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EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
En Educación Básica aprendimos a trabajar con las fracciones, ya sea en su significado como en
su operatoria. Ahora nos corresponde establecer su equivalencia con las fracciones en forma
algebraica. Veamos.
2
a
podemos expresarla en forma algebraica como
, considerando a = 2. No es la
5
a3
a 3
única forma ya que también podría haberse expresado como la fracción
considerando a = 5.
a
Y así hay otras posibilidades.
La fracción
Lo mismo para cuando teníamos que sumar, por ejemplo,
1 4
 , que puede corresponder a la
4 5
1
a

. En ambos casos la forma de operar es la misma.
a a 1
Un cuidado especial debemos tener cuando trabajamos con las fracciones algebraicas ya que no
a2
siempre están definidas para todos los valores. Por ejemplo, la fracción
no está definida
a 3
5
cuando a = 3, ya que corresponde a la fracción
y sabemos que no se puede efectuar la división
0
por 0.
suma algebraica
Veamos a continuación la forma de operar con las fracciones algebraicas:
Adicion y Sustracción de Fracciones Algebraicas
Se procede de igual manera que con las fracciones aritméticas , es decir, si los denominadores son
iguales se conserva el denominador y se suman (o restan) los numeradores. Si los denominadores
son distintos, se debe trabajar con el mínimo común múltiplo. En este último caso se debe estar
muy atento a las posibles factorizaciones que se pueden hacer, ya que ello permitirá simplificar el
ejercicio.
Veamos algunos ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2a  3b a  b 3a  2b


ab
ab
ab
5a  2b a  6b 4a  8b


a 1
a 1
a 1
2a
a  2 2a  3  a  a  2 2a  1
1


3 a
3 a
3 a
3 a
1 1 1 bc  ac  ab
  
a b c
abc
a  1 2a  1 3a  5 6a  6  4a  2  9a  15 a  19




2
6
4
12
12
m  2 3m  1 5m  10  6m  2 11m  12



2m
5m
10 m
10 m
7.
8.
9.
x  6 2 x  5 3x  18  4 x  10  x  8



8x
12 x
24 x
24 x
1( x  5)  2( x  3)  1( x  1) x  5  2 x  6  x  1
1
2
x 1
2x





x  3 x  5 x 2  2 x  15
( x  3)( x  5)
( x  3)( x  5)
( x  3)( x  5)
6( x  1) x  1
6( x  1)
x( x  3)  6( x  1) x 2  3x  6 x  6
x 1
x
x
x 2  9x  6

 2






x  3 x  3 x  9 x  3 x  3 ( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas
El procedimiento es el mismo aprendido con las fracciones aritméticas, o sea, al multiplicar fracciones se debe
multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Para la división es conveniente utilizar
el procedimiento de multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.
No debemos olvidar, antes de operar, de factorizar y simplificar cuando sea posible.
Ejemplos:
1.
2.
x2 3
3x  6

 2
2x x 1 2x  2x
3x  3 4( x  1) 3( x  1) 4( x  1) x  1 2 2 x  2




 
2x  2
9
2( x  1)
9
1 3
3
x
2x
x ( x  1)( x  1)
: 2


 x 1
x  1 x 1 x  1
x
EJERCICIOS
1. La fracción
a)
7
expresada algebraicamente corresponde a:
5
a
a2
b)
a 5
a7
2. ¿Qué valor toma la expresión
a)
5
4
b)
c)
a2
a2
d)
a 3
a2
e)
a2
a
d)
3
5
e)
1
5
2n
para n = -5?
3n  7
5
4
c)
5
11
3. La expresión 2n – 1 representa siempre a los números:
a) Pares
4. La fracción
a)
5. Si
b) Impares
c) Primos
d) Racionales
e) Dígitos
2n  5
no está definida para n =
3n  2
5
2
b)
2
3
c)
5
2
3
2
e)
2
3
d) -3
e)
1
8
d) 2n
e) –2 - n
d) -b
e) 0
d) 2a
e) 2b
d)
n 1
 0 , entonces el valor de n es:
2n  6
a) 0
b) 1
c) 3
6. El valor de  12n , siendo n un número natural, es:
a) -1
b) 1
7. ¿Para qué valor de x la expresión
a) a
b) b
8. ¿Cuál es el valor de
a) 0
9. Si en la fracción
c) –2n
xa
es 0?
x b
c) -a
ab ab

, sabiendo que b0?
b
b
b) 1
c) 2
a
, a se duplica y b se hace la mitad, ¿qué cambio se produce en el valor
b
de la fracción?
a) Queda igual
b) Se duplica
c) Se cuadruplica
d) Se reduce a
la mitad
e) Se reduce a
la cuarta parte
10. ¿Para qué valor de m, la ecuación m(x-1) = 3(x-2) no tiene solución?
a) 0
b) 3
c) 6
d) -3
e) -6
ALTERNATIVAS
1.
Alternativa A: Incorrecta. Si el numerador de la fracción es 7, entonces a = 7, y el denominador es
a+2, o sea 9. Resulta la fracción 7/9.
Alternativa B. Incorrecta. Para que el numerador sea 7, a debe valer 12. Esto implica que a+7 es
19, resultando la fracción 7/19.
Alternativa C. Incorrecta. Si a+2 es 7, entonces a = 5. Por lo tanto, a-2 es 3, lo que da la fracción
7/3.
Alternativa D: Incorrecta. Si a+3 = 7, entonces a = 4. Esto implica que a+2 es 6, resultando 7/6.
a2
Alternativa E: CORRECTA. Para que a+2 sea 7, a debe valer 5. Luego la fracción
es 7/5.
a
2.
10
10 10 5



 15  7  8
8 4
10
10
5


Alternativa B. Incorrecta. Se comete el error de concluir que
8
8
4
Alternativa C. Incorrecta. Error de operación con los números enteros, lleva a la fracción
10 10 5


 22 22 11
Alternativa D: Incorrecta. Se reemplaza n, pero no como producto, si no como adición, lo que da la
fracción –3/5.
Alternativa E: Incorrecta. Un error de operación y luego de signos lleva a esta fracción.
Alternativa A: CORRECTA. Al reemplazar n, se obtiene
3.
Alternativa A: Incorrecta. Al reemplazar n por un número entero cualquiera, siempre resulta un
número impar.
Alternativa B. CORRECTA. Para todo valor entero de n, la expresión resulta un número impar.
Alternativa C. Incorrecta. Basta tener un valor para comprobar que la expresión no es un número
primo. Por ejemplo, n = 5.
Alternativa D: Incorrecta. Representa sólo a algunos valores racionales, no a todos.
Alternativa E: Incorrecta. Los dígitos son los números enteros desde 0 a 9.Si n = 6, obtenemos que
2n-1 es 11, que no es un dígito.
4.
Alternativa A: Incorrecta. Se considera que una fracción no está definida si 2n + 5 = 0, de donde se
obtiene que n = -5/2
Alternativa B. CORRECTA. Una fracción no está definida si su denominador es 0. Luego 3n – 2 =
0, de donde n = 2/3.
Alternativa C. Incorrecta. Se plantea que 2n + 5 = 0 y al despejar incorrectamente se obtiene n 0
5/2.
Alternativa D: Incorrecta. Al no comprenderse la pregunta, se opta por simplificar n, lo que no es
correcto, obteniéndose 7.
Alternativa E: Incorrecta. Se plantea que 3n-2 = 0, pero se despeja en forma equivocada y resulta n
= -2/3.
5.
Alternativa A: CORRECTA. Una fracción vale 0 si su numerador es 0. Luego n-1 = 0, siendo n = 1,
considerando a n distinto de –3.
Alternativa B. Incorrecta. Como la fracción es igual a 0, se comete el error de pensar que, para que
eso sea cierto, n debe ser 0.
Alternativa C. Incorrecta. Se despeja en forma equivocada, planteando que n-1 = -2n – 6, de donde
n = -5/3.
Alternativa D: Incorrecta. Se supone 2n + 6 = 0, donde resulta que n = -3.
Alternativa E: Incorrecta. Se suman términos que no son semejantes, lo que lleva a este resultado.
6.
Alternativa A: Incorrecta. No se considera que 2n representa un número par y que su potencia es
siempre positiva.
Alternativa B. CORRECTA. Como 2n representa un número par, el resultado es 1 y siempre
positivo.
Alternativa C. Incorrecta. Al no dominarse el concepto de potencia se multiplica –1 por 2n,
obteniéndose –2n.
Alternativa D: Incorrecta. Se sabe que todo número elevado a un par es positivo, pero luego se
efectúa incorrectamente la elevación.
Alternativa E: Incorrecta. Se multiplica –1 por 2 y por n, indicando poco dominio del concepto de
potencia.
7.
Alternativa A: Incorrecta. Si x = a, la expresión es distinta de cero, es
2a
a b
Alternativa B. Incorrecta. Al ser x = b, la expresión no está definida.
0
 0 , con x distinto de b.
Alternativa C. CORRECTA. Si x = -a, entonces
x b
b  a
Alternativa D:. Incorrecta. La expresión es distinta de cero, es
.
 2b
a
Alternativa E: Incorrecta. Al considerarse x = 0, la expresión resulta
b
8.
Alternativa A: Incorrecta. Se resta en forma incorrecta, resultando una fracción de denominador 0.
Alternativa B. Incorrecta. Se resta sin efectuar el cambio de signo correspondiente.
a  b  a  b 2b

2
Alternativa C. CORRECTA. Se resuelve la resta, lo que da
b
b
Alternativa D: Incorrecta. Error algebraico que lleva a obtener que el valor de la fracción es 2a.
Alternativa E: Incorrecta. Se resuelve como si fuese una ecuación fraccionaria. Entonces a+ba+b=2b
9.
Alternativa A: Incorrecta. Al simplificar por 2, cuando no corresponde, lleva a inclinarse por esta
alternativa.
Alternativa B. Incorrecta. Al plantear en forma equivocada se llega a esta opción.
2b 4a
Alternativa C. CORRECTA. Al aplicar el enunciado resulta
, o sea, la fracción original se

b
b
2
cuadruplica.
Alternativa D: Incorrecta. Al plantear en forma errada se llega a esta alternativa.
a
Alternativa E: Incorrecta. Al operar con las fracciones en forma equivocada se obtiene
4b
10.
Alternativa A: Incorrecta. Se marca esta alternativa al recordar que una expresión no tiene solución
si está dividida por 0.
Alternativa B. CORRECTA. Se resuelve la ecuación planteada, donde se obtiene que
mx – m = 3x – 6
6 – m = 3x – mx
6 – m = x(3 – m)
6m
x=
3 m
La ecuación no tiene solución para m = 3.
6m
, se comete el error de igualar 6-m a 0.
3 m
Alternativa D: Incorrecta. Se determina x y luego se comete un error algebraico que lleva a obtener
que m = -3.
Alternativa E: Incorrecta. Se determina x y luego se comete un error algebraico que lleva a obtener
que m = -6.
Alternativa C. Incorrecta. Al determinar x =