Download UNIDAD 1 Archivo - Facultad Regional Reconquista

Universidad Tecnológica Nacional
Regional Reconquista
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Clase Trabajo Práctico
Unidad Temática 1: FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES
1. Esquematizar las superficies:
a) y2- 4x =0; y ≥O
b)
x z
+ =1
3 2
c) z2 – y2 = 1; z ≥O; y ≥0
2. Las superficies anteriores son interceptadas respectivamente por los planos:
a) z = 2
b) y = 3
c) x = 4
Escribir la ecuación (función vectorial) de la línea que resulta.
3. Escribir la ecuación paramétrica y vectorial de:
a) La circunferencia de radio 3 y centro p (0; 0; 4) cuyo plano es
perpendicular al eje "z”; de dos formas distintas.
b) De la elipse:
x2
z2
+
=1
4
9
;y=3
c) De la recta de orientación (-2; 3; 4) que pasa por (1;-2; 3). Calcular además
su versor en este caso.
4. Trate de dibujar a mano la curva de intersección del cilindro parabólico y= x2 y
la mitad superior del elipsoide x2+ 4y2 + 4z2= 16. Encuentre las ecuaciones
paramétricas de esta curva, utilizando como parámetro x = t y utilice si es
posible esas ecuaciones y un software para graficar la curva. (Sugerencia :
puede realizarlo en el taller de informática)
5. Escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto p (2; 4; 5) y es
perpendicular al plano 3x+7y-5z=21
6. Dada la curva: r( t) = (t2 - 2) i - 2 e-tj + 3tk
a) Escribir su ecuación cartesiana paramétrica.
b) Decir si los siguientes puntos pertenecen o no a ella.
p1 (-2;-2;5)
p3 (-2;6;0)
p2 (-2;-2;0)
p4 (-1;-2/e;3)
c) Si r (t) es una trayectoria; hallar su velocidad y aceleración vectoriales en
(-2;-2;0).
7. Encontrar el vector velocidad de las siguientes curvas:
a) (et; cost; sent)
c) (sen2t; ln (1+t); t)
b) (cost; sent)
d) (cos3t; sen3t).
En los ítems b) Y d) demostrar que el vector velocidad es perpendicular al
vector posición.
8. Una partícula en movimiento comienza en una posición inicial r (0) = (1; 0; 0)
con una velocidad inicial v(0) = i - j + k. Su aceleración es a (t) = 4ti + 6tj +
k. Encuentre su velocidad y posición en un tiempo t.
9. ¿Qué fuerza se necesita para que una partícula de masa m tenga la función de
posición r(t) = t3i + t2j + t3k ?
10. Demostrar mediante la derivada vectorial y utilizando el producto escalar, que
en una circunferencia el radio es perpendicular' a la tangente.
11. Hallar el vector tangente y su versor a la hélice:
r(t) = 2 costi + 2 sentj + 4tk; en t= π / 4.
12. Si r es el vector posición de una partícula en el espacio en el instante t>O.
a) r = (2 t3 +3) i + (In t) j + 3 k.
b) r = (sen t) i + (cos t) j + t k.
I) Hallar el o los instantes en que los vectores velocidad y aceleración son
perpendiculares.
II) Determinar en cada caso el ángulo entre los vectores velocidad y
aceleración.
13. Un cohete sale del punto (1;-2;·) en el instante t=0 y se desplaza a rapidez
constante de una unidad en línea recta hacia el punto (3; 0; 0) .Hallar como
funciones de t:
a) El vector de posición r (t)
b) La velocidad v.
c) El vector tangente unitario T.
d) La aceleración a:
e) La curvatura K.
14. Encontrar la longitud de las curvas definidas por:
a) r(t) = (cos4t; sen4t; t) entre t=O ; t= π /8
b) r(t)= (t-sent; 1-cost) entre t=0 ; t= 2 π
15. Si r (t) = (cost + tsent)i+(sent-tcost)j +3k describe una curva en el espacio
para t ≥0
a) Hallar T; K; N y B
b) Escribir las ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto
( π / 2 ; 1; 3)
16. Encontrar el radio de curvatura de:
a) La parábola: y = x2
b) La elipse: r(t) = (acost; bsent)
17. Investigación
Consideremos la función vectorial
r(t) = t costi + π tj + sen π t:;
0 ≤t ≤2
a) Representar la función con ayuda del software Mathematicas
b) Calcular la longitud del arco del apartado a)
c) Expresar la curvatura k en función de t. Calcular k cuando t es 0; 1 y 2.