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Taller 1 cálculo integral: Integral Indefinida. jaimeaj@conceptocomputadores.com. UdeA. 2015-2 Profesor Jaime Andrés Jaramillo. 1. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas (tanx1)dx d) senxdx g) x h) z (tan z sec z ) dz sec k) x3 1 x 1 dx l) p) xcos xdx 1 tan a) 4 x 5 3x 4 6 x 3 dx b) 2x 3 3 2 4 dx c) x 4 5 x e) x13x2dx f) cos x 1 sen 2 x dx i) x1x1dx j) xcot xdx sec m) q) s) 3 4 x5 3 x x dx [ 2 e 16 x x n) 2 3 1 dx 4 x24 x5 dx dx o) 2 3 x x 36 3x 2 x 2 36 5x 3 1 /2 2 4 x2 5dx 2 sen 2x 4 5 x3 dx x 2 tan x cos x sen x dx r) senx ] dx 4x3ex x2 dx t) 6x3 5 4 2 8 x 6 x 2 x 4 x 5 x22x5 dx dx u) v) 3 4 x x3 2. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas a. 3 4 6 x dx 5 4 3 x 3 csc x dx 2 cotx1 d. 9x3 x b. 3 2 dx 3x x e. 4 x3 7 x 2 x 3 dx c. f. 2 x 2 3x 3 / 2 5 x dx 9 x3/ 2 senx tan 2 x senx sec x 2 dx 1 de 8 3. Encuentre f x )x , f 4 0 a) f'( b) f ' ' ( x) 5 x 2 4 x 7, f 1 5, 3 x ) 3 x 2, f 1 1 c) f'( 2 x f ' (1) 3 e) f ' ( x) sec 2 x d) f ' ( x) 6e x 5 cos x; x , f 0 2 f (4) 2 f) f ' ' (t ) 2e t 3 cos t , f 0 0, f 0 Aplicaciones de la integral indefinida 4. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto despuès de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, dh/dt = 1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centìmetros. Las plantas de semillero miden 12 centìmetros de altura cuando se plantan (t=0) a) Determinar la altura despuès de t años. b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden? 5. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10) esto es, dP/DT= K t . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7 días. Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) 6. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h. Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el auto recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la escena del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente. 7. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora (exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante de 40 pies/segundo2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse? Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Libre 8. Cuando Alejandro arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con su cauchera, la piedra alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra? (Aceleración de la gravedad: g=32pies/segundo) 2 de 8 9. Sebastián arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio alto. La velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una velocidad de 153 pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio? Sustitución o cambio de variable 10. Calcule la integral usando sustitución 1 a) y(1lny) dy b) e1 / t t 2 dt e) e f) xcsc xdx cot x 5 1exdx i) et 4 e t dt m) 2 3x j) 6 4xx 2 c) g) x 3 )dx xcos( 3 4 1 sen x 1x 2 dx dx x5 dx 4 k) (x1) n) 42x9x dx x d) (3x2) dx h) sen x x2 dx l) 3x2 3x2 1dx 4 6 1 dx 2 Integración por partes 11. Calcule la integral usando integración por partes a) xe dx b) x cos xdx c) xsenxdx d) e cosxdx e) tan 4xdx f) sen xdx g) x csc i) x e j) (12x)senxdx x x 2 3x p) ln2x dx 3 2 xdx m) x3ex dx h) 2 2 x 1 5 x 2 x ln xdx 2 1 1 etanx 1 3 2x x3 l) 5 x cos(3x)dx o) lnxdx sen r) x tan k) 1x n) q) 2 dx 3/2 dx dx x2 25 ln2x dx x2 1 xdx 3 de 8 12. Calcule la integral usando integración de potencias de funciones trigonométricas a) e) sen 2 x sec 2 xdx tan dx b) cos 3 3 tan sec 3 3 d f) 5 xsen 5 xdx cos 3 c) xdx tanxsec g) csc2d 3 cot3 x dx d) csc2 x 4 h) x x cos dx sen 3 3 4 4 13. Calcule la integral usando sustitución trigonométrica a) 16 x225 dx x b) t dt 2 16t2 c) x3 1x2 tdt dx (1t ) d) 2 3/ 2 14. Calcule la integral usando fracciones parciales 2 sec xdx a. tan x(tan x) 1 5x4 dx b. 2 2x x1 e. 1 1ex dx i. 4 3 2 3 x x 13 x 3 x 13 dx 3 2 x x 4 x 4 f. tanxdx 4 x37 x dx c. 4 2 x 5 x 4 2 8 x 4 2 4 x dx d. 3 2 x x x 1 dx h. g. 2 x 2x2 1 1 x2 x43x22dx 15. Calcule la integral 4 de 8 a. x34 x 10 x2x6 dx e. sen x senx 2 csc d f. j. d 1cos 3 cos xdx 2 i. 3 tan sec d 1 m. q. (25 x) u. z1 z)dz ln( y. dx x(1x) 1 2 3/2 x 23x cot b. 3 n. r. 3 6xx2 dx dx cos r dr cc. 2 1cos r x 3dx x2 d. g. e 1e2t dt h. k. dx 2cos x l. x sen v. xe2 x (2 x 1) 2 dx w. cot2 z cscz dz z. 9x 6x5 aa. t ee. 5 3 x x 1dx 2 dx 2 (lnx)2 dx dd. x kk. 2 2 63x dx dx x2 4x 1 2 ydy dt 6t 8 x2dx 49 36 x2 1 t dt x 1x4 9t3 dx p. t. (x 1)e dx x. dy 3(sec y1 ) bb. t 1t 1t2 dt x 2 2 dt 2 2 x3ex dx ff. 2 (x 1)2 3 2 5 x 3 x 2 x 1 dx hh. 4 2 x x 1 2 d cos 2 sen cos mm. x2 s. ii. 3xx2 sen 2x y 4y5dy 1 sec 2tdt, t dx t gg. x 2 o. dx x24 x 8 53y dx c. jj. e2x e2x3ex2dx ll. 3x4 x3 1dx nn. 4x 2 x5 dx 72 x 10 16. Encuentre f 5 de 8 a) c) f ' ( x) ln x 3xsen2 x, f 1 1 b) f '( x ) x 6 5 x ,f 1 10 2 f ' ' ( x ) 24 x 2 x 10 ,f 1 5 , f ' ( 1 ) 3 d) f ' ( x) e x 4 cos x, f 4 0 g) x e f'( x ) x, f 0 1 1 e e) t 1 f ''( t ) 2 e 3 cos t ,f 0 0 , f'( x ) , f 17 2 f) x 13 f 0 2 f'(x )2 cos tsec t, h) t , f 4 2 2 3 ' ' ( x ) senx ,f ' 0 1 ,f 0 6 i) f 17. Un automóvil viaja por una carretera recta muy larga. Su aceleración es: a) es m s2 t se mide en segundos y t 0 0m/ s y su posición x es 0 m Donde v a(t) 2 0.1 t (t)3 e b) a m s2 c) a(t)5 e0.2t m s2 es el instante en el que inicia su recorrido cuando su velocidad I. II. Determine la función velocidad v del automovil Determine una función para la posición x del automóvil III. Aceleración, velocidad y posición del automóvil para t 10 s 18. Una partícula entra a un campo magnético como se muestra en la figura con una v 1m/ s velocidad horizontal x . El campo magnético afecta su movimiento, t t proporcionándole una velocidad vertical v y cos (en m/s); t es el tiempo en 4 4 segundos. Determine a que distancia del borde inferior del campo magnético sale la partícula. 6 de 8 19. En cierto experimento, una partícula ubicada en un tubo de 5m se mueve de forma horizontal, manteniendo una velocidad en m/s: vt 2tsen3t ,(t en segundos) durante 3 segundos. Si la partícula al iniciar el experimento se encuentra a 2m del extremo izquierdo. Determine la posición de la partícula un segundo después. ALGUNAS RESPUESTAS 3 5 / 3 32 4 1. b. x dx x 16 x c 5 x 2. b. 3 9 x x dx 3 x ln x c 3 2 3 x x 45 1 / 4 c. (tan x 1 ) dx tan x c 2 7 de 8 1 /t e 1 /t e c c. t2 dt 10. b. 11. f. 4 sen ( x 3 ) 3 4 x cos( x 3 ) dx c 4 1 tan 4 xdx x tan 4 x ln( 1 16 x ) c sen xdx xsen x 1 x c g. 8 1 1 1 2 1 2 3 sen 2 5 13 / 2 1 / 2 3 tan x sec xdx sec x sec x c dx (cos ) 2 (cos ) c c. 3 5 cos 12. b. 2 16 t cc. 13. b. 2 2 16 t t 16 t dt 3 x 12 3 / 2 2 dx ( 1 x ) 1 x c 2 1 x 3 3 5 x 4 1 4 x 7 x 3 1 2 2 dx 3 ln x 1 ln 2 x 1 c dx ln x 4 ln x 1 c 14. b. c. 2 4 2 2 2 x x 1 2 x 5 x 42 dx x ln 1 e c 1 e 1 e. 15. b. x x cot d 1 sen c csc 3 3 c. 3 x 1 2 x 3 3 f. dx 3 sen c 6 3 x x 1 2 cos d 2 1 cos c 1 1 2 3 dx ln c x 2 x 2 x t 2 t 1 t t 2 t 1 e dt sen e e 1 e g. e j. sen 2 x k. dx 2 cos x 4 ln 2 cos x c 2 cos x n. dx x 4 x 8 2 ln x 4 x 8 x 2 c dx x 4 x c o. x 4 x 8 x 4 x x 2 w. 2 cot z dz ln csc z cot z cos z c csc z dx1 3 x 1 dt 1t 2 1 tan caa. 2 ln c 2 6 2 4 9 x 6 x 5 t 6 t 82t 2 2 2 x 2 x xe e dx c v. 2 4 ( 2 x 1 ) ( 2 x 1 ) z. x 2 2 2 4 45 2 9 3 / 2 dd. 2 3 (ln x ) (ln x ) dx c x 3 1 2 53 3 3 3 5 / 2 1 1 2 x 1 dx x x 1 ( x 1 ) c 2 tdt t sec 2 t ln 2 t 4 t 1 c ee. x gg. sec hh. 32 5 x 3 x 2 x 1 1 3 2 1 dx 2 ln x ln( x 1 ) 2 tan x c 4 2 x x 2 x 1 3 59 3 4 3 2 ( x ) 2 x x 5 x 22 x e. f(x ) 2x 13 2 16. b. f ( t ) 2 sent tan t 4 2 3 h. f 8 de 8