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A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
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U ( x1 )  mv1  U ( x2 )  mv2
2
2
(x1,v1)
(x2,v2)
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece
constante
•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función.
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es
decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo
tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar
en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1 2
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U ( x1 )  mv1  U ( x2 )  mv2
2
2
dU ( x)
F ( x)  
dx
(x1,v1)
(x2,v2)
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece
constante
•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función.
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es
decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo
tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar
en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1 2
1 2
U ( x1 )  mv1  U ( x2 )  mv2
2
2
dU ( x)
F ( x)  
dx
dv
dU ( x)
m 
dt
dx
(x1,v1)
(x2,v2)
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece
constante
•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función.
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es
decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo
tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar
en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
Dos potenciales importantes: Introduciendo el mundo elástico como el
“equilibrio puntual generico” o la resistencia a alejarse.
G(Superf) = -mg U(x)=mgx
Resorte = -kx
kx2
U ( x) 
2
E  mgx 
mv
2
2
kx2 mv2
E

2
2
U(x)
U(x)
¿Cuales son los aspectos comunes y las diferencias fundamentales entre
estos dos potenciales?
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
Movimiento genérico en la línea
resulta de una yuxtaposición de estos
operadores elementales.
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
Movimiento genérico en la línea
resulta de una yuxtaposición de estos
operadores elementales.
A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus
aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas
esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas
complejo por:
1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la
geometría y la dinámica.
2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  a  x  b  x
2
¿Como es el movimiento si (a y b > 0), si (a < 0 y b > 0),
si (a > 0 y b < 0) si (a < 0 y b < 0)?
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canonicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
?
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canonicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
b
?
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
?
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=-a/b
x=0
b
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=-a/b
x=0
b
?
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=-a/b
x=0
b
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=-a/b
x=0
b
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
?
x=-a/b
x=0
b
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0
x=-a/b
x=0
b
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0 x=-a/b
x=-a/b
x=0
b
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0 x=-a/b
x=-a/b
x=0
b
?
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0 x=-a/b
x=-a/b
x=0
b
x=0
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento: Moraleja 1
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0 x=-a/b
x=-a/b
x=0
b
Sistema Lineal, un único
comportamiento: Atractivo
(Oscilaciones) o Expulsión
(Divergencia)
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento. Moraleja 2
F ( x)  a  x  b  x 2
a
x=0 x=-a/b
La
estabilidad
(atractivo o
repulsivo)
esta dado
solo por el
termino
x=-a/b
x=0
b
lineal (a).
x=0
x=0
b=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
x=0 x=-a/b
a
El
comportamie
nto asintotico
depende del
termino con x=-a/b
mayor
exponente
x=0
b
(b) (en este
x=0
caso 2) Si
este es par,
no todas las
soluciones
no son
acotadas.
b=0
x=0
SISTEMAS DINAMICOS: Formas canónicas de
movimiento.
F ( x)  a  x  b  x 2
a
10
40
0
30
-10
20
-20
10
-30
0
-40
-5
0
5
-10
-5
10
40
0
30
-10
20
-20
10
-30
0
-40
-5
0
5
-10
-5
b=0
F=0
0
5
0
5
b
Formas canónicas de movimiento: Una representación
correcta y adecuada (entendiendo todo en un “golpe de
ojo”)
F ( x)  a  x  b  x 2
a
40
40
20
20
0
0
-20
-5
0
5
-20
-5
20
20
0
0
-20
-20
-40
-5
0
5
-40
-5
b=0
0
5
0
5
b
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
1
F ( x)  37  x  500  x  8 * x  9 * x  sen( x)  2
( x  1)
2
3
5
¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
¿El movimiento es acotado?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
1
F ( x)  37  x  500  x  8 * x  9 * x  sen( x) 
( x  100)
2
3
5
¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
37 2 500 3 8 4 9 6
F ( x)   x 
 x  x  x  cos( x)  arctan( x)
2
3
4
5
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
1
F ( x)  37  x  500  x  8 * x  9 * x  sen( x)  2
( x  1)
2
3
5
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
-4000
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
¿Existen distintos estados “cualitativos” de movimiento?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
¿Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
¿Existen distintos estados “cualitativos” de movimiento?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Problema resuelto? ¿Encontramos todos los
puntos de equlibrio?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
De hecho este potencial tiene infinitos mínimos (con
sus correspondientes barreras)
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
5
4
3
2
Energía mayor
que la barrera
1
0
Energía menor
que la barrera
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
5
4
3
Si esta es la
posición
inicial, que
sabemos de la
energía
2
1
0
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
5
4
E=U(x)+T > U(x)
3
U(x)
La energía es
mayor o igual
que el valor de U
en xo.
2
1
0
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
¿Que soluciones existen en este rango?
Esto se debe al
hecho de que T
nunca es
negativa
La “logica” del movimiento en 1 dimension
en el espacio de las fuerzas.
F ( x)  sen( x)  x  cos( x)
U ( x)   x  sen( x)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Cuales son las trayectorias cualitativas de estas
dos masas?
UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
Movimiento genérico en la línea
resulta de una yuxtaposición de estos
operadores elementales.
A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus
aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas
esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas
complejo por:
1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la
geometría y la dinámica.
2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La
integral de la fuerza a lo largo de su dirección.

mv2 1
2
2
T
 m  vx  m  v y
2
2

Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La
integral de la fuerza a lo largo de su dirección.

mv2 1
2
2
T
 m  vx  m  v y
2
2

d (v 2 )
2
m
2


d
(
v
dT
1  d (v x )
y )
dt

 m
 m

dt
2
2
dt
dt 
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La
integral de la fuerza a lo largo de su dirección.

mv2 1
2
2
T
 m  vx  m  v y
2
2

dv y 
dvx
dT 

  Fx vx  Fy v y
  m  vx
 m  vy
dt 
dt
dt 
d (v 2 )
2
m
2


d
(
v
dT
1  d (v x )
y )
dt

 m
 m

dt
2
2
dt
dt 
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La
integral de la fuerza a lo largo de su dirección.

mv2 1
2
2
T
 m  vx  m  v y
2
2

dv y 
dvx
dT 

  Fx vx  Fy v y
  m  vx
 m  vy
dt 
dt
dt 
d (v 2 )
2
m
2


d
(
v
dT
1  d (v x )
y )
dt

 m
 m

dt
2
2
dt
dt 
 
dT  Fx vx dt  Fy v y dt  Fx dx  Fy dy  F dx
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La
integral de la fuerza a lo largo de su dirección.

mv2 1
2
2
T
 m  vx  m  v y
2
2

dv y 
dvx
dT 

  Fx vx  Fy v y
  m  vx
 m  vy
dt 
dt
dt 
d (v 2 )
2
m
2


d
(
v
dT
1  d (v x )
y )
dt

 m
 m

dt
2
2
dt
dt 
 
dT  Fx vx dt  Fy v y dt  Fx dx  Fy dy  F dx
O aun reordenando términos:
F ( x)  dx  m  v  dv
Diferencial de Trabajo
(por definición) y aquí se
adivina la relevancia de esta
cantidad.
Diferencial de Energía
Cinetica
m 2
d ( v )  mv  dv
2
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La
integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
 
dT  Fx vx dt  Fy v y dt  Fx dx  Fy dy  F dx
 
F dx
En general se puede resolver el
problema en la dirección de movimiento.
Esto es trivial (ha de hacerse una sola
vez) cuando el movimiento es rectilíneo,
independientemente de la dirección de
la fuerzs. Cuando el movimiento es
curvo el problema es iterativo porque
para hacer esta proyección hace falta
conocer la trayectoria para la cual hace
falta conocer las fuerzas y así
siguiendo…

F
 
F dy
La proyección de la fuerza que contribuye al
trabajo (y de hecho, en este caso, al movimiento)
porque el plano ejerce una fuerza igual y contraria
con lo que todas la fuerzas resultante son
paralelas a la dirección de movimiento.
En un caso genérico, fuerzas transversales
pueden contribuir al movimiento (modificando la
dirección, sin realizar trabajo)
Primer manifestación de la direccionalidad: El
signo
 
dT  Fx vx dt  Fy v y dt  Fx dx  Fy dy  F dx
Un “campo” de fuerzas constante
Trayectoria forzada en un campo constante
¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?
(x1,v1)
(x2,v2)
Primer manifestación de la direccionalidad: El
signo
 
dT  Fx vx dt  Fy v y dt  Fx dx  Fy dy  F dx
Un “campo” de fuerzas constante
Trayectoria forzada en un campo constante
¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?
(x1,v1)
 
F ds  F  Fˆ dsˆ  cos( )  F  0.9
 
F ds  F  Fˆ dsˆ  cos( )  F  0.8
(x2,v2)
 
F ds  F  Fˆ dsˆ  cos( )  F  0.6
Mapas Escalares: La anatomía de la
función abs(xy)
Imagenes del mapa
A lo largo de curvas
En coordenadas polares
50
4000
0
2000
0
0
50
1
2
50
0
0
3
-50
-50
-50 -50
0
50
4
5
50
3000
6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2000
0
1000
0
-50
-50
0
50
0
-50
0
50
1
2
400
-50
3
300
0
4
5
200
6
100
50
-50
0
50
0
-50
0
50
Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de
una función escalar)
Mapas Escalares: La anatomía
de la función x*exp(r2)
2
1.5
-2
0.5
-1.5
1
-1
0.5
-0.5
0
0
0
0.5
-0.5
1
-0.5
2
1.5
1
-1
2
1
0
0
-1
2
-2
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-2
-2
-2
Dos representaciones
equivalentes de las “ternas”
(x,y,f(x,y))
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Las curvas de nivel, o las direcciones
a lo largo de las cuales una función
no cambia y aquellas, ortogonales, de
máximo cambio.
2
Inferir la tendencia al cambio a
partir de una función potencial
Inferir la tendencia al cambio a
partir de una función potencial
Función Potencial y campo gradiente, dos conceptos hermanaos. El gradiente es el vector
formado por el valor de cambio (con signo) en cada dirección. Apunta entonces en la
dirección donde la función mas crece. La fuerza es inversa al gradiente y cambia el momento
(alterando la tendencia a mantener la velocidad constante). Nótese que el momento evoluciona
en dirección de los pozos de potencial. Nótese también que el movimiento no converge a los
pozos (es decir, no se estaciona en un mínimo) porque la partícula tiene inercia. Un pozo
suficientemente profundo “atrapa una particula” que oscila en este pozo.