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Álgebra y Geometría Analítica.
Prof.: Gisela Saslavsky
Guía de Estudios 2: Matrices y ecuaciones lineales.
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 1  1


A

2
0


1) Sean
3 2 


 1 1 


B  5 1 
 2 1


a) Escribir los vectores fila y los vectores columna de ambas matrices.
b) Hallar A+B,
2
B, At+Bt, (A+B)t
5
c) Hallar -2B , At-Bt, (A-B)t
1 1
1 1
2) Sean A
2 1 
 B
 0 3
hallar a) A.B, B.A, 3A2, (3A)2 b) (A+B)2, A2+2A.B +B2




3) Sean A y B matrices de m x n, demostrar que a) (A+B)t=At + Bt, y b) que si k es un número, (kA)t = k At.
 2 1


 1  1

A    2 1 , B  
0 2 
 1 3


4) Sean
calcular A.B , Bt.At,(A.B)t
5) Demostrar que (A.B)t= Bt.At para A y B matrices cuadradas de orden 2
6) Demostrar que
a) para cualquier matriz cuadrada A, la matriz A +At es simétrica.
b) para cualquier matriz cuadrada A, la matriz A – At es antisimétrica.
c) toda matriz cuadrada puede escribirse como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica
1
1
A  ( A  At )  ( A  At )
2
2
(Sugerencia:
)
−2
7) Sea 𝐻 =
0
1
(
3
7
4
15
12
17
1
8
21
, hallar una matriz S simétrica y una matriz A antisimétrica tales que H = S + A
)
2 1 1
8) Hallar (AB)C y A(BC) siendo A
3 1 2



1 1 


B  2 0 
 3  1


 1
C   
 3 . ¿Es asociativo el
producto de matrices?
1 2
2 0


B

9) Sean A
3 1
1 1
 Calcular AB y BA. ¿Qué puedes afirmar sobre la




conmutatividad del producto de matrices?
7 0
10) Sea C
0 7



Hallar CA, AC, CB, BC
¿Es posible demostrar una ley general que incluya estos resultados como casos particulares? Si es posible, hazlo.
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11) Una compañía posee cinco almacenes de llantas. El inventario de las llantas en el almacén S1 se da por
MARCAS: XX
YY
ZZ
𝐿𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠𝑇𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠 100
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
80
𝐷𝑒𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜𝑇𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎𝑑𝑜 200
𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
100
50
40
20
50
60
20
100 100
Los almacenes S2 y S3 tienen cada uno 3 veces el número de llantas que S1; el almacén S4 tiene la mitad de
las llantas que tiene el almacén S1; y el almacén S5 tiene el doble del número de llantas que tiene S1. Hallar
la matriz que muestra el inventario total de llantas de la compañía.
12) Un empresario estadounidense necesita cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos
alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajó 3 veces. La primera vez necesitó un total de $2.550
con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0,6 libras por dólar y 1,6 marcos por dólar. La
segunda vez necesitó $2.840 en total con tasas de 125 yenes, 0,5 libras y 1,2 marcos por dólar. La tercera
vez necesitó un total de $2.800 a 100 yenes, 0,6 libras y 1,2 marcos por dólar. Usar la multiplicación
matricial para determinar cuál es la cantidad fija de yenes, marcos y libras que cambia en los viajes.
6 9
−2 1
−3 3
1 1
);𝐵 = (
);𝐶 = (
);𝐷 = (
)
4 6
3 2
2 −2
1 2
a) Verifica que A.B es la matriz nula. Indica si es verdadera o falsa la ley del producto nulo para la
multiplicación de matrices:
𝐴. 𝐵 = 𝟎 → 𝐴 = 𝟎 𝑜 𝐵 = 𝟎
b) Calcula A.C y A.D. Indica si es verdadera o falsa la ley cancelativa para la multiplicación de matrices:
𝐴. 𝐶 = 𝐴. 𝐷 → 𝐶 = 𝐷
13) Considerar las matrices 𝐴 = (
14) ¿Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede no tener solución? Como ejemplo
resuelve la siguiente situación:
Una fábrica de cerámica produce tazas y platos. Por cada taza o plato un obrero mide una cantidad de material
y la pone en una máquina moldeadora, de donde cada pieza sale automáticamente barnizada y seca. Se ha
determinado que, en promedio, un obrero tarda 3 minutos para completar su parte de proceso por cada taza y
2 minutos por cada plato. Calcule cuántas tazas y cuántos platos se producen diariamente (considere 8 horas de
trabajo efectivo por obrero) suponiendo que:
a) el material de cada taza sale $0.25, el de cada plato $0.20 y se dispone de $44 diarios para gasto de
material
b) el material de cada taza sale $0.15, el de cada plato $0.10 y se dispone de $34 diarios para gasto de
material
c) el material de cada taza sale $0.15, el de cada plato $0.10 y se dispone de $24 diarios para gasto de
material
15) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede interpretarse geométricamente
considerando que las incógnitas son las coordenadas de los puntos que están en los lugares geométricos
definidos por cada ecuación. Para cada par de rectas siguiente indicar cómo se interpreta el sistema de
ecuaciones y qué tipo de soluciones puede obtenerse. Resuelve gráficamente cada situación:
a) x – 3y = 4 ; -4x + 2y = 6
b) 2x – 8y = 5 ; -3x + 12y = 8
c) 4x – 6y = 1 ; -2x + 3y = 1/2
16) A es una matriz escalonada equivalente a la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Llévala a
su forma reducida y escribe la solución de dicho sistema
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


A



1
5
4
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
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 7  5

7
3 
4
2 

0
0 
17) Aplicando el proceso de Reducción por filas a cada uno de los sistemas siguientes, determinar la solución
general, si existe. Verificar en cada caso el Teorema de Rouché-Fröbenius.
a) x + y + 3z = 5; 2x – y + 4z = 11; -y + z = 3
b) 3x + 2y + z =1; 5x +3 y + 3z = 2; x + y – z = 1
c) 3x + 2y+ z = 1; 5x +3y + 3z = 2; 7x + 4y + 5z = 3
d) x + y + 3z = 5; 2x – y + 4z = 11; -3x – 2y = -2 ; -y + z = 3
e) x + y –3z + u = 5; -2x – 2y + 6z – 6u = 6; 2x – y + z – 2u = 2; 7x + y – 7z + 3u = 3
f) 3x + 2y + z = 1; 5x + 3y+ 3z = 2; 7x + 4y + 5z = 3; x + y – z = 0
g) 3x – 2y + 5z + u = 1; x + y – 3z + 2u = 2; 6x + y – 4z + 3u = 7
h) x + y –3z + u = 5; 2x – y + z – 2u = 2; 7x + y – 7z + 3u = 3
i) x +y + 2z +3u +4v =0; 2x+2y+7z + 11u + 14v =0; 3x +3y +6z +10u +15v = 0
j) x –2y +z +2u=-2; 2x +3y –z –5u=9; 4x –y +z –5u =9; 4x –y +z –u =5; 5x –3y +2z +u =3
a b 
 es no singular si y solo si ad-bc  0, en cuyo caso su inversa es
18) Demostrar que 
c d
b

1 d 




c a
(
ad

bc
)

19) Encontrar, si es posible, la expresión para calcular la matriz X y resolver:
a) X . A  2 B  C ,
 1  1
 0 1
1 0 
, B  
, C  

A  
2 2 
 1 1
 3  1
b) A. X .B  B  A,
 1 1
 2 1
, B  

A  
  1 1
 0 1
c) A. X  X . At  I ,
 2 1

A  
  1 0
20) Decidir si es V o F y justificar:
a) (A + B).(A - B) = A2 – B2, siendo A y B matrices cuadradas de orden n.
b) Si una matriz cuadrada tiene dos columnas proporcionales, entonces es singular.
c) Sean A matriz de tamaño m x r y B matriz de tamaño r x m. Si A tiene una fila de ceros, entonces A.B
tiene una fila de ceros.
d) Sea A matriz cuadrada con una hilera de ceros. Entonces A es singular.
e) Sea A matriz cuadrada. Entonces A.At es simétrica.