Download P: Problemas campo magnético e inducción

PROBLEMA
Dos conductores rectilíneos y paralelos entre si transportan una corriente constante de intensidad I0 = 400 A (cada uno). Ambas
corrientes circulan en el mismo sentido, los conductores pueden considerarse ilimitados y la distancia entre ellos es de 2 cm.
(a) Calcular el campo magnético que cada conductor produce en el lugar que ocupa el otro, indicando su dirección y sentido.
(b) Calcular la fuerza por unidad de longitud entre los dos conductores.
(c) Explicar razonadamente si esa fuerza por unidad de longitud es atractiva o repulsiva..
Permeabilidad magnética del medio: 0 = 4 ·10-7 N/A2
a) Campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia r: T. Ampère

B
I0

 
B·dl  0 ·I 0
r

B

 dl
Consideraciones de simetría: el campo magnético
creado por I0 es tangente a la circunferencia de radio
r centrada en el conductor, y el módulo de ese campo
es el mismo en todos los puntos de esa circunferencia.

B

B
Teorema de Ampère:
Conductor 2
I0


l2  l0 ·k

B12

F12 / l0
 
B·dl 
B·2 r  0 ·I 0
B
Conductor 1
I0


l1  l0 ·k
r 
Z

i
r
X
 0 ·I 0
2 r
Sentido del vector:
regla mano derecha
Campo magnético creado por
el conductor 1 en el lugar
ocupado por el conductor 2

B21
F21 / l0
 B·cos0º·dl  B dl  B·2 r

k 
j

 ·I 
B12  0 0 i
2 r
Campo magnético creado por
el conductor 2 en el lugar
ocupado por el conductor 1
Y
Módulo


B12  4·10 3 i T
B


 ·I
B21  0 0  i 
2 r
 0 ·I 0
 4·10 3 T
2 r


B21  4·10 3  i  T
1
Dos conductores rectilíneos y paralelos entre si transportan una corriente constante de intensidad I0 = 400 A (cada uno). Ambas
corrientes circulan en el mismo sentido, los conductores pueden considerarse ilimitados y la distancia entre ellos es de 2 cm.
(a) Calcular el campo magnético que cada conductor produce en el lugar que ocupa el otro, indicando su dirección y sentido.
(b) Calcular la fuerza por unidad de longitud entre los dos conductores.
(c) Explicar razonadamente si esa fuerza por unidad de longitud es atractiva o repulsiva..
Permeabilidad magnética del medio: 0 = 4 ·10-7 N/A2
Conductor 2
I0


l2  l0 ·k

B12

F12 / l0
Conductor 1
I0


l1  l0 ·k
r 
(b, c) Fuerza por unidad de longitud
Tomamos una unidad de longitud l0 en cada uno de los conductores:
la fuerza que experimenta la unidad de longitud de cada conductor
debido al campo magnético generado por el otro es

B21
Z
F21 / l0

i
r

k 
j
X


B12  4·10 3 i T


B21  4·10 3  i  T
Y
 

  ·I 
F12  I 0 ·l2  B12  I 0 ·l0 k  0 0 i
2 r


F12
 1.6 j N/m
l0
 
  ·I


F21  I 0 ·l1  B21 I 0 ·l0 k  0 0  i 
2 r

F12  0 ·I 02  

·k  i
l0
2 r 
j


F12  0 ·I 02 

·k   i 
l0
2 r

j


F21
 1.6 j  N/m
l0
Fuerza de atracción entre
los dos conductores
F21 F12

 1.6 N/m
l0
l0
2
PREGUNTA
El polo sur de un imán se mueve acercándose a un anillo metálico ¿En que sentido circula la corriente
inducida en la cara del anillo que mira al imán?
Según la Ley de Lenz, la corriente inducida tiende a oponerse a la causa que la produce.
Al aproximar el imán con su polo sur dirigido hacia el anillo, éste responde como si fuese un imán virtual
cuyo polo sur S’ está enfrentado con el polo S del imán real que se acerca.
Abrazamos ambos imanes, el real y el virtual, con la mano derecha tal y como se muestra en la figura (el
dedo pulgar señala en cada caso hacia el norte). La corriente inducida por el imán real en el anillo tiene el
sentido indicado por los cuatro dedos de la mano derecha que abrazan el imán virtual, es decir, el sentido de
las agujas del reloj visto por el imán real que se acerca.
De esta manera, en esa cara se crearía un polo sur que tendería a repeler al que se acerca.
Mano derecha
N
Apunta hacia N’
S
Imán real
S
Imán virtual
Apunta hacia N
N
Mano derecha
3
PROBLEMA
Una espira conductora de forma cuadrada y lado a = 16 cm está colocada sobre el plano XY
Z
en una zona donde hay un campo magnético orientado según se indica en la figura. El
módulo del campo cambia según B = 0.01·(0.5 t2 + 2 t + 1), donde t es el tiempo expresado
en segundos, y el campo B se mide en tesla.
X
a) Calcular el flujo magnético en la espira en función del tiempo
a
b) Calcular la fuerza electromotriz inducida en la espira cuando t = 10 s.
c) Indicar, mediante un dibujo, el sentido de la corriente inducida en la espira. Razónese la respuesta.


S  a2  k

a) El flujo magnético es igual al producto escalar
Z
B
 
t   B  S  B  S  cos 30º


B  0.01 0.5 t  2 t  1
S a
2

30º
Y
60º
a
30º
Puesto que el campo magnético depende del tiempo, el
flujo a través de la superficie también depende del tiempo.
2

B

Y
60º
X
a
a
t   0.01· 0.5 t 2  2 t  1  0.162  cos 30º


t   22.17·103 · 0.5 t 2  2 t  1 T·m2 (Wb)
b) Fuerza electromotriz cuando t = 10 s.
La fem inducida en la espira es igual a la variación del flujo magnético con el tiempo,
y dicha variación se opone a la causa que la produce (ley de Faraday).
 
d t 
 22.17·103  t  2
dt
 t 10  22.17·10 3  10  2   2.66·10 3 V  2.66 mV
4
PROBLEMA
Una espira conductora de forma cuadrada y lado a = 16 cm está colocada sobre el plano XY
Z
en una zona donde hay un campo magnético orientado según se indica en la figura. El
módulo del campo cambia según B = 0.01·(0.5 t2 + 2 t + 1), donde t es el tiempo expresado
en segundos, y el campo B se mide en tesla.
X
a) Calcular el flujo magnético en la espira en función del tiempo
a
b) Calcular la fuerza electromotriz inducida en la espira cuando t = 10 s.
c) Indicar, mediante un dibujo, el sentido de la corriente inducida en la espira. Razónese la respuesta.
c) Sentido de la corriente inducida.
De acuerdo con el sentido asignado al vector superficie,
nuestra referencia para sentido positivo es el recorrido
de la espira en sentido antihorario.
X
A medida que crece el tiempo, el valor absoluto del
campo magnético se incrementa y la fem se hace más
negativa debido al signo menos de la ley de Faraday:
esto implica que la fem inducida, y por lo tanto la corriente
inducida que dicha fem origine, son de sentido horario.
Z

S

B
30º
Y
60º
a

B
30º
Y
60º
a
a
Corriente
inducida
Sentido positivo de
acuerdo con la
elección realizada
para el vector
superficie.
c) Razonamiento alternativo:
A medida que pasa el tiempo, el flujo magnético crece debido a que el campo
magnético B (orientado hacia arriba) está creciendo: la forma de oponerse al
crecimiento del flujo es oponerse al crecimiento del campo, y esto implica que la
corriente inducida debe ser de sentido horario, pues tal sentido de corriente lleva
asociado un campo magnético orientado hacia abajo.
5
PROBLEMA
Una bobina plana de 200 espiras y radio 7.98 cm se coloca perpendicularmente a las líneas de fuerza de un
campo magnético uniforme de 0.80 T de intensidad. Calcula la f.e.m inducida en la bobina en cada uno de los
casos siguientes. (a) El campo disminuye a ritmo constante y se anula al cabo de 0.20 s. (b) Mientras el campo
magnético se mantiene constante, la bobina gira con velocidad angular constante describiendo un ángulo de 90º
en 0.20 s. (c) Mientras el campo magnético se mantiene constante, la bobina gira con velocidad angular
constante describiendo un ángulo de 180º en 0.20 s. (d) Hacer la gráfica del flujo y de la f.e.m. para una rotación
completa en función de la velocidad angular.
Explicar también en cada caso cuál sería el sentido de la corriente inducida si se cerrase el circuito.
(a) Para determinar la fem inducida aplicaremos la ley de Faraday: hay que calcular la variación de flujo
total a través la bobina, para lo que tendremos en cuenta el número de espiras N, su sección S y la tasa de
variación del campo magnético dB/dt.
r  8 cm  S   r 2  2·10 2 m 2
 
d
d B·S
d B·S 
dB
0  0.80
N
N
 NS
 200·2·10  2
 16 T/ m 2s  16 Wb/s  16 V
N  200 espiras
dt
dt
dt
dt
0.20
 
 
fem  
1
16 V
i
2
i

S
24
22
20
18
16
fem (V)

B
Puesto que el campo exterior se va
debilitando, la corriente inducida
ha de tener tal sentido que
refuerce ese campo externo: el
sentido será el que se indica en el
esquema.
d
  16   16 V
dt
14
12
10
8
Véase que la fem inducida en este caso
Nota. La referencia a cerrar el
6
circuito del enunciado se refiere
4
(a) es constante en el tiempo mientras
2
conectar los puntos 1 y 2 mediante
dura la disminución del campo B
0
un conductor que permita el paso
0,00
de la corriente. Esto es imprescindible para que la f.e.m. inducida ocasione el paso de corriente.
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
t (s)
0,12
0,14
6
0,16
0,18
0,20
PROBLEMA (Continuación)
(b) Para determinar ahora la fem inducida aplicaremos también la ley de Faraday, pero en este caso la
variación de flujo total a través la bobina depende de la velocidad angular con la que gira esa bobina dentro
del campo.
 
Ángulo entre  

d

d
B
·S 
d B·S·cos  
d cos t 
B
y
S
Como la velocidad
los vectores
N
N
 N ·B·S·
  N ·B·S· sin t
dt
dt
dt
dt
angular es constante
(describe 90º =
rad en 0.20 s)

 /2
0.20
 t
𝜋
2
Ahora el campo magnético se mantiene constante y la velocidad angular también,
pero el flujo ya no es constante en el tiempo porque depende del seno del ángulo que
forma en cada momento el vector superficie con la dirección del campo. Este seno
aparece porque hemos derivado el coseno que interviene en el producto escalar.
 2.5 rad/s
d
  N ·B·S· sin t  200 · 0.80 · 2 ·10  2 · 2.5 sin 2.5 t    25.1sin 2.5 t  Wb/s
dt
La discusión del sentido de la corriente
inducida es similar al caso anterior: a
medida que gira la bobina, la componente
del campo B paralela al vector S se
reduce, así que para mantener el flujo debe
inducirse una corriente entrando por 1 y
saliendo por 2 (regla de la mano derecha).
30
28
26
24
22
20
fem (V)
18
16
14
12
10
8
6
2
0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
t (s)

B
1
2

S
fem  25.1sin 2.5 t V

S
2
i

B
i
 t

B
i
giro
1
i
Situación inicial t = 0
d
  25.1sin 2.5 t 
dt

S
2
4
i
fem  
1 i
Situación para un tiempo intermedio t
Situación final t = 0.20
7 s
PROBLEMA (Continuación)
(c) Ahora la bobina gira dentro del campo magnético uniforme un ángulo de 180º invirtiendo para ello el
mismo tiempo. Eso quiere decir que su velocidad angular será mayor que en el apartado (b), concretamente
el doble.

   t

S
 5 rad/s
Velocidad angular constante (describe 180º = 𝜋 rad en 0.20 s)   
0.20
 
2

d
d B·S
d B·S·cos  
d cos  t 
N
N
 N ·B·S·
  N ·B·S·  sin  t
dt
dt
dt
dt
   t
60
55
50
45
40
fem (V)
35
30
25
20
15
10
5
0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
t (s)
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
fem  50.3 sin 5 t V
La misma discusión del sentido de
la corriente inducida realizado en b)
sigue siendo válida: a medida que
gira la bobina, la componente del
campo B paralela al vector S se
reduce. Además, obsérvese que aún
cuando el ángulo del eje de la
bobina y el campo magnético adopte
valores entre 90º y 180º, la fem,
cuyo signo depende del signo de la
función seno, sigue siendo positiva.
Esto implica que la corriente
inducida entra por 1 y sale por 2
(regla de la mano derecha).

B
giro
d
  N ·B·S·  sin  t  200 · 0.80 · 2 ·10  2 · 5 sin 5 t    50.3 sin 5 t  Wb/s
dt
d
fem  
  50.3 sin 5 t 
dt
i
1 i
Situación para un tiempo intermedio t

S
2
i
i
1

B
Situación final t = 0.20 s
8
PROBLEMA (Continuación)
(d) Representamos el flujo magnético y la fem en función del tiempo en un intervalo de un periodo T 
  N ·B·S·cos  t

S
t

2
t 0

B
1
2
d
 N ·B·S· sin  t 
dt

1
3
t
2
2
fem  
2

B

B
1
2
t 
2
1

S

S

B

S
 t  2
1

B
2

S
NBS
f.e.m.
N·B·S
flujo
La variación del flujo es la
pendiente de esta gráfica
La fem es esta gráfica
-N·B·S
-NBS
Variación flujo < 0
f.e.m. > 0
t=0
Variación flujo > 0
f.e.m. < 0
tiempo 
t=T
9