Download Sin título de diapositiva - DCB
Document related concepts
Transcript
FACULTAD DE INGENIERÍA INFERENCIA ESTADÍSTICA Irene Patricia Valdez y Alfaro Estimación de parámetros irenev@servidor.unam.mx PROCESO DE INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. Definir la población y la característica de interés. En estadística paramétrica es necesario conocer también cómo es la distribución de la población f(x). 2. Definir el parámetro de interés ; por ejemplo, la media, la varianza, la proporción, etc. 3. Determinar el tipo de muestreo, generalmente utilizaremos muestreo aleatorio simple. Especificar si es con o sin reemplazo. 4. Determinar el estadístico que se usará para estimar al parámetro de interés • Para buscar estimadores para algún parámetro los métodos más usuales son el método de los momentos y el método de máxima verosimilitud. • Para evaluar y seleccionar a un estimador se utilizan los criterios de insesgabilidad, eficiencia, consistencia y suficiencia. 5. Buscar un estadístico Q que sea función del parámetro de interés y de su estimador, y cuya distribución de probabilidad sea conocida ( la distribución de muestreo de Q). 6. Obtener la muestra y calcular el valor puntual del estimador, este último valor se conoce como "estimación puntual“, sí como su error estándar. 7. Con base en la distribución de muestreo del estadístico Q y en la estimación puntual, se procede a encontrar una estimación por intervalo para el parámetro de interés o, si es el caso, se prueban hipótesis acerca del valor del parámetro. CONCEPTOS PARA RECORDAR Población Parámetro Muestra aleatoria y muestreo aleatorio Estadístico • Evaluación de un estadístico: Media, varianza y error estandar Distribución de muestreo de un estadístico Estimador • Propiedades de un buen estimador: insesgado y de varianza mínima, • eficiente, consistente y suficiente. • Métodos para encontrar estimadores: – Momentos – Máxima verosimilitud CONCEPTOS PARA RECORDAR Cuando se toma una muestra aleatoria simple de una población cualquiera con media m y varianza s2 : E[X ] m y V[X ] s2 n Además, si la población tiene distribución normal, la distribución de muestreo de la media muestral también tiene distribución normal. s2 X ~ N m , n ¿ y si la población no tiene distribución normal ? Teorema central del límite: Sea X={x1, x2, . . ., xn} una muestra aleatoria simple de una población con función de densidad de probabilidad f(x) cualquiera con media m y varianza s2. El estadístico X tiene media m y varianza s2/n y su distribución de probabilidad tiende a la de una distribución normal conforme n tiende a infinito. “LEY DEBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS” 2 s . X ~ N m , n Para efectos prácticos, se considera que n es grande cuando n>30 ESTIMACIÓN PUNTUAL ESTIMADOR PUNTUAL f(x;) X =? Es aquel que se utiliza para estimar el valor de algún parámetro poblacional, y que proporciona un único valor como estimación de ese parámetro. Se propone el estadístico T=g(X) como estimador de . Si E{T}= entonces T es un estimador de y se escribe: ^ =T Cuando se efectúa el muestreo y se calcula el valor de , el ^ resultado es la estimación puntual . * Ejemplo, estimación puntual X={12.6,11.9,12.3,12.8,11.8,11.7,12.4,12.1,12.3,12.0,12.5,12.9} Es una muestra aleatoria del espesor (en mm) de las láminas de plástico que produce una máquina. Si la población tiene distribución normal, con media m y desviación estándar 0.81, proporcionar una estimación puntual para m e indicar el error estándar del estimador utilizado. El estimador apropiado es: Es decir: m̂ X mˆ 12.2750 1 n X xi n i 1 además: puesto que: ES[ X ] E[X ] m s2 n 0.81 y ES[mˆ ] 0.2338 12 * Ejercicio adaptado de: Canavos, George; Probabilidad y Estadística, Aplicaciones y Métodos, Primera edición, Mc Graw Hill, México, 1988. pp 299 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Inferencias sobre la media de una población con distribución normal o Sobre la media de una población cualquiera con muestras grandes INTERVALOS DE CONFIANZA Si de una población normal con media m y varianza s2 conocida, se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n, entonces: s X ~ N m , n 2 y Z X m s ~ N 0,1 n P( z1 / 2 Z z / 2 ) 1 de la expresión: z1 / 2 X m s n z / 2 despejar m X z1 / 2 s n m X z / 2 s n Con una confianza de (1-)100% o bien, puesto que la distribución Normal Estándar es simétrica: X z / 2 s n m X z / 2 Con una confianza de (1-)100% s n