nivel bajo). Rápido y
económico.
Ignacio Cascos
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5
Descripción breve del tema
1. Introducción
2. El diseño 22
3. Estimación
4. Diseños 2k (tabla de signos)
5. Efectos e interacciones significativas
Ignacio Cascos
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6
El diseño 22


Tenemos dos factores (A y B) con dos niveles
cada uno (+) y (-).
Notación para la variable respuesta:




Ignacio Cascos
(o) ambos factores al nivel (-)
(a) factor A al nivel (+) y factor B al nivel (-)
(b) factor B al nivel (+) y factor A al nivel (-)
(ab) ambos factores al nivel (+)
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7
El diseño 22
Factor B
(+)
y12 (b)
y22 (ab)
y11 (o)
(-)
y21 (a)
Factor A
(-)
Ignacio Cascos
A
B
Y
-
-
y11 (o)
+
-
y21 (a)
-
+
y12 (b)
+
+
y22 (ab)
(+)
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8
El diseño 22
El modelo estadístico es:
yij  m + a i + b j + (ab )ij + uij






Ignacio Cascos
i  1,2, j  1,2
m es la media global
ai es el efecto del nivel i del factor A
bj es el efecto del nivel j del factor B
(ab)ij es el efecto de la interacción cuando el
factor A está al nivel i y el B al nivel j
uij es la perturbación asociada a i,j
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9
El diseño 22

Como los valores ai , bj y (ab)ij son
desviaciones respecto del valor medio,
tenemos:
 a1  -a2
 b1  -b2
 (ab)11  (ab)22  -(ab)12  -(ab)21
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10
El diseño 22

Con las variables auxiliares
+ 1 si el factor i está al nivel (+)
Xi  
i  1,2
- 1 si el factor i está al nivel (-)

Podemos rescribir el modelo como:
yij  m + a 2 X 1 + b 2 X 2 + (ab ) 22 X 1 X 2 + uij
Ignacio Cascos
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i  1,2, j  1,2
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Descripción breve del tema
1. Introducción
2. El diseño 22
3. Estimación
4. Diseños 2k (tabla de signos)
5. Efectos e interacciones significativas
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12
Estimación

Tenemos 4 parámetros que estimar y el modelo
es el de regresión lineal múltiple (variables
dicotómicas con interacción)
yij  m + a 2 X 1 + b 2 X 2 + (ab ) 22 X 1 X 2 + uij
i  1,2, j  1,2
 mˆ 
 o + a + b + ab 




1  - o + a - b + ab 
 aˆ 2 
t
-1
t
 bˆ   ( X X ) X Y  4  - o - a + b + ab 
2




 o - a - b + ab 
 (abˆ ) 


22 

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Estimación

Habitualmente tomamos como parámetros los
efectos de los factores:

a efecto de A, tenemos a  a2-a1  2a2, etc.
a
(ab )
yij  m + X 1 + X 2 +
X 1 X 2 + uij
i  1,2, j  1,2
2
2
2
 mˆ 
 (o + a + b + ab) 2 




 aˆ  1  - o + a - b + ab 
 bˆ   2  - o - a + b + ab 




 (abˆ ) 
 o - a - b + ab 




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b
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14
Signo de la interacción

En la tabla del diseño
factorial, obtenemos los
signos de la interacción
AB multiplicando los
correspondientes signos
de A y de B.
efecto
coeficient e 
2
Ignacio Cascos
A
B
AB
Y
+
+
+
+
+
+
y11 (o)
y21 (a)
y12 (b)
y22 (ab)
a + ab o + b
b + ab o + a
Aˆ 
Bˆ 
2
2
2
2
o + ab a + b
Aˆ B 
2
2
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15
Ejemplo 1

Interesa conocer el efecto de la
concentración de un reactivo (Factor A) y
la cantidad de catalizador (Factor B) en un
proceso químico.


Factor A: (-) 15% ; (+) 25%
Factor B: (-) 1kg ; (+) 2kg
 mˆ 
 (28 + 36 + 18 + 31) 2   28.25 



 

 aˆ  1  - 28 + 36 - 18 + 31   10.5 
 bˆ   2  - 28 - 36 + 18 + 31    - 7.5 



 

 (abˆ ) 
 28 - 36 - 18 + 31   2.5 



 

yˆ  28.25 + 5.25 X A - 3.75 X B + 1.25 X A X B
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A
+
+
B
+
+
Y
28
36
18
31
16
Ejemplo 2

En el Ejemplo 1 teníamos 4
parámetros y 4 experimentos,
podemos replicar el
experimento en R ocasiones.
En este caso R=3
A
B
AB
Y
Total
-
-
+
28
25
27
80
+
-
-
36
32
32
100
-
+
-
18
19
23
60
+
+
+
31
30
29
90
 mˆ 
 (80 + 100 + 60 + 90) 2   27.5 



 

 aˆ  1  - 80 + 100 - 60 + 90   8.33 
 bˆ   2 R  - 80 - 100 + 60 + 90    - 5 



 

 (abˆ ) 
 80 - 100 - 60 + 90   1.67 



 

yˆ  27.5 + 4.167 X A - 2.5 X B + 0.835 X A X B
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Descripción breve del tema
1. Introducción
2. El diseño 22
3. Estimación
4. Diseños 2k (tabla de signos)
5. Efectos e interacciones significativas
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Diseños 2k (tabla de signos)
Estamos
interesados
en k factores,
cada uno con
2 niveles.
A la derecha,
construcción
tabla 24
Ignacio Cascos
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
Y
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
o
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
a
-
+
-
-
-
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
b
+
+
-
-
+
-
-
-
-
+
-
-
+
+
+
ab
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
c
+
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
+
+
ac
-
+
+
-
-
-
+
+
-
-
-
+
+
-
+
bc
+
+
+
-
+
+
-
+
-
-
+
-
-
-
-
abc
-
-
-
+
+
+
-
+
-
-
-
+
+
+
-
d
+
-
-
+
-
-
+
+
-
-
+
-
-
+
+
ad
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
bd
+
+
-
+
+
-
+
-
+
-
-
+
-
-
-
abd
-
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
-
+
cd
+
-
+
+
-
+
+
-
-
+
-
-
+
-
-
acd
-
+
+
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
-
bcd
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
abcd
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19
Diseños 2k (tabla de signos)
Ejemplo:
Se realizó un experimento
para mejorar la calidad del
hormigón.
Se obtuvieron muestras
de hormigón variando los
niveles de los factores y se
construyeron cilindros que se
introducen en un aparato y se
va añadiendo peso hasta que
se rompe.
La variable respuesta
es la resistencia.
Ignacio Cascos
A
B
C
D
Y
-
-
-
-
700
+
-
-
-
900
-
+
-
-
3400
+
+
-
-
5500
-
-
+
-
1200
+
-
+
-
1200
-
+
+
-
3500
+
+
+
-
6200
-
-
-
+
700
+
-
-
+
1100
-
+
-
+
3000
+
+
-
+
6100
-
-
+
+
1900
+
-
+
+
1500
-
+
+
+
6000
+
+
+
+
4500
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20
Descripción breve del tema
1. Introducción
2. El diseño 22
3. Estimación
4. Diseños 2k (tabla de signos)
5. Efectos e interacciones significativas
Ignacio Cascos
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21
Efectos significativos

Gráfico de efectos principales. Medias estimadas
para los niveles (+) y (-) de cada factor.

Ejemplo: Proceso químico (3 réplicas)
Main Effects Plot for respuesta
33
respuesta
31
29
27
25
23
-1,0
Ignacio Cascos
1,0
Factor_A
-1,0
1,0
Factor_B
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22
Efectos e interacciones significativas

Diagrama de Pareto. Magnitudes de efectos
principales e interacciones de mayor a menor.

Ejemplo: Proceso químico (3 réplicas)
Pareto Chart for respuesta
A:Factor_A
B:Factor_B
AB
0
Ignacio Cascos
2
4
6
Effect
8
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10
23
Efectos e interacciones significativas

Gráfico probabilístico normal/seminormal. Efectos
estandarizados frente a percentiles de una normal.

Ejemplo: Proceso químico (3 réplicas)
Standard deviations
Half-Normal Plot for respuesta
1,8
A:Factor_A
1,5
1,2
B:Factor_B
0,9
AB
0,6
block
0,3
block
0
0
Ignacio Cascos
2
4
6
Standardized effects
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8
24
Efectos e interacciones significativas

Método de la MEDA: tantos parámetros como
observaciones
1.
2.
3.
Calcular mediana de efectos de interacciones, M.
Calcular mediana de distancias (en valor
absoluto) del efecto de interacciones a M, MEDA.
Calcular S = MEDA/0.675


Ignacio Cascos
Si hay menos de 5 factores, cualquier efecto (en valor
absoluto) mayor o igual que 2S es significativo.
Si hay 5 factores o más, cualquier efecto (en valor
absoluto) mayor o igual que 3S es significativo.
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25
Método MEDA
Ejemplo hormigón (1 réplica)

4 factores







6 interacciones dobles
4 interacciones triples
1 interacción cuádruple
M=mediana(775, -625, -425, -25, -25,175, -375, -375, -725, -25,-575)-375
MEDA=mediana(1150,250,50,350,350,550,0,0,350,350,200)=350
S=350/0.675=518.52
1 efecto mayor que 2S=1037.04
yˆ  2962.5 + 1812.5 X B

Para la mayor resistencia, nivel (+) de B, comprobar
significatividad con ANOVA
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