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ANGULOS ORIENTADOS SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS RAZONES TRIGONOMETRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA Profesora: Eva Saavedra G. Ángulos positivos y negativos En la Trigonometría, es importante la orientación o sentido que tienen los ángulos. La orientación o sentido de un ángulo está determinada por la dirección en que gira uno de sus rayos mientras el otro permanecer fijo y OA se mantiene fijo OB Gira en sentido contrario al B movimiento de los punteros del reloj o A x Angulo AOB es un ángulo positivo A O B Se mantiene fijo OA OB gira en el mismo sentido que el movimiento de los punteros del reloj Angulo AOB es un ángulo negativo Dependiendo del cuadrante en que se halle el lado términal de un ángulo se dice que este ángulo es del cuadrante I, II, III o IV. B Angulo AOB positivo, es un ángulo del cuadrante II O A D O Angulo COD negativo, es un ángulo del cuadrante I C Sistemas de medición de ángulos Sistema sexagesimal: La unidad de medida es el grado sexagesimal, lo que se anota 1º. Esta unidad corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la trescientas sesenta ava parte de la circunferencia. Así: 1º = 60‘ y 1‘ = 60" 1º = 60‘ = 3.600" EJEMPLO 1 Expresar en grados: 27º 54' 18" Solución: 27º 54' 18" = 27º + 54' +18" Transformamos los minuto a grados : 60 54 54·1º 54 x 0,9º 1º x 60 Transformamos los segundos a grados: 3.600 18 18·1º 18 x 0,005º 1º x 3.600 Por lo tanto: 27º 54' 18" = 27º + 0,9º + 0,005º = 27,905º EJEMPLO 2 Calcular a cuántos grados, minutos y segundos equivalen 7,34º Solución: Sabemos que: 7,34º = 7º + 0,34º Transformar las centésimas de grado a minutos: 1º 0,34º 60·0,34º 0,34º x 20,4 60 x 1º De donde : 20,4‘ = 20‘ + 0,4‘, Transformamos las décimas de minuto a segundos: 1 0,4 60·0,4 0,4 x 24 60 x 1 Por lo tanto: 7,34º = 7º + 20‘ + 24” = 7º 20‘ 24” SISTEMA RADIAL En este sistema la unidad de medida es el radián ( 1 rad). B r O r r A 1rad med arcoAB r Esta unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia Equivalencias entre radianes y grados La longitud de la circunferencia de radio r es 2r , si dividimos su longitud por el radio obtendremos los radianes de un ángulo de 360º, por ello la equivalencia entre ambos es : 360º 2radianes Como sabemos , el radio está contenido 2π veces en la circunferencia, esto permite expresar: 360º º º xrad 2rad rad 180º rad Por ello, la medida en grados sexagesimales de 1 radián es: º 1rad 180º·1rad 57,296º 180º rad 3,1416rad 1rad 57,296º 57º1745 Ejemplos Convertir 25º en radianes: 25º rad 25º·rad 5 25º rad 180º rad 180º 36 3 rad en grados sexagesimales: Convertir 10 3 rad 3 3 180º 10 rad · 54º 10 180º rad 10 Convertir 4,6rad en grados sexagesimales: 4,6rad 4,6·180º 4,6rad 3,1416 180º rad 4,6·57,296º 263,56º 263º3338 ACTIVIDAD 1) Exprese en grados, minutos y segundos, o en notación decimal, según corresponda: 110,01º 110º36 1) 30º15‘4“ 30,251º 2) -175º12' 175,2º Actividad Exprese 2rad 360º = 90º = 2 rad 45º = en π radianes 4 rad 180º = 60º = 1rad 3 30º = 6 rad rad Razones trigonométricas de ángulos complementarios Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en C C A sen cos cos sen tg cot 90º 90 B sen cos(90º ) cos sen(90º ) tg cot(90º ) sen cos( cos sen( tg cot( 2 2 2 ) ) ) La circunferencia goniométrica Y P(x,y) r =1u O x Se llama así a toda circunferencia cuyo radio se considera de medida unitaria ( 1u) y tiene su centro en el origen O(0,0) de un sistema de coordenadas cartesiano. gonos ángulos metría medición Esta circunferencia es un elemento auxiliar utilizado para definir el valor y el signo de las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida. Valores y signos de las razones trigonométricas en el primer cuadrante Y x cos x 1 1 P(x,y) 1 cos -1 -1 sen 1 X y sen y 1 sen0º 0 sen90º 1 cos 0º 1 cos 90º 0 tg 0º 0 tg90º no definida Medidas del ángulo Razón Signo Rango 0º 90º sen + 0,1 0º 90º cos + 0,1 0º 90º tg + 0, Valores y signos de las razones trigonométricas en el segundo cuadrante Y sen180º 0 1 sen -1 cos -1 X sen 0 cos180º 1 cos 1 tg180º 0 tg 0 Medidas del ángulo Razón Signo Rango 90º 180º sen + 0,1 90º 180º cos - 1,0 90º 180º tg - ,0 Valores y signos de las razones trigonométricas en el tercer cuadrante Y 1 cos sen270º 1 3 sen 1 2 -1 1 sen X cos 270º 0 3 cos 0 2 -1 tg 270º no definida 3 tg no, definida 2 Medida del ángulo Razón Signo Rango 180º 270º sen _ 1,0 180º 270º cos _ 1,0 180º 270º tg + 0, Valores y signos de las razones trigonométricas en el cuarto cuadrante Y 1 sen360º 0 sen2 0 cos 360º 1 cos 2 1 cos -1 1 X sen -1 tg360º 0 tg 2 0 Medida del ángulo Razón Signo Rango _ 1,0 270º 360º cos + 0,1 270º 360º tg _ 270º 360º sen ,0 Actividad 1) Indique el signo de las razones trigonométricas de los ángulos dados. a) sen 135º b) cos 240º c) tg 298º d) sec 156º 2) Calcule el valor numérico y signo de las expresiones siguientes. a) sen180º + 3sen270º - 4cos270º -5 sec 180º -6 cosec270º = b) tg 180º - 2 cos 180º + 3 cosec 270º + sen 90º c) sen 0º + 3 cotg 90º + 5 sec 180º - 4 cos 270º = Actividad 3.-Exprese en radianes o en grados, minutos y segundos sexagesimales, según corresponda, las siguientes medidas angulares: a)150º b) 55º 30' c) 72º15‘ d) -540º e) 8 rad i) 22,5º f) 7 rad 4 3 j) 2 g) 120º 35' 18“ 5 k) 6 h) 5,8 rad l ) 270º Actividad 4. Indique a qué cuadrante pertenecen los ángulos que cumplen las siguientes condiciones: a) El coseno y la tangente son positivos b) La cosecante y el coseno son negativos c) El seno y el coseno tienen igual signo d) El coseno y la tangente son negativos e) El seno y el coseno tienen distinto signo Actividad 3. Complete la tabla: Medida ángulo 0º 90º 90º 180º 180º 270º 270º 360º Cuadrante I II III IV Razón Signo sen cos tg sen cos tg sen cos tg sen cos tg Rango 0,1 0,1 0, 0,1 1,0 ,0 1,0 1,0 0, 1,0 0,1 ,0
