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Álgebra vectorial
TEMA 0. Álgebra Vectorial
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Curso 16-17
2
Definición de vector
a
Un vector es un segmento orientado en el espacio.
Queda definido por cuatro elementos:
1. Punto de aplicación u origen O.
2. Dirección, la recta que contiene al vector o cualquiera
paralela a ella.
3. Hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector
4. Módulo del vector. Su longitud, viene dada por la
distancia entre el origen y el extremo. Indica el valor
numérico de la magnitud representada, en la unidad
elegida.
v   x, y , z 
v  x2  y2  z2
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Suma de vectores (libres)
Regla del paralelogramo
+
a
b
Regla de la poligonal
a +
=
b
=
c ab
b
c ab
b
a
a
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4
Suma de vectores (libres)
Suma de vectores
a +
b 
Diferencia de vectores
a 
b

a
b
b
c ab
a
a
 b
c  ab
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Suma de vectores (libres)
a  x A , y A , z A 
b   xB , y B , z B 
a  b   xB , y B , z B    x A , y A , z A 
a  b   xB  x A , y B  y A , z B  z A 
Analíticamente. Si los vectores vienen
dados por sus componente. El vector
suma (diferencia) es el vector cuyas
componentes son la suma (diferencia)
de las correspondientes componentes
de los vectores sumando
z
B
b
A
a
x
a  AB  b  AB  b  a
y
AB   xB , y B , z B    x A , y A , z A 
AB   xB  x A , y B  y A , z B  z A 
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Expresión de un vector referido a un
sistema de referencia cartesiano
Sea (O, i, j, k) el sistema de referencia, con los vectores i, j, k unitarios y
perpendiculares entre sí y que nos definen el sistema de referencia. Sea el
vector v de componentes (x, y, z) en ese sistema, entonces:
v   x, y , z   xi  y j  z k
v es el vector de posición del punto P, extremo de v, siendo su origen el
origen O de coordenadas (v = OP)
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z
c  AB
Podemos representar también un vector
cualquiera que una dos puntos en el espacio.
Es el vector desplazamiento.
b
A
a
A  x A , y A , z A 
B
x
B   xB , y B , z B 
a  AB  b  AB  b  a
AB   xB  x A i   y B  y A  j  z B  z A k
y
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Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de referencia
cartesiano, a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores
fundamentales i, j, k, o, de otro modo, a los cosenos de los ángulos que forma
el vector con el sentido positivo de los ejes coordenados
Cosenos directores de un vector en el plano
y
ay j
j

cos a  a x a

cos b  a y a
a
b
a
i
ax i
x
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Cosenos directores de un vector en el espacio
z
az k
g a
k
i
x
ax i
j
a
b
ay j
y

cos a  a x a

cos b  a y a

cos g  a z a
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Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores es un escalar
El producto escalar de dos vectores es el producto de sus módulos
por el coseno del ángulo que forman los vectores entre si:
v  w  v  w  cos a
w
a
v
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Producto escalar de dos vectores
Producto escalar de los vectores unitarios:
v  w  v  w  cos a
i  i  i  i  cos 0  i  1
j
i  j  i  j  cos 90  0
Expresión analítica de un producto escalar
v  ( xv , y v , z v )  xv i  y v j  z v k
w  ( xw , y w , z w )  xw i  y w j  z w k
v  w  xv x w  y v y w  z v z w
i
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Producto escalar de dos vectores
Propiedades:
• El producto escalar de dos vectores es un escalar
• El producto escalar de dos vectores es igual que el producto
escalar de uno de ellos por el vector proyección ortogonal del otro
sobre él.
w
v× w = v× wn
a
wn
v
v× w
wn =
v
v× w = 0 entonces v y w son perpendiculares
v×w = 0 ® v×w×cosa = 0 ® cosa = 0 ® a = 90º
• Si
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Producto escalar de dos vectores
Propiedades:
• Conmutativa
a× b = b× a
• Distributiva respecto de la suma
(
)
a× b + c = a× b + a× c
• Tercera propiedad
( )
( )
l a× b = ( l a) × b = a× lb
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Producto escalar de dos vectores
v = (xv, yv, zv ) = xv i + yv j + zv k
Aplicaciones:
• Módulo de un vector v× v = v × v × cos(v, v) = v
2
v× v = xv xv + yv yv + zv zv = xv2 + yv2 + zv2
v = xv2 + yv2 + zv2
• Ángulo entre dos vectores
v× w = v × w × cos(v, w)
cos(v, w) =
v× w
v× w
=
xv xw + yv yw + zv zw
xv2 + yv2 + zv2 xw2 + yw2 + zw2
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Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial
vw
de dos vectores es un vector
Características del vector:
vw
• El módulo se calcula como:
v  w  v  u  sena
v
• La dirección es la recta perpendicular a los vectores
v  w  v
w  v   w
a
w
• El sentido viene dado por la “regla del tornillo” o “de la mano derecha”
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Producto vectorial de dos vectores
Propiedades:
• El producto vectorial de dos vectores es un vector
• Si dos vectores son paralelos su producto vectorial es 0.
v  w  v  u  sena
Sean v y w paralelos
v  w  w  v  sen 0  0
• Si v  w  0 entonces
vy w
son paralelos
v  w  0  s ena  0  a  0º 180º
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Producto escalar de dos vectores
Propiedades:
• Anti-conmutativa
 
 
a  b  b  a
• No tiene propiedad asociativa

 

  

a  b c  a b c
• Distributiva respecto de la suma


      
a  b  c  a b  a c

 
  
• Cuarta propiedad  a  b  a   b  a  b


 
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Producto vectorial de dos vectores
Producto vectorial de los vectores unitarios:
j
i
v  w  v  w  sena
 
k  i   i  k   j
i  i  j  j  k  k  sen 0  0 j  k   k  j  i
 
i  j   j i  k
TEMA 0. Álgebra Vectorial
TEMA 0
Curso 16-17
Producto vectorial de dos vectores
Expresión analítica de un producto vectorial
v  ( xv , y v , z v )  xv i  y v j  z v k
w  ( xw , y w , z w )  xw i  y w j  z w k
yv
zv
yw
zw
i
j
k
v  w  xv
yv
zv
xw
yw
zw
vw 
i
zv
xv
zw
xw
j
xv
yv
xw
yw
k
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TEMA 0. Álgebra Vectorial
TEMA 0
Curso 16-17
Producto vectorial de dos vectores
Expresión analítica de un producto vectorial


i   yv zw  zv y w i
yv
zv
yw
zw
zv
xv
zw
xw
xv

yv 
k   xv y w  yv xw k
yw
xw

j    z v x w  xv z w  j
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TEMA
Vectorial
TEMA0.0.Álgebra
Álgebra
Vectorial
APÉNDICE 9
PO   xO , yO , zO 
APENDICES
Curso 16-17
Ecuación de una recta
P  x, y , z 
v  v x , v y , v z ) 
Ecuación en forma vectorial
OP  OP O   PO P  P  PO   v
x, y, z   x0 , y0 , z0    vx , v y , vz 
Ecuación en forma paramétrica
x  x0  v x
y  y0   v y
z  z0   v z
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TEMA
Vectorial
TEMA0.0.Álgebra
Álgebra
Vectorial
APÉNDICE 9
PO = ( xO, yO )
APENDICES
Curso 16-17
Ecuación de una recta
P( x, y)
a
pendiente  m  tga
Ecuación en forma explícita
y  yO
m
x  xO
Y operando:
y  mx  n
Con m la pendiente y n la ordenada en el origen
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TEMA
Vectorial
TEMA0.0.Álgebra
Álgebra
Vectorial
APÉNDICE 9
PO   xO , yO , zO 
APENDICES
Curso 16-17
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Ecuación de una recta
P  x, y , z 
v  v x , v y , v z 
Ecuación en forma continua
x  x0 y  y0 y  y0


vx
vy
vz
Ecuación en forma implícita o cartesiana
De la anterior se obtienen dos ecuaciones y operando:
ax  by  cz  d  0
a ' x  b' y  c ' z  d '  0
Una recta es la intersección de dos planos