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TRIÁNGULOS I
Prof. Isaías Correa M.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar los elementos primarios de un triángulo
y sus propiedades.
• Reconocer los elementos secundarios de un
triángulo y sus propiedades.
• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.
Triángulos I
1. Definición
2. Elementos primarios
 Vértices
 Lados
 Ángulos interiores
 Ángulos exteriores
3. Clasificación de los Triángulos
4. Elementos secundarios
 Altura
 Transversal de gravedad
 Simetral
 Bisectriz
 Mediana
5. Generalidades en un triángulo cualquiera
4.1 Área o superficie
4.2 Perímetro o longitud
1. Triángulo
1. Definición
Es un polígono de tres lados.
2. Elementos primarios
• Vértices:
C
Corresponde a la intersección de dos
trazos, los que se identifican con letras
mayúsculas.
En la figura, los vértices son A, B y C.
A
B
• Lados:
En la figura, los trazos AB, BC y CA,
corresponden a los lados del triángulo
ABC, los que se identifican con letras
minúsculas.
C
a
b
AB = c,
Teorema:
BC = a,
AC = b
A
c
B
La suma de dos lados debe ser siempre
mayor que el tercero.
a+b>c
b+c>a
a+c>b
Ejemplo:
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden
3 cm, 4 cm y 7 cm.
Para determinar si existe el triángulo,
debemos verificar que se cumple el teorema.
3+4=7
No se cumple.
3+7>4
Sí se cumple.
4+7>3
Sí se cumple.
Como una de ellas no se cumple, NO existe
dicho triángulo.
La diferencia positiva de dos lados debe ser
siempre menor que el tercero.
Teorema:
a-b<c
b-c<a
a-c<b
Ejemplo:
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm,
5 cm y 2 cm.
Para determinar si existe el triángulo,
debemos verificar que se cumple el teorema.
8-5 =3>2
No se cumple.
5-2 =3<8
Sí se cumple.
8-2 =6>5
No se cumple.
Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.
• Ángulos interiores:
Son aquellos que se forman por la intersección de
dos lados, en el interior de la figura.
C
,  y 

son los ángulos interiores del
triángulo ABC.

A

B
Teorema: La suma de los ángulos interiores de
todo triángulo es 180º
 +  +  = 180°
Ejemplos:
Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo,
se opone mayor lado y viceversa.
Ejemplo:
En el triángulo de la figura,
C
b
A
c>a>b
a
c
B
• Ángulos exteriores:
Son los suplementos de los ángulos interiores.
´, ´ y ´
son los ángulos exteriores
del triángulo de la figura.
Teorema: La suma de los ángulos exteriores
de todo triángulo es 360º.
´ + ´ + ´ = 360°
Teorema:
Cada ángulo exterior es igual a la suma de los
ángulos interiores NO adyacentes a él.
’ =  + 
’ =  + 
’ =  + 
Ejemplo:
3. Clasificación de triángulos
• Según sus ángulos:
-Acutángulo:
Ej.:
Es aquel que tiene todos sus
ángulos interiores agudos.
-Rectángulo:
Ej.:
Es aquel que tiene un ángulo
recto.
-Obtusángulo:
Es aquel que tiene un ángulo
obtuso.
Ej.:
• Según sus lados:
-Escaleno:
Es aquel que tiene todos sus
lados y ángulos distintos.
Ejemplo:
-Isósceles:
Es aquel que tiene sólo 2
lados congruentes y el
lado distinto es la base.
Ejemplo:
(Base)
Se dice que el triángulo de la
figura, es “isósceles de base AB”, o
bien, “isósceles en C”.
-Equilátero:
Es aquel que tiene todos sus
lados congruentes.
Nota:
En la figura, el triángulo ABC es
equilátero: AB = BC = AC.
Sus ángulos interiores también
son congruentes.
(Base)
4. Elementos Secundarios
• Altura (h):
Es la perpendicular trazada desde un vértice al
lado opuesto o a su prolongación.
En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.
C
hc
A
D
Ortocentro (H):
C
B
Es el punto de intersección de
las alturas (hc , ha, hb).
H
A
B
• Transversal de gravedad (t):
Es el segmento que une el vértice con el punto
medio del lado opuesto.
tc
tc: transversal desde C
D: Punto medio del lado AB
Centro de gravedad o baricentro(G):
Punto de intersección de las transversales.
El centro de gravedad (G), divide a cada transversal
en razón 2:1.
D, E y F: Puntos medios.
AE = ta
BF = tb
CD = tc
G: Centro de gravedad
Ejemplo:
En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm,
entonces GF = 4 cm.
OBS. En un triángulo rectángulo, la transversal bajada desde el vértice
del ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.
• Simetral (S):
Es la perpendicular levantada desde el punto medio
de un lado. En la figura, está representada la
simetral levantada desde D, punto medio del lado
AB.
C
S
A
B
Circuncentro:
Punto de intersección de las simetrales y corresponde
al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
D, F y G: Puntos
medios.
E: Circuncentro
• Bisectriz (b):
Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo
divide en 2 partes iguales.
En la figura,
el
ACD =
DCB = 
C
bc
A
D
B
Incentro:
Punto de intersección de las bisectrices, que
corresponde al centro de la circunferencia inscrita al
triángulo.
Ejemplo:
E: Incentro
• Mediana:
Es el segmento que une los puntos medios de dos
lados consecutivos.
La mediana es paralela al lado opuesto y mide la
mitad de él.
D, E y F: Puntos medios.
DF, DE y EF: Medianas
DF// AB y DF = AB
2
DE// BC y DE = BC
2
EF// AC y EF = AC
2
Al trazar las tres medianas de un triángulo,
se forman 4 triángulos congruentes entre sí.
El área de cada uno, es ¼ del área total del
triángulo original.
4. Generalidades en un triángulo cualquiera
• Área o Superficie (A):
Corresponde al semiproducto entre la base y la
altura del triángulo.
C
b
a
ha
A
hc
c
Área = Base ∙ Altura
hb
2
B
A=
a∙ha
2
=
b∙hb
2
=
c∙ hc
2
Ejemplo:
Determinar el área del triángulo de la figura:
En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la
altura que cae sobre su prolongación es CD = 3.
Luego su área es:
A=
8∙3
2
= 12
• Perímetro o longitud (P):
Corresponde a la suma de los lados del triángulo.
C
b
A
P=a+b+c
a
c
B
Ejemplo:
P = 15 + 18 + 22
P = 55