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Dos segmentos iguales y en ángulo recto Partiendo de un triángulo cualquiera de vértices ABC, tomamos dos de sus lados, AB y AC por ejemplo, y dibujamos cuadrados apoyados en ellos. Llamamos I y J a los centros de los dos cuadrados y H al punto medio del lado del triángulo donde no hemos apoyado ningún cuadrado (el BC en este caso). El desafío de esta semana consiste en demostrar que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud y que además forman un ángulo de 90º.. Y (c1- c2, c1+c2) (-c2,c1) I ((c1- c2)/2, (c1+c2)/2) C (c1,c2) O H ((b1+ c1)/2, c2/2) A (0,0) B (b1,0) X J (b1,/2, -b1/2) Las mediatrices (azules) del triángulo HIJ se cortan en el circuncentro O, que al situarse en el centro del segmento IJ implica que se trata de un triángulo rectángulo La bisectriz del ángulo IHJ coincide con la mediatriz luego se trata de un triángulo isósceles (0,-b1) (-b1,-b1) HI = ( - (b1+ c2)/2 , c1 /2) HJ = (-c1 /2, - (b1+ c2)/2) HI y HJ son dos vectores con el mismo módulo y perpendiculares Figura 1 Figura 2 Solución 1 (propiedades de triángulos) Consideremos la figura 1 en la que trazamos el segmento IJ para construir un triángulo HIJ, después pintamos las mediatrices (líneas azules perpendiculares a los lados por sus puntos medios) del triángulo HIJ que se cortan en el circuncentro O (centro de la circunferencia circunscrita), como este se sitúa en el centro del segmento IJ implica que se trata de un triángulo rectángulo, pues lo es si su circuncentro está en el centro de la hipotenusa. Luego el ángulo IHJ mide 90o Si ahora trazamos la bisectriz del ángulo IHJ vemos que coincide con la mediatriz, es decir pasa por el centro del lado opuesto, luego se trata de un triángulo isósceles, es decir los dos catetos HI y HJ son iguales. Solución 2 (vectores) Para ello vamos a voltear la figura situando el segmento AB en el eje de accisas, siendo el punto A (0,0) el eje de coordenadas y notamos a los puntos B (0,b 1) y C (c1, c2). De aquí podemos ir deduciendo el resto de los puntos (ver figura 2): H ((b1+ c1)/2, c2/2) I ((c1- c2)/2, (c1+c2)/2) De donde tenemos los vectores J (b1,/2, -b1/2) HI = (- (b1+ c2)/2 , c1 / 2) HJ = (-c1 /2, - (b1+c2)/2) HI y HJ son dos vectores con el mismo módulo (√(u12 + u22) = √(v12 + v22) y perpendiculares, pues su producto escalar es cero (u1 v1 + u2 v2 = 0)
