Download Tema ó Título

G11N06diego
Marzo 2012
Cálculo de Campo
Eléctrico

 Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por
una distribución lineal de carga λ.
x=0
x=L
x=b
 Suponiendo que la densidad de carga de la barra sea
uniforme, al tomar una pequeña sección de la barra
cargada siempre obtendremos la misma cantidad de carga
almacenada en cada pequeña sección.

dq = λ*dx
dx
x=0
x=L
x=b
 El campo eléctrico se define como:
𝑘 ∗ 𝑑𝑞
𝑑𝐸 =
𝑟2

 Como la barra se extiende a lo largo del eje x
únicamente, el campo queda así:
𝑘 ∗ 𝑑𝑞
𝑑𝐸 =
𝑥2
 Reemplazando el valor de Δq nos queda:
𝑘 ∗ 𝜆 ∗ 𝑑𝑥
𝑑𝐸 =
𝑥2
 Cada pequeño dx produce un campo eléctrico sobre
el punto b en la dirección de las x positivas, por lo
que para hallar el campo eléctrico total se suman las
contribuciones de cada una de estas.

 Esto se puede lograr si integramos el campo desde
un extremo de la barra hasta el otro. En el extremo
más cercano al punto b, la distancia es b; y en el
extremo más lejano la distancia sería L+b
𝐿+𝑏
𝑑𝐸 =
𝑏
𝑘 ∗ 𝜆 ∗ 𝑑𝑥
𝑥2
 Como k y λ son constantes, se pueden sacar de la
integral:

𝐿+𝑏
𝐸 =𝑘∗𝜆∗
𝑏
𝑑𝑥
𝑥2
1
1
𝐸 =𝑘∗𝜆∗ −
+
𝐿+𝑏 𝑏
𝐿
𝐸 =𝑘∗𝜆∗
𝑏(𝐿 + 𝑏)
 Como la densidad de carga es uniforme, al
multiplicarla por la totalidad de la longitud de la
barra, se obtiene la carga total de esta:

𝜆∗𝐿
𝐸=𝑘∗
𝑏(𝐿 + 𝑏)
𝑄
𝐸=𝑘∗
𝑏(𝐿 + 𝑏)
𝒌∗𝑸
𝑬=
𝒃(𝑳 + 𝒃)
Cálculo de Campo
Eléctrico

Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una
distribución lineal de carga λ.
y=b
x=-L/2
x=0
x=L/2
 En este caso, el campo eléctrico tendrá componentes en los
ejes x y y, pero debido a que la figura es simétrica respecto
a y, los componentes del eje x se anulan entre ellos

y=b
x=-L/2
x=0
x=L/2

Se anulan los componentes en x porque son de la misma
magnitud, pero dirección contraria:
y
Ey
y=b
E
θ
E
Ex
Ex
Ey
θ
x
x=-L/2
x=0
x=L/2

Para hallar el campo eléctrico lo dejamos expresados en
función de la distancia r y del ángulo θ:
y
r
y=b
θ
r
θ
x
x=-L/2
x=0
x=L/2
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = ,
𝑟
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 =
𝑥 2 + 𝑏2

𝑘 ∗ 𝑑𝑞 𝑏
𝑑𝐸𝑦 = 𝑑𝐸 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
∗
2
𝑟
𝑟
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑𝑞
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑𝑞
𝑑𝐸𝑦 =
=
3
𝑟
( 𝑥 2 + 𝑏 2 )3
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑𝑞
𝑑𝐸𝑦 = 2
(𝑥 + 𝑏 2 )3 2
Reemplazando dq:
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝜆 ∗ 𝑑𝑥
𝑑𝐸𝑦 = 2
(𝑥 + 𝑏 2 )3 2
 Como la barra está una mitad a un lado y la otra al
otro lado del eje de las x, la barra es simétrica
respecto a y, por lo que podemos calcular el campo
que se produce desde el punto x=0 hasta x=L/2, y
luego multiplicarlo por 2, con lo que hallaríamos el
campo total de la barra:

𝐿/2
𝑑𝐸𝑦 = 2 ∗
0
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝜆 ∗ 𝑑𝑥
(𝑥 2 + 𝑏 2 )3 2
𝐿/2
𝐸 = 𝐸𝑦 = 2 ∗ 𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝜆 ∗
0
𝑑𝑥
(𝑥 2 + 𝑏 2 )3
2
𝐿/2
𝐸 =2∗𝑘∗𝑏∗𝜆∗
0
𝑑𝑥
(𝑥 2 + 𝑏 2 )3
2

Integrando la función, nos queda así:
𝑥
𝐸 =2∗𝑘∗𝑏∗𝜆∗ 2
𝑏 ∗ 𝑥 2 + 𝑏2
2𝑘𝜆
𝐸=
∗
𝑏
𝟖𝑳𝒌𝝀
𝑬=
𝒃 ∗ 𝑳𝟐 + 𝟒𝒃𝟐
𝐿 2
2
𝐿 2 + 𝑏2
𝟑 𝟐
3 2
3 2
𝐿/2
0
−0
𝟖𝒌𝑸
=
𝒃 ∗ 𝑳𝟐 + 𝟒𝒃𝟐
𝟑 𝟐
Cálculo de Campo
Eléctrico

Calcule el campo eléctrico en el punto b producido
por un aro de radio a con una distribución lineal
de carga λ.
Halle una expresión para E(y)
y=b
(0,0)
Al igual que en el problema anterior, el campo
eléctrico producido en el eje x se cancela por la
simetría de la configuración (anillo)

y=b
0,0)
Como los puntos son equidistantes, el ángulo formado desde
cada uno de los puntos siempre será el mismo.
 A diferencia del ejercicio anterior, en esta
configuración cada uno de los dx aportarán la misma
contribución para el campo eléctrico sobre b. Esto se
debe a que en el anillo cada uno de los puntos
equidistan tanto con respecto al eje x como con
respecto al eje y.

 Aún así, debido a lo anteriormente explicado, solo
habra componentes en el eje y (simetría):
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = ,
𝑟
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 =
𝑎2 + 𝑏 2
𝑘 ∗ 𝑑𝑞 𝑏
𝑑𝐸𝑦 = 𝑑𝐸 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
∗
2
𝑟
𝑟
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑𝑞
𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑𝑞
𝑑𝐸𝑦 =
=
3
𝑟
( 𝑎 2 + 𝑏 2 )3
𝑑𝐸𝑦 =

𝑘 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑𝑞
(𝑎2 + 𝑏 2 )3
2
Como dq será siempre el mismo para todos los dx, no
hay necesidad de integrar la función. Para hallar el
campo eléctrico basta con sumar cada una de las
contribuciones, por lo que se puede usar una sumatoria:
𝑬 = 𝑬𝒚 =
𝒌 ∗ 𝒃 ∗ 𝒅𝒒
𝒌𝒃𝑸
= 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
(𝒂 + 𝒃 )
(𝒂 + 𝒃𝟐 )𝟑
𝟐
Cálculo de Campo
Magnético

Calcule el campo magnético en el punto b producido por una
corriente I que circula por el aro de radio a .
Halle una expresión para B(y)
y=b
(0,0)
 Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto
P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magnético
creado por dicho elemento de corriente.
 Los vectores unitarios
ut y ur forman 90º

 El vector campo magnético
dB tiene dos componentes:
- A lo largo del eje de la
espira: dB cos(90-θ)
- Perpendicular al eje
de la espira: dB sen(90-θ)
 De acuerdo a la ley de Biot – Savart:
𝜇0 ∗ 𝐼 ∗ (𝑢𝑡 × 𝑢𝑟 )
𝜇0 ∗ 𝐼
𝑑𝐵 =
∗ 𝑑𝑙 =
∗ 𝑑𝑙
2
2
4𝜋𝑟
4𝜋𝑟

 Debido a la simetría que presenta, las componentes
perpendiculares al eje y (componentes del eje “x”) se
anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético
resultante está dirigido a lo largo del eje y puede
calcularse mediante una integración sencilla ya
que r es constante y θ es constante (debido a que
todos sus puntos son equidistantes):
𝐵=
𝑑𝐵 ∗ cos 90 − 𝜃 =
𝑑𝐵 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝜇0 ∗ 𝐼
𝐵=
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑙
2
4𝜋𝑟
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = ,
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑟
𝜇0 ∗ 𝐼 𝑎
𝐵=
∗
𝑑𝑙
2
4𝜋𝑟
𝑟

𝜇0 ∗ 𝐼 𝑎
𝐵=
∗ ∗ 2𝜋𝑎
2
4𝜋𝑟
𝑟
𝝁𝟎 ∗ 𝒂𝟐 ∗ 𝑰
𝝁𝟎 𝒂𝟐 𝑰
𝑩=
=
𝟑
𝟐𝒓
𝟐(𝒂𝟐 +𝒃𝟐 )𝟑
𝟐
Cálculo de Campo
Magnético

Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el
campo magnético de una corriente I que fluye por un
alambre de longitud infinita
Y=b
I
 Según la ley de Biot - Savart, el campo magnético
que produce un elemento diferencial de corriente dL
de un alambre recto de longitud L por el que circula
una corriente 𝐼 sobre un punto que se encuentra a
cierta distancia del elemento dL está dado por:

𝜇0 ∗ 𝐼 ∗ (𝑑𝑙 × 𝑢𝑟 )
𝑑𝐵 =
4𝜋𝑟 2
Donde ur es un vector
unitario
 El campo magnético está dirigido hacia adentro de la
hoja.

 Para calcularla magnitud del campo magnético total
sobre todo el alambre, ya sabiendo la dirección, se
parte del hecho de que:
𝜇0 ∗ 𝐼 ∗ 𝑑𝑙
𝑑𝐵 =
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
2
4𝜋𝑟
 Para poder integrar este resultado, debemos
relacionar las variables r, θ y L de alguna forma
 Partiendo de la geometría que se observa en la figura
se expresa r en términos de la variable θ:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = ,
𝑟
𝑏
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = − ,
𝑙

𝑏
𝑟=
= 𝑏 ∗ csc 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑏
𝑙=
= −𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑡 𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃
 Derivando esta expresión, obtenemos dl:
𝑑𝑙 = 𝑏 ∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃,
 Sustituyendo dl y r en dB, nos queda:
𝜇0 ∗ 𝐼 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃
𝑑𝐵 =
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
2
4𝜋(𝑏 ∗ csc 𝜃 )

𝜇0 ∗ 𝐼 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑑𝐵 =
𝑑𝜃
2
2
4𝜋𝑏 ∗ csc 𝜃
𝝁𝟎 ∗ 𝑰 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝜽)
𝒅𝑩 =
𝒅𝜽
𝟒𝝅𝒃
 Ya teniendo una a B como una función del ángulo no
más, podemos integrar esta ecuación.
 θ va a tomar los valores comprendidos entre θ1 y θ2,
los cuales, si la longitud es infinita, tenderán cada
vez más a un valor de 0° y 180° respectivamente

𝜇0 ∗ 𝐼
𝐵=
4𝜋𝑏
𝜃2
𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝜃
𝜃1
 Integrando, B nos queda:
𝜇0 ∗ 𝐼
𝜋 𝜇0 ∗ 𝐼
𝐵=
∗ −cos(𝜃) =
∗2
4𝜋𝑏
0
4𝜋𝑏

 El campo magnético de un alambre recto infinito es:
𝝁𝟎 𝑰
𝑩=
𝟐𝝅𝒃