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MATEMATICA I Lógica Matemticas Prof Rubén Millán millan_ruben@yahoo.com Lógica La lógica proposicional usa reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. 1. ENUNCIADO: oración o frase que expresa alguna idea (afirmaciones, negaciones,¿?,¡ !, saludos, emociones, etc) . Ejm: “ Pare inmediatamente!” “¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”. “ En realidad, no sé a qué se refiere”. 2. ENUNCIADO ABIERTO: enunciado que contiene variables o letras y no tiene la propiedad de ser verdadero o falso. Ejm: 5x+1=0 a-b =b-a 6y-4>20 3. PROPOSICIÓN LÓGICA: enunciado que puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambas a la vez . Ejm: 1+4=5 . V 2 es un número primo. V 15 es múltiplo de 2 . F Todo número real tiene raíz cuadrada. F Todos los números que terminan en cero son divisibles por cinco. V ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? Explica por qué sí son proposiciones y por qué las otras no lo son. 1)“ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. 2)“ 2 es divisor de 15”. 3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”. 4)“Todo número entero es positivo” 5) “ x + 3 es un entero positivo”. 6)“ Tranquilícese”. Notación Para denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s, ... p: El 5 es un entero par. q: Los números naturales son positivos. r: 2+5 < 8-1. s: “Un decenio tiene 10 años” 4. PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA: proposición lógica que consta de un solo sujeto y predicado (Variables proposicionales). Ejm: 3 divide a 6. 12 es un número par. 1 es un número natural. 5. PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR: proposición lógica compuesta de dos o más proposiciones simples. Ejm: 3 divide a 6 y 12 es un número par. 12 es un número par entonces tiene mitad. OPERADORES LÓGICOS Y , PERO Conjunción O Disyunción SI … ENTONCES Condicional SI Y SÓLO SI Bicondicional NO, NO ES CIERTO QUE Negación ~ Tablas de Verdad 1. Conjunción: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones son verdaderas, en los demás casos será falso. pq p q V V V V F F F V F F F F 2. Disyunción: su valor de verdad es falso solamente si ambas proposiciones son falsas, en los demás casos será verdadero. p q pq V V V V F V F V V F F F 3. Condicional: su valor de verdad es falso solamente si de una verdad se llega a una falsedad, en los demás casos será verdadero. p q pq V V V V F F V V F F V F 4. Bicondicional: su valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en los demás casos será falso. p q pq V V V V F F F V F F F V 5. La Negación: simplemente cambia el valor de verdad. p ~ p V F F V Construcción de tablas de verdad ¿Cuántas filas tiene la tabla? –1 proposición –2 proposiciones –3 proposiciones –......... –n proposiciones 2 valores (V o F) 4 valores de verdad 8 valores de verdad 2n valores de verdad. Fórmula lógica • Es una combinación de proposiciones mediante los operadores lógicos. Ejemplo: p q ~ ~q F q ~ F F V V F V F F F V F F p q V V V P Contingencia (combinación entre verdaderos y falsos) Ejemplo: p ~ p p ~p V F F V p ~p V V Tautología (todos son verdaderos) Ejemplo: p ~ p p ~p p V F F F V F ~p Contradicción (todos son falsos) LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL: 1. Ley de Involución (doble negación): ~ (~p) ≡ p 2. La idempotencia: a) p ٧ p ≡ p; b) p ٨ p ≡ p; 3. Leyes conmutativas: a) p ٧ q ≡ q ٧ p b) p ٨ q ≡ q ٨ p c) p ↔ q ≡ q ↔ p 4. Leyes asociativas: a) (p ٧ q) ٧ r ≡ p ٧ (q ٧ r) b) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r) c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r) 5. Leyes distributivas: a) r ٧ (p ٨ q) ≡ (r ٧ p) ٨ (r ٧ q) b) r ٨ (p ٧ q) ≡ (r ٨ p) ٧ (r ٨ q) c) p → (q ٧ r) ≡ (p → q) ٧ (p → r) d) p → (q ٨ r) ≡ (p → q) ٨ (p → r) 6. Leyes de Morgan: a) ~ (p ٧ q) ≡ (~p ٨ ~q) b) ~ (p ٨ q) ≡ (~p ٧ ~q) 7. Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ~p ٧ q b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q 8. Leyes del Bicondicional: a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p) b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q) 9. Leyes de la Absorción: a) p ٨ (p ٧ q) ≡ p b) p ٨ (~p ٧ q) ≡ p ٨ q c) p ٧ (p ٨ q) ≡ p d) p ٧ (~p ٨ q) ≡ p ٧ q 10. Leyes de Transposición: a) (p → q) ≡ (~q → ~p) b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p) 11. Ley de Exportación: (p ٨ q) → r ≡ p → (q → r) 12. Formas normales: • Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡ F • Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡ V 13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología: P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C donde: T= Tautología (Verdad), C = Contradicción (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas. La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible. A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad. Simplificar la expresión: [(p p) q] [~q (r q)] [p (p ~q)] Recuerde Ubicar la ley que utiliza [(~p p) q] [~q (r q)] [~p (p ~q)] Impla. Material [(~p p) q] [~q (r q)] [(~p p) ~q] Asociativa (v q) [~q (r q)] (v ~q) Complemento v [~q (r q)] v Dominancia v v [~q (r q)] Asociativa v [~q (r q)] Idempotencia ~q (r q) Elemento Neutro (~q r) (~q q) Distributiva (~q r) v Complemento ~q r Elemento Neutro