Download Matemáticas para Volar - Instituto de Investigaciones Filosóficas

Divulgación de la lógica
Concha Ruiz Ruiz-Funes
UNAM
Instituto de Investigaciones Filosóficas
16 de abril de 2009
Para pensar
• La exposición está concebida como una
exposición itinerante conformada por siete
secciones:
•
•
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Cuadrículas para rellenar
Secuencias
Premisas y conclusiones
Patrones
Laberintos
Orientación y acomodo
Miscelánea
• Cuadrículas para rellenar: Se dibujan
en tableros metálicos con vinil (para
que puedan irse renovando) y los
números se montan en piezas
magnéticas.
• Acomoda los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en
los cuadritos de la siguiente manera:
q
los números impares van en los cuadritos de la
izquierda
q
los números pares van en los cuadritos de la
derecha
q
los números más grandes van en los cuadritos
del centro
q
los números más chicos van en los cuadritos
de arriba
• Acomoda los números del 1 al 9 de la
siguiente manera:
• 4, 5, 6 están en el renglón superior
• 7, 8 están en el renglón inferior
• 2, 3, 4, 5, 8, 9 no están en la columna
izquierda
• 1, 5, 6, 7, 8, 9 no están en la columna
derecha
• Secuencias: Se dibujan en tableros
metálicos con vinil (para que puedan
irse renovando) y los números se
montan en piezas magnéticas.
Escoge los números que faltan y acomódalos en los
cuadritos vacíos
1
2
4
8
4
5
7
10
1
1
2
3
¿?
¿?
¿?
14
5
8
¿?
¿?
¿?
¿?
¿?
¿?
¿?
¿?
• Escoge los números que faltan y
acomódalos en los cuadritos vacíos
2
4
12
48
¿?
¿?
¿?
¿?
3
4
6
9
¿?
18
¿?
¿?
50
48
44
38
30
¿?
¿?
¿?
• Premisas y conclusiones: Se escriben
sobre paneles. Las respuestas tienen
verificación electrónica con una ventana
que contiene la explicación.
• Si Ángela habla más bajo
que Rosa y Celia habla
más alto que Rosa ¿Ángela
habla más alto o más bajo
que Celia?
• Como es época de lluvias, Ana, Mara,
Nora y Marina decidieron salir al parque
a buscar caracoles. Cada una agarró uno
y decidieron jugar carreras con ellos.
Sabemos que:
• El caracol de Mara quedó en primer lugar
• El caracol de Nora quedó en último lugar
• El caracol de Ana llegó después del
caracol de Marina.
• ¿Podrías decir en qué orden llegaron los
caracoles?
• Cuando María le preguntó a Mario si
quería casarse con ella, Mario
contestó:
• “No estaría mintiendo si te dijera
que no puedo no decirte que es
imposible negarte que sí creo que es
verdadero que no deja de ser falso
que no vayamos a casarnos.”
• María quedó un poco confundida.
• ¿Qué le contestó Mario? ¿sí quería
casarse o no?
• Patrones: Los esquemas se se dibujan
en tableros metálicos con vinil; los
dibujos para las distintas opciones de
respuesta se montan en piezas
magnéticas del mismo tamaño que el
cuadrado vació.
• ¿Qué dibujo harías en el último
cuadrito?
¿Qué dibujo harías en el último cuadrito?
• Laberintos: Se montan a piso con
piezas de acrílico y barandales que
delimiten el espacio. La entrada, la
salida y la cédula de instrucción se
montan en pedestales para niños.
•
entrada
e
e
i
a
e
i
a
i
e
i
u
o
u
o
e
u
a
u
o
e
a
u
a
o
u
a
o
i
a
u
i
a
o
i
u
u
o
o
e
a
e
o
a
e
i
o
u
u
u
e
i
o
e
o
a
o
a
u
o
u
o
i
e
o
salida
• Orientación y acomodo: Tableros
metálicos con piezas magnéticas. Las
cédulas de instrucción se montan en
pedestales.
• Acomoda estas ocho palabras en la
cuadrícula de manera que en cada renglón
y en cada columna quede una palabra.
• cosa
• osas
• sola
• esas
• sala
• osos
• cose
• asas
• Coloca las tarjetas de colores en los
cuadritos vacíos de la siguiente manera:
•
•
•
•
•
El amarillo está al norte del verde
El morado está al este del amarillo
El verde está al oeste del rojo
El rojo está al sur del morado
El azul está al este del rojo
• Recuerda que los puntos cardinales son:
• Miscelánea: Se escriben sobre tableros
en los que se pueda dibujar o escribir
con plumones no permanentes.
Completa el párrafo de manera que resulte verdadero:
El dígito 0 aparece ___ vez/veces
El dígito 1 aparece ___ vez/veces
El dígito 2 aparece ___ vez/veces
El dígito 3 aparece ___ vez/veces
El dígito 4 aparece ___ vez/veces
El dígito 5 aparece ___ vez/veces
El dígito 6 aparece ___ vez/veces
El dígito 7 aparece ___ vez/veces
El dígito 8 aparece ___ vez/veces
El dígito 9 aparece ___ vez/veces











    
Lógica en la calle

• Algunas almohadas son blandas
• Ninguna olla es blanda
por lo tanto
1. Algunas ollas no son almohadas
2. Algunas almohadas no son ollas
solución:
Algunas almohadas no son
ollas
• Todos los leones son feroces
• Algunos leones no beben café
por lo tanto
1. Algunas criaturas que beben
café no son feroces
2. Algunas criaturas feroces no
beben café
solución:
Algunas criaturas feroces
no beben café
            

• Algunos sueños son terribles
• Ningún borrego es terrible
por lo tanto
1. Algunos sueños no son borregos
2. Algunos borregos no son sueños
solución:
Algunos sueños no son
borregos
•
•
Ningún profesor es ignorante
Todas las personas ignorantes
beben agua con jabón.
por lo tanto
1. Ningún profesor bebe agua con
jabón
2. Algunas personas que beben agua
con jabón no son profesores
solución:
Algunas personas que beben
agua con jabón no son
profesores
•
Un hombre prudente huye de los
gorilas
• Ningún fotógrafo es imprudente
por lo tanto
1. Ningún fotógrafo deja de huir de
los gorilas
2. Ningún gorila se acerca a un
fotógrafo
solución:
Ningún fotógrafo deja de
huir de los gorilas
Estas cinco frases son verdaderas
La frase anterior es falsa
La frase anterior es falsa
La frase anterior es falsa
La frase anterior es falsa
¿cuáles de estas frases son
verdaderas?
solución:
La segunda y la tercera frase no
pueden ser ambas verdaderas, así
la primera frase es falsa. Entonces
la segunda frase es verdadera, la
tercera es falsa, la cuarta es
verdadera y la quinta es falsa.
el león y el unicornio
En el Bosque del Olvido viven un
león y un unicornio.
El león miente los lunes, los
martes y los miércoles;
el unicornio miente los jueves,
los viernes y los sábados.
Hace poco fuimos a visitarlos y
dijeron lo siguiente:
León: “Ayer me tocó mentir”
Unicornio: “Ayer me tocó mentir”
¿Qué día de la semana era?
Acomoda las letras de manera que en cada
renglón y en cada columna, haya cuatro letras
distintas y de distinto color.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
¿?
¿cuántos cuadritos se necesitan para
equilibrar la última balanza?
encuentra los números que
faltan
3
5
3
1
6
4
2
1
1
2
1
2
2
¿?
2
8
9
¿?
3
10
Gödel
en las escuelas
“…la matemática pura es la
ciencia en la que no sabemos de
qué estamos hablando ni si lo
que estamos diciendo es
verdad…”
Bertrand Russell
empecemos por el principio:
ROMEO Y JULIETA
• Romeo ama a Julieta
• Romeo ama a Julieta
• Julieta es una palabra de siete letras
• Romeo ama a Julieta
• Julieta es una palabra de siete letras
• por tanto
• Romeo ama a Julieta
• Julieta es una palabra de siete letras
• por tanto
• Romeo ama a una palabra de siete
letras
¿qué es eso de que Romeo ama
a una palabra de siete letras?
Así no era la historia…….
lenguaje
vs
metalenguaje
• Romeo ama a Juliet
lenguaje-language
• Julieta es una palabra de siete letras
metalenguaje-metalanguage
• Romeo ama a una palabra de siete
letras
CAOS
Paradoja de Grelling (1908)
esdrújula  homológico
grave  homológico
aguda  heterológico
polisilábica  homológico
monosilábica  heterológico
heterológico  ????
¿es heterológico un
adjetivo
heterológico?
heterológico es
heterológico
si y sólo si
heterológico no es
heterológico
¿verdadero =
demostrable?
¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿?
Un sistema axiomático es:
Consistente: si en él no pueden
deducirse contradicciones, es decir
una proposición y su negación.
Completo: si cualquier proposición
verdadera puede demostrarse en él.
LA PARADOJA DE RUSSELL
RUSSELL´S PARADOX
R  x x x
R R  R R
Axiomas de ZermeloFraenkel
una axiomatización para
la Teoría de Conjuntos
existencia
xyy x
extensionalidad
zz x  z y  x  y
esquema de separación
Bxx B  x A (x)
par
A B C (xC  x  Ax  B)
unión
S U (x U  x A AS)
potencia
S P (x P  x  S)
regularidad
A  
x(x A (y(y x  y A))
infinito
A(0 A  (x)(x A  x x A))
Contínuo
(generalizada)

2
  1
Axioma de Elección
Para toda clase infinita de conjuntos
no vacíos existe un conjunto
formado con, al menos, un elemento
de cada conjunto.
Todo conjunto puede bien ordenarse
INDECIDIBLES:
• HIPÓTESIS DEL CONTÍNUO
• AXIOMA DE ELECCIÓN
Axiomas de Peano
i.

x    s(x)  
0
ii.
iii.  x (s(x) = 0)
 (s(x) = s(y))  x = y
v. (0)  x (x   ) ((x)  (s(x)) ) 
x   ((x)) (principio de inducción)
iv. x, y 
Paradoja de Richard
(Jules Richard 1905)
0.
1.
3.
4.
ser un número par
ser un número impar
ser múltiplo de 3
ser un número primo
r.
ser un número richardiano
Un número es richardiano si NO
tiene la propiedad que enumera.
r es richardiano
si y sólo si
r no es richardiano
• Un ejemplo de una proposición
aritmética que puede ser verdadera,
pero que puede no derviarse de los
axiomas es:
LA CONJETURA DE GOLDBACH
(todo número par es la suma de dos
números primos)
Finalmente llegamos
• KURT GÖDEL
• 1906
• Brünn, Moravia (Austria-Hungría)
• Elaboró una proposición dentro de un
sistema axiomático que contenía a la
Aritmética:
“esta proposición no puede probarse”
• Esta proposición es demostrable si y
sólo si esta proposición no es
demostrable
• Así aunque no puede demostrarse
resulta verdadera dentro del sistema
• Así, la ARITMÉTICA resulta un sistema
axiomático INCOMPLETO.