Download Porcentaje

Concepto de Porcentaje
 La expresión porcentaje o tanto
por ciento equivale a “ tantos
de cada 100 ”.
 Es decir, hablar del 40% es
hablar de 40 de cada 100, osea
40
40% =
100
Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción
Hallar el 35% de 420 :
35
 420  147
35 % de 420 =
100
Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total
Parte
100 - - - - - - 40
650 -- - - - - x
PORCENTAJES
Problemas de porcentajes
Asignaremos nombres a los diferentes elementos
que integran el cálculo de un tanto por ciento:
30% de 40 = 12
porcentaje
parte
total
En el salón de clase, el 40% son mujeres. Si en total hay 30
alumnos, ¿cuántas son las mujeres?
PORCENTAJES
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son mujeres.
¿Qué porcentaje representan las chicas?
Alumnos
%
30 ------- 100
12 -------
x
En mi clase hay 12 mujeres y representan el 40% del
total. ¿Cuántos somos en total?
%
Alumnos
40 ---------100 ---------
12 mujeres
x
APLICACIONES COMERCIALES
Precio de Venta = Precio de costo + Ganancia
PV = PC + G
Precio de Venta = Precio de costo - Pérdida
PV = PC - P
Precio de Venta = Precio de Lista - Descuento
PV = PL - D
SEMEJANZA
Descripción: Dos figuras son semejantes
cuando tienen la misma “forma”, pero no
necesariamente el mismo tamaño
La idea de la “misma forma” aparece
en las ampliaciones o reducciones.
¿ Qué observas ?
10 cm
5 cm
4 cm
8 cm
¿Cómo expresamos matemáticamente esta
idea de la “ misma forma”?
 La respuesta es comparando el largo y el
ancho de ambas fotografías :
Las razones entre el ancho y el largo de
cada foto son iguales; es decir:
4cm
5cm

8cm
10cm
Así es, ya que los
productos “cruzados”
son iguales
10 x 4 = 8 x 5
las dos fotografías son:
¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?
Dos
figuras
porque:
1º
son
semejantes
Tienen la misma forma, por
ampliación o por reducción.
2° Tienen diferente tamaño, porque los
lados de la figura mayor son
una
ampliación en forma proporcional
de los lados de la figura menor,
manteniéndose
constante
los
ángulos.
No son figuras semejantes
¿Qué elementos determinan la semejanza de las
figuras?
¿Qué elementos determinan la
semejanza de las figuras?
 Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales
y
sus
lados
correspondientes
proporcionales.
 Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman “homólogos”.
Triángulos semejantes
 Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son, respectivamente, iguales y
sus lados homólogos son proporcionales.
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
A
6m
C
5m
4m
B
Multiplica cada uno de los lados por 3.
P
18m
15m
R
Los lados del triángulo se han triplicado.
12m
Q
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS
AB
BC
AC
PQ
QR
PR
16
Criterios de semejanza de triángulos
 Existen algunos principios que nos
permiten determinar si dos triángulos son
semejantes sin necesidad de medir y
comparar todos sus lados y todos sus
ángulos.
 Estos principios se conocen con el nombre
de criterios de semejanza de triángulos
Existen tres criterios de
semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
Primer criterio : AA
 Dos triángulos que tienen los dos
ángulos congruentes son semejantes
entre sí.
A´
A
a´
a
b
C
g
B
Es decir: Si a  a´ ,
b´
b  b´
g´
C’
de lo anterior se deduce que
Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´
B´
g  g´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
P
R
65°
A
C
65°
¡SI!
25°
B
Q
Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes,
cumplen con el criterio AA
Segundo criterio: LLL
 Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A´
A
b
a
C
Es decir:
b´
B
a´
c
C’
a
b
c
=
=
a´
b´
c´ =K
c´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
B´
Ejemplo :
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
P
Verifiquemos si las medidas de los
B 1,5
lados son proporcionales
C
3,5
1,5
3,5
5 = 0,5
=
=
3
7
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos la razón entre
los lados correspondientes es
constante
7
5
A
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
10
Q
3
R
Tercer criterio:LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre
ellos es igual, son semejantes entre sí.
A’
A
a
C
a’
a
c
B
a´
Es decir:
C’
a = c
a’
c’
y
a = a’
Entonces D ABC semejante a D A’B’C’
c’
B’
Ejemplo :
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
D
A
9
E
3
B
C
4
12
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
F
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES