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Algunos Orígenes Físicos de las Ecuaciones
Diferenciales
Ejemplo 1 Se sabe, que los objetos en caída libre tienen una aceleración
constante igual a la gravedad g , la velocidad es la derivada del espacio
con respecto del tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad
con respecto del tiempo, entonces se tiene:
d 2x
 g : es la ecuación diferencial que da la distancia vertical
2
dt
d 2x
dx
v
también se tiene a  2
dt
dt
obtenemos
d 2x
g
2
dt
Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene
x(t )  ?
Ejemplo 2 Consideremos un resorte suspendido de un techo, se cuelga del
resorte una masa m y cuando alcanza su posición de equilibrio, se jala hacia
abajo una distancia x , luego se suelta generándose así un movimiento
vibratorio alrededor de la posición de equilibrio.
Observación: Para encontrar el desplazamiento vertical x(t ) de la masa
alrededor de la posición de equilibrio usamos la ley de Hooke
Ley de Hooke: La fuerza de restitución de un resorte estirado es proporcional
a su alargamiento s  x , esto es
Fuerza de restitución: F1  k s  x
Cuando el sistema esta en movimiento, la fuerza neta que actúa sobre la
masa es: F  F1  w
Además, se tiene F  ma
d 2x
F m 2
dt
w  mg
Reemplazando en F  F1  w
tenemos
md 2 x
F  F1  w 
 k ( s  x)  mg
2
dt
md 2 x
 ks  kx  mg
2
dt
Si por la condición de equilibrio se tiene mg  ks
entonces
md 2 x
 ks  kx  ks
2
dt
md 2 x
 kx
2
dt
x(t )  ?
Ejemplo 3 Consideremos un circuito simple conectado en serie que consta de
un inductor, un resistor, y un capacitor tal como se muestra en a figura
Observación: Para determinar la carga eléctrica q(t ) en un instante t
usaremos la ley de Kirchoff
Ley de Kirchoff La suma de las caídas de voltaje a través de cada una de las
componentes del circuito es igual al voltaje proporcionado por la batería,
donde las caídas de voltaje son:
Intensidad de corriente:
i
dq
dt
La caída de voltaje en un resistor:
dq
Ri  R
dt
di
d 2q
L 2
Caída de voltaje en un inductor: L
dt
dt
La caída de voltaje en un capacitor:
Donde se tiene
1
q
c
d 2q
dq 1
L 2 R
 q  E (t )
dt c
dt
q(t )  ?
Ejemplo 4 Cuando una enfermedad contagiosa se propaga, la rapidez dx / dt
con que la enfermedad se propaga no solo es proporcional al número de
personas x(t ) que han contraído, si no también al número de personas y (t )
que aun no han contraído la enfermedad. Esto es
dx
 kxy
dt
Si una persona infectada se introduce en una población fija de n-personas,
entonces x y y se relacionan por:
x  y  n 1  y  n 1 x
Por lo tanto
Cuando
dx
 kx(n  1  x)
dt
t  0  x(0)  1
x(t )  ?