Download segmento "de un"

E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
EXAMEN PRIMERA SEMANA. Febrero 2006
PROBLEMA 1
y
PROBLEMA 3
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
1
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
PROBLEMA 1. Cálculo de campo eléctrico y potencial (aportaciones infinitesimales)
Sobre un segmento rectilíneo de longitud a y una
semicircunferencia de radio 2a y centro en el punto A (0,
a, 0) se distribuye una densidad lineal de carga  (véase
figura). Calcular el campo eléctrico y el potencial en el
punto A.
Z
2a
Pasos previos: cálculo del campo creado por una densidad lineal
de carga  (ver cálculo 1.1) y del campo creado por una densidad
constante  sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.2)

Campo del segmento rectilíneo: E 
 2   1
 
uy  
 1u z 

4 0a  5
 5  
A
Y
a
y
 uz
E
2 0 a
Campo de la semicircunferencia:

Campo total en A: E 
 2   1
 
u


1

u z
y
4 0a  5
 5  
Cálculo del potencial creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.3) y por una densidad lineal sobre
una semicircunferencia (ver cálculo 1.4).
Campo del segmento rectilíneo:
Campo de la semicircunferencia:
V

ln 5  1
4 0

V
4 0
Potencial en A
V


  ln 5  1
4 0

2
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
Y d
PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales)
Por una espira, formada por una semicircunferencia y
dos tramos rectos tal como indica la figura, circula la
corriente I. Calcular el campo magnético en el origen de
coordenadas.
Z
a
Puesto que todos los elementos conductores están situados en el plano
YZ, el campo magnético resultante en el origen tendrá la dirección del
eje X (perpendicular al plano del esquema)
El campo magnético en origen de los tramos rectilíneos estará dirigido
en sentido entrante (compruébese con la regla de la mano derecha). El
del tramo semicircular está dirigido en sentido saliente. Puesto que la
distancia de los elementos de corriente del tramo semicircular al origen
es mayor, el campo neto debe ser de sentido entrante (se comprobará).
a/2

dB
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
Pasos previos: cálculo del campo magnético creado por un
filamento rectilíneo que conduce la corriente I (ver
cálculo 3.1) y del campo magnético creado por una
corriente I sobre una semicircunferencia (ver cálculo 3.2)
3
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
Yd
PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales, continuación)
Z
A) Tramos rectilíneos
Según la orientación de la espira respecto a los ejes coordenados, el campo
de cada tramo rectilíneo se expresa como
a
  I

B  0 sen1  sen 2  u x 
4 h
1
donde h = a/2 y los ángulos 1 y 2 son para el conductor superior 30º y 60º, y
para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la
misma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos).
 
I 1
3 
 ux 
B1  0



4 a / 2  2 2 
3
a/2
X


I  3 1 
B2  0
  u x 
4 a / 2  2 2 
B) Tramo semicircular: su sentido es saliente
y
2
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
 0 I 
B3 
ux
4 a
Campo total:
  

0 I   3 1  

I  3 1 
0 I 
 



4


u


u


B  B1  B2  B3  2 0


u

u

x
x
x
x
4 a   2 2 
4 a / 2  2 2 
4 a

  I

B  0 2 3  1    u x 
4 a


4
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
CÁLCULOS
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
5
Cálculo 1.1. Campo eléctrico debido a densidad lineal de carga  en un punto arbitrario P.
Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuida
sobre un segmento de longitud L con la orientación mostrada
en la figura.
Calculemos el campo en P



dz
dz 

u y cos  uz sen 
dE 
d
E

d
E
y
z 
2
2
4 0 r
4 0 r
El ángulo  es positivo en sentido antihorario y su línea de referencia es la
horizontal que pasa por P; por tanto los ángulos por encima de la horizontal
que pasa por P tienen una contribución negativa a Ez ya que su seno es
negativo (esto es lo que se muestra en el dibujo, pues se ha pintado un
elemento dz por encima de esa horizontal). Los elementos dz por debajo de esa
horizontal tienen contribución positiva, pues su seno es positivo. Véase que
todas las contribuciones a Ey son positivas, pues cos  = cos (-).
Relación entre el ángulo  y la coordenada z:
h
dz 
d
z  h tg
cos2 
VOLVER
Z
dq  dz
h2
r 
cos2 
dz
2
r
z
L
1

2
P

dE y

dEz
h
Tomamos como origen este punto
(El signo negativo obedece a que cuando la coordenada z decrece, el
ángulo  aumenta, pues su sentido positivo es el sentido antihorario)

dE
Y
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
  h / cos2   d 
 d 


Límites de integración: -1 y 2
g
u y cos  uz sen   4 h u y cos  uz sen 
dE 
2
2
4 0 h / cos  
0
n
e
2



 
 u y cos  u z sen  
u y sen  uz cos 21  4 h uy sen 2  sen1   uz cos1  cos 2  t
E
d 
4 0 h
0
i
4 0 h
1
s
m
Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando h = a, L = 2a, cos1 = 1/5, sen1 = 2/5, 2 = 0
o


2
1






VOLVER
E
uy  
 1u z 
6

4 0a  5
Cálculo 3.1
 5  

Cálculo 1.2. Campo eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal ) en su centro.
Sea un arco de circunferencia de 0 radianes y radio R con densidad lineal  C/m
 Rd


d 

u y cos  uz sen 
dE 
d
E

d
E
y
z 
2
4 0 R
4 0 R

E
0

0
VOLVER

dEz
Límites de integración: 0 y 0
d 
u y cos  uz sen   4 R uy sen  uz cos 00
4 0 R
0

E
Z
El sentido positivo del
ángulo  es el antihorario.




u y sen  0  u z cos 0  1
4 0 R

d
Rd

dE
Y

dE y
R
0
Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, 0 =  rad
 uz
E
2 0 a
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
7
Cálculo 1.3. Potencial eléctrico debido a densidad lineal de carga  en un punto arbitrario P.
Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuida
sobre un segmento de longitud L con la orientación mostrada
en la figura.
Calculemos el potencial en P

 h / cos  d  d
dz

sec d

dV 
4

cos

4

4 0 h / cos 
4 0 r
0
0
dq  dz
dz
2
2
V
r
r
z
L
h
dz 
d
cos2 
z  h tg

1
VOLVER
Z
1

h
cos
P
2



ln sec  tan 2
sec d 
1
4 0
4 0
h
Y
Tomamos como origen este punto
V
y



ln sec 2  sec 1   tan 2  tan 1 
ln sec  tan 2 
1
4 0
4 0
V
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o

ln sec 2  sec1  tan 2  tan1
4 0
Caso particular planteado en nuestro problema:
h = a, L = 2a, cos1 = 1/5, sec1 = 5, sen1 = 2/5, tan1 = 2
2 = 0, cos2 = 1, sec2 = 1, sen2 = 0, tan2 = 0
V
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d

ln 5  1
4 0
8
Cálculo 1.4. Potencial eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal ) en su centro.
Sea un arco de circunferencia de 0 radianes y radio R con densidad lineal  C/m
dV 
0
V

0
Rd d

4 0 R 4 0
VOLVER
Z
El sentido positivo del
ángulo  es el antihorario.
Límites de integración: 0 y 0

d
 00

4 0 4 0
V
0
4 0
d
Rd
Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, 0 =  rad
V
Y

R
0

4 0
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d
y
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
9
Cálculo 3.1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.
  90  
El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto
como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del
conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)

 0 Idl  ur  Idl
Cálculo del campo

0
dB 

cos


u
por Biot y Savart:
4 r 2
4 r 2
 


Módulo dB
Idl  ur  Idl sen  u  Idl cos  u
Vector unitario perpendicular al plano
de la figura, entrante a la izquierda y
saliente a la derecha de la misma
dB 
cos  sin 
h
r
cos

I dl

r
l



 0 Idl
 0 I h / cos2 
dB 
cos 
cos d
4 r 2
4 h 2 / cos2 


ur

dB
h
l  h tg
h
dl 
d
cos2 
0 Idl
0 I
cos


cos d
4 r 2
4 h
2
B

VOLVER

1
y
0 I
 I
 I
cos d  0 sen 2  sen  1   0 sen1  sen 2 
4 h
4 h
4 h
CASO PARTICULAR: En nuestro problema h = a/2 y los ángulos 1 y 2 son,
respectivamente, para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y
30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en el
resultado final figura la suma de los senos de los ángulos).
E
l
e
c
t
r
i
c
i
d
a
d

ur
r

dB


I dl
1
2
h
Discusión de los
signos en Cálculo 1.1.
10
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o
E
l
VOLVER e
c
t
r
i
c
i
d
a
Y d
Cálculo 3.2. Campo magnético de un conductor semicircular en su centro.
Z
El campo magnético en el centro debido a cada elemento de corriente
tiene sentido saliente (compruébese con la regla de la mano derecha)

 0 Idl  ur 0 Idl

dB 

sen
90

u
4 r 2
4 a 2
Módulo dB
dB 
0 Idl 0 Ia

d
4 a 2 4 a 2
Los vectores dl y ur son perpendiculares
dB 
0 I
d
4 a
Para calcular el campo en el origen producido por un arco de circunferencia
de 0 radianes debemos integrar entre los límites  = 0 y  = 0 .
0
0 I
 I
B
d  0  0
4 a
4 a

0
a
El vector u es unitario y saliente
Si se trata de una semicircunferencia 0 = 
  I
B 0 u
4 a
a

dB

y
d

ur
M
a
g
n
e
t
i
s
m
o

Idl
11