Download Sesión 1: Sistemas Numéricos
Document related concepts
Transcript
Sesión 1: Sistemas Numéricos Matemática y Lógica Computacional Profesor Miguel Angel Palomino Hawasly E-mail: mpalomino@correo.unicordoba.edu.co Los Números Naturales • Axioma 1: 1Є N, esto significa que el conjunto N es diferente del conjunto vacío, ya que contiene al menos un elemento, el 1. • Axioma 2: para cualquier elemento n Є N, existe otro elemento en N, llamado “el siguiente de n”, y se representa por sig(n), de tal forma que: sig(1)= 2, sig(sig(1)) = sig(2) = 3, ..etc • Axioma 3: para todo n Є N, sig(n) ≠ 1 1 es el primer elemento de N Los Números Naturales • Axioma 4: si n,m Є N, y sig(n) = sig(m), entonces n = m El siguiente de un número n, es único • Axioma 5: si K c N y cumple las siguientes condiciones a) 1 Є K b) si m Є K y sig(m) Є K, entonces K = N El conjunto de los Números Naturales es único Con base a los axiomas anteriores, se construye el conjunto de los números naturales N, el cuál es: N = {1,2,3,4……..} Números Enteros • Este conjunto Z, lo conforman números naturales (enteros positivos), el cero y números enteros negativos Z = {….,-3,-2,-1,0,1,2,3,….} Números Racionales • se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo Q = {x|x = n/m, n,m Є Z con m ≠ 0 } Números Irracionales • Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción, donde n y m son enteros, con m diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. I = {x|x no se puede representar como n/m, n,m Є Z, con m ≠ 0 } Los números racionales e irracionales no tienen elementos en común Números Reales • los números reales, se pueden expresar como la unión de los conjuntos de los números racionale s Q, y de los irracionales I. El conjunto de los números reales se denota como R, y se tendrá que : R=QUI El conjunto de los números reales se maneja como un campo y por tanto satisfacen los siguientes axiomas de campo Axiomas de Campo • Axioma 1: Leyes de cerradura (adición y multiplicación) para cualquier a,b Є R, se tiene que a+b Є R, ab Є R La adición y la multiplicación de los números reales, es otro número real • Axioma 2: Leyes Conmutativas (adición y multiplicación) para cualquier a,b Є R, se tiene que a+b = b+a, ab = ba EI orden de lo sumandos no altera la suma, Igualmente, el orden de los factores no altera el producto en los números reales Axiomas de Campo • Axioma 3: Leyes asociativas (adición y multiplicación) para cualquier a,b,c Є R, se tiene que (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc) EI orden de aparición de los sumandos o de los factores, no altera la suma o el producto respectivamente • Axioma 4: Ley Distributiva para cualquier a,b,c Є R, se tiene que (a+b)c = ac+bc Axiomas de Campo • Axioma 5: Existencia del elemento identidad (adición y multiplicación) para la adición: existe un elemento e Є R, llamado “elemento de identidad para la suma”, tal que para cualquier a Є R, a+e= e+a = a, esto es e = 0 para la multiplicación: existe un elemento eЄ R, llamado “elemento de identidad para la multiplicación”, tal que para cualquier a Є R, ae= ea = a, esto es e = 1 Axiomas de Campo • Axioma 6: Existencia del elemento inverso (adición y multiplicación) para la adición: para cualquier a Є R, existe un elemento -a Є R denominado inverso aditivo de a, tal que : a+(-a)= (-a)+a = 0 para la multiplicación: para cualquier a Є R, existe un elemento 1/a Є R denominado inverso multiplicativo de a, tal que : a.(1/a)= (1/a).a = 1 Axiomas de Campo • Algunas propiedades que se derivan de los axiomas anteriores 1. si a Є R, entonces -(-a)= a 2. si a Є R, entonces a.0=0.a=0 3. si a,b Є R, entonces (-a)b= -(ab) 4. si a,b Є R, y ab= 0, entonces a=0 o b=0 5. si a,b Є R, entonces (-a)(-b)=ab 6. si a,b,c Є R, y a+b= a+c, entonces b=c 7. si a,b,c Є R, y ab= ac, entonces b=c División de los Enteros La división entre dos enteros puede ser exacta o inexacta. Una división entre dos enteros (en donde el divisor es diferente de cero),se llama inexacta, si el residuo de dicha división es diferente de cero, y se llama exacta cuando el residuo es cero. Ejemplos 18 ÷ 4 tiene residuo 2, por tanto la división es inexacta 21 ÷ 3 tiene residuo 0, por tanto la división es exacta Divisibilidad: sean a,b Є Z y b ≠ 0, b divide a a, si existe un c Є Z tal que a = bc Propiedades de la Divisibilidad Propiedad 1: si a,b Є Z y son divisibles por c Є Z , entonces se cumple que: a) a + b es divisible por c b) a – b es divisible por c c) ab es divisible por c y por c² d) si n Є N, entonces aᶯ es divisible por cᶯ e) etc. Propiedad 2: Si a Є Z y es divisible por b Є Z, y a la vez b es divisible por c Є Z , entonces a es divisible por c Propiedades de la Divisibilidad Ejemplos: 35 y 45 son divisibles por 5, entonces se tiene que: 35 + 45 también es divisible por 5 35 – 45 también es divisible por 5 35 X 45 también es divisible por 5 y por 25 35⁴ es divisible por 5, 25, 125 y 625 60 es divisible por 15, y 15 es divisible por 3, luego 60 es divisible por 3