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CLASE 04: POTENCIAS DE BASE POSITIVA Y EXPONENTE ENTERO.
Luisa te pide que le calcules cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para calcularlo
dibujaremos su árbol genealógico:
Padres
Abuelos
Bisabuelos
Tatarabuelos
Operación
2 = 21
2·2 = 22
2·2·2 = 23
2·2·2·2 = 24
Resultado
2
4
8
16
En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en
lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.
24 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".
52 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado".
43 se lee "4 elevado a 3" o también "4 elevado al cubo".
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que
multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.
En la potencia 24, la base es 2 y el exponente es 4
Algunas potencias especiales
Cuadrados perfectos
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos bastante y no
estaría demás memorizarlos.
Aquí están los cuadrados de los primeros 15 números naturales.
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Cuadrado
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
Potencias de base 10 y exponente positivo
Las potencias en base 10 son muy fáciles de calcular. Así:
102 = 100; 104 = 10.000; 107 = 10.000.000; 1011 = 100.000.000.000
El resultado de la potencia 10n es igual a la unidad seguida de n ceros.
Potencias de exponente negativo
Si n es un número natural se define
a-n = 1 / an
(a/b)-n = (b/a)n
Calculemos las siguientes potencias: 3-5, 5-3, (3/4)-2, (2/5)-3
3-5 = 1 / 35 = 1/243
5-3 = 1 / 53 = 1 / 125
(3/4)-2 = (4/3)2 = 16/9
(2/5)-3 = (5/2)3 = 125/8
Potencias de base 10 y exponente negativo
Las potencias de base 10 y exponente negativo son fáciles de calcular. Así por ejemplo,
10-2 = 1 / 102 = 1 / 100 = 0,01
10-3 = 1 / 103 = 1 / 1000 = 0,001
10-5 = 1 / 105 = 1 / 10000 = 0,00001
Producto de potencias de igual base
Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 · 45 hacemos el siguiente
razonamiento:
43 = 4 · 4 · 4 y 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4, luego 43 · 45 = (4 · 4 · 4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) = 48 = 43+5
En general:
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente
es la suma de los exponentes de los factores
am · an = am+n
La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos
como negativos.
División de potencias de igual base
De manera similar al producto, se puede deducir la siguiente regla general que es válida tanto para
exponentes positivos como negativos:
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente
es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.
am : an = am-n
Por ejemplo,
45 : 43 = (4 · 4 · 4 · 4 · 4) : (4 · 4 · 4) = 42 = 45-3