Download UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 1 La Potenciación

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Tel.: 958-5804
Nombre del Alumno: _________________________________________________ Grupo: 10º ______
Sección:  Bachiller Industrial  Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: ________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 1
La Potenciación
1.1 OBJETIVOS
 Utilizar el lenguaje algebraico como una herramienta generalizada de la aritmética en la
solución de problemas.

Aplicar las leyes de la potenciación.

Resolver problemas de potenciación, usando las propiedades.
1.2 INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de esta unidad vamos a continuar con el estudio de dos operaciones que son
inversas entre sí: la Potenciación y la Radicación. Avanzaremos en la resolución de las operaciones
con diferentes clases de números y aplicaremos sus propiedades para resolver distintos problemas.
1.3 POTENCIACIÓN
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base
exponente . Se escribe
y
, y se lee: “ elevado a ene”.
Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo
varias veces: el exponente determina la cantidad de veces. Así, a n  a  a   a
Por

n
ejemplos: 2  2  2  2  2  16 y 3  3  3  3  9
Cuando el exponente es un número negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero
1
1
1
n
Por ejemplos: 5  2  2 y 2  3  3 .
con exponente positivo a  a n
5
2
n
Cuando el exponente es una fracción irreducible, de la forma m , equivale a una raíz, así:
4


a
n
m
 a
m
n
2
2
3
Por ejemplos: 81  81
3
2
3
5
y 10  5 10 3 .
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista (profa.xenia@hotmail.com) I. P. T. Veraguas, 2014
1

Cuando el exponente es cero, la potencia equivale a uno, excepto el caso particular de 0 0
que es una indeterminación matemática.
Entonces, una potencia es un producto de factores iguales, y está formada por la base (el factor
igual que se repite) y el exponente (que es el número de veces que se repite o multiplica el factor).
1.3.1 NOTACIÓN
La potenciación es la operación que se
desarrolla para encontrar una potencia de
un número o de una expresión algebraica.
Al obtener la potencia de un número o de una expresión algebraica, debemos tomar en cuenta la ley
de los signos, y también recordar que existen potencias con bases positivas y con bases negativas,
las cuales se presentan en dos casos:
1. Si la base es positiva, la potencia es positiva, sin importar cual fuese el exponente.
2. Si la base es negativa y el exponente es un número par, la potencia es positiva  a   a n ,
n
pero si el exponente es un número impar, la potencia es negativa  a    a n .
n
Ejemplos: 1) Calcular 3 4
Solución: el exponente es par y la base es positiva, entonces: 34  3  3  3  3  81 el resultado es
positivo.
2) Calcular  5
2
Solución: el exponente es par y la base es negativa, entonces:  5   5  5  25 , el
2
resultado es positivo.
3) Calcular  2 
3
Solución: el exponente es impar y la base es negativa, entonces:  2   2  2  2   8 , el
3
resultado es negativo.
1.3.2 LECTURA
En el ejemplo: 5 4  5  5  5  5  625 el exponente es 4 y 5 es la base. Y se puede leer de dos
formas: “cinco elevado a cuatro” ó “cinco elevado a la cuarta”.
En el ejemplo: 2 6  64 el exponente es 6 y 2 es la base. Y se puede leer de dos formas: “dos
elevado a seis” ó “dos elevado a la sexta”.
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2
PRÁCTICA Nº 1
I. Resuelva las siguientes potencias:
1) 6 3
2) 9 3
3) 7 2
4) 5 2
5) 8 3
7) 3 2
8) 10 2
9) 36
10) 6 4
11) 10 2
3
2
13) 10
2
14) 3
3
3
15) 3
16) 4
17) 10
6) 17 2
12) 35
2
18)  
3
II. Completa la siguiente tabla, siguiendo el ejemplo dado:
POTENCIA
10
3
BASE
10
EXPONENTE
4
DESARROLLO
10  10  10
VALOR
1 0 00
24
92
35
 7 3
53
23
10 4
III. Completa las siguientes tablas, siguiendo el ejemplo dado:
NOMBRE
POTENCIA
54
Cinco elevado a la cuarta
Siete elevado al cubo
Nueve elevado a la quinta
Seis elevado al cuadrado
Tres elevado a la cuarta
Cuatro elevado a doce
Ocho elevado a la séptima
Tres elevado a la sexta
POTENCIA
72
4
NOMBRE
Siete elevado al cuadrado o siete elevado a la dos
3
15 4
65
10 2
87
98
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3
3
1.3.3 FORMA EXPONENCIAL
Cuando dos o más números se multiplican, cada uno de ellos es llamado factor del producto. En el
caso de que el producto sea el resultado de haber multiplicado varios factores iguales por sí mismo
un número determinado de veces, se utiliza una notación llamada forma exponencial que nos
permite simplificar 7  7 como 7 2 , 3  3  3 como 33 , 4  4  4  4  4 como 4 5 . La misma notación
se aplica a cantidades algebraicas, así: a a a a a a   a 6 ; b b b b   b 4 ; mm  m 2 .
La notación exponencial puede ser utilizada para indicar que un mismo número se repite varias
veces como factor.
En la expresión de la forma a n , la “ a ” indica qué número se ha de tomar como factor varias veces, y
se llama base; la “ n ” indica las veces que se toma como factor, y se llama exponente. Entonces, “
a n ” significa un número que consiste en el factor “ a ” tomado “ n ” veces, “ a n ” se llama potencia, o
simplemente “la enésima potencia de “ a ”.
Para un número natural n : a n  a  a  a    a
n factores de a
Para el producto “ a n ” se lee “ a elevado a la n-ésima potencia” o “n-ésima potencia de a ”.
1.4 TEORÍA DE LOS EXPONENTES
1.4.1 EXPONENTE ENTERO POSITIVO
El entero positivo que indica el número de veces que la base se utiliza como factor, se llama
exponente entero positivo. En 3 2 el exponente es el número 2 , en 13 es el número 3 , en 2 5 es 5 y
en x 4 es el número 4 .
1.4.2 LEYES DE LOS EXPONENTES
Si a y b son bases cualesquiera distintas de cero y m y n enteros positivos, se tiene las siguientes
leyes de los exponentes:
1. Multiplicación de potencias de igual base: el producto de dos o más potencias de igual
base, es igual a la misma base y el exponente es igual a la suma de los correspondientes
exponentes: a n  a m  a n  m
ó
an  am  an  m .
Ejemplos: 1) 2 3  2 2  2 3  2  2 5  2  2  2  2  2  32
3) x 2  x 6  x 2  6  x 8
2) 13  14  12  13  4  2  19  1
4) y 5  y  y 2  y 5  1  2  y 8
5) a 6  a 2  a  a 4  a 6  2  1  4  a13
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2. División de potencias de igual base: la división de dos o más potencias de igual base, es
igual a la misma base y el exponente es igual a la resta de los exponentes respectivos:
a) a m  a n  a m  n , cuando m  n
b) a m  a n 
1
a
, cuando m  n
nm
an
c) a  a  n  1 , cuando m  n
a
m
n
Ejemplos: 1) 6 5  6 3  6 5  3  6 2  6  6  36
1
3) 7 5  7 9 
7
5) y 9  y 10 
7) 58  511 
95
1
y
1
11  8
5
1
1
1


4
7  7  7  7 2401
7

10  9
2) x 6  x 4  x 6  4  x 2


4) x 3  x 3  x 3 3  x 0  1
1
y
6) 5 4  5 4  1
1
1
1


3
5  5  5 125
5
3. Potencia de una potencia: la potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de
 
base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. a m
  2
3) 3   3
5) a b   a
2
3 2
 2 6  2  2  2  2  2  2  64
2 4
24
 38  3  3  3  3  3  3  3  3  6 561
Ejemplos: 1) 2 3
2
3 4
24
n
 am  n  am n
   x x
a
4) a   a
m
6) m   m
6
46
24
8 2
8 2
16
2) x 4
3 2
b 3  4  a 8 b12
3 2
6
4. Potencia de un producto: la potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del
producto elevado al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a b y de
exponente “ n ”, es igual al factor “ a ” elevado a de base “ n ” por el factor “ b ” elevado a de
base “ n ”. Así: a b   a m b m
m
Ejemplos: 1) 2 b   2 5 b 5  32 b 5
5

4) 3 x 2 y 3

3
 
2)  x y   x 4 y 4
 33 x 2  3 y 3  3  27 x 6 y 9
4
3) 2 x 3

5)  2 a 4 b

2
5
 2 5 x 3  5  32 x15
  2 a 4  2 b1  2  4 a 8 b 2
2
27 3 3
 3mn 
  3
3 3
m n
6)  
  
 m n 
4 
64

 4 
3
3
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5
5. Potencia de un cociente: la potencia de un cociente es igual a cada uno de los factores del
m
am
a
cociente elevado al exponente de dicha potencia. Así:    m
b
b
33 9
32
3
Ejemplos: 1)    2 

4  4 16
4
4
2
2
3
3
 
 
3
2

3
 
 
 x3 
x3
5)  4  
y4
y 
222
23
8
2
4)    3 

5  5  5 125
5
5
 2x5 
23 x 5
6)  6  
33 y 6
 3y 
 1   1
 1
3)    
27
33
 3
7
a7
a
2)    7
b
b
2
2

3
x6
y8
8 x15
27 y18
PRÁCTICA Nº2
I. Escribir las siguientes expresiones en forma exponencial:
a) 2  2  2  2
b) m  m  m
c) y  y  y  y
d) t  t   t 
e) x  x  y  x  y  x
f) 5  y  5  y  5  y
g) n  nnn
h) 3  a  a  3  a  a
II. Encontrar el valor de las siguientes potencias.
a) 2 7
b) 6 3
c)  5
d)  3
2
2
2
e)  
3
3
 5
f)   
 6
2
 1
g)   
 4
5
III. Encontrar el producto de las siguientes potencias:
a) 2 6  2 4
  


b) 3 p 3 r 4  p 2 a 3
e) 2a 2 3a 3
f) 2 m  2 n
i)  r  2rs 2 3r 2 s 4
j) 5 x  5 2  x
3

c) a 3  a 5
d) 3x 3  x 2  x 4
g) b 3 a  b 2 a
 2  5 
h)   x 6    x 
 5  8 
IV. Encontrar el cociente de las siguientes potencias:
a) 34  32
b) 2 4  210
e) b 8  b16
f) x 7   x 2
i)  14 x 3 y 4  2 x
j)

c)  2    2
d) y 4  y 4
g) 30 x 2  2 x
h) 12 x  3x16
8

28  2 6  2 4  2 7
2 4  25
5
k) t 3m  1  t m  1
V. Expresar cada uno de los siguientes ejercicios en forma de potencias:
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6
 
a) 32
 
3
b) x 3
 
5
c) b 3a
 
2
d) a 3n
 
3
 
e) x 2bc
4


f) 2 3 x
3
VI. Expresar los siguientes productos como una simple potencia:

a) x 2 y 3
1 
f)  y 
2 

 
4
b) 2a 3
2
 
2
3
c) 3x 2
d) 2 5  7

g)  4cd 
h) 9 x 3a  4
3


3
e)  2 r 
2
3
i)  2 x a  1

 2a
d)   4
 3y




2
j) 2 x a x 3 y b 3
4
 18a 4 b 5
e) 
6 8
 6a b

2
VII. Expresar cada cociente, como una potencia:
a
a)  
3
 x2 
b)  3 
y 
2
 a 3b  2 c d  1 
f)  2b  1 d 
c 
 a
3
2
 xn  s
g) 
 y
 2a 2
c)  4
 3y



2



5
 3ab 
h)   2 
 2a c 
2
 r8  r5 

i) 
2
 r




2
3
VIII. Usando las propiedades de las potencias determine el valor de k en cada uno de los siguientes
casos para que la igualdad sea verdadera:
a) 2 3  2 7  2 k
 
e) 13
2 k
 13
12
b) 5 k  53  5 7
c)  3   3   3
f)  7 
7
g)  
5
3
2
1
 3
k
2

 
k
d) 5 2
1
7
 
5
3
 5k
h) k  3 
k
1
63
1.4.3 EXPONENTE CERO “0”
De acuerdo con la definición de potencia, la potencia a 0 carece de significado pues no existe
producto cuando no hay ningún factor. Pero, para este caso se puede dar una definición particular,
pero que éste de acuerdo con las leyes de la potenciación.
Así se sabe que: a 5  a 5  a 5  5  a 0 y por división de potencias de igual base, cuando los
exponentes eran iguales vale la unidad.
Luego, tomaremos como definición a 0  1 , si a no es cero, por lo tanto: todo número elevado al
exponente cero es igual a la unidad.
Ejemplos: 1) 5 0  1
0
a
a
4)    1 , si  0
b
b
2) 30  1

3
5) 2 x y
3) r 0  1 , si r  0

5 0
0
1
 3x 4 y 3 
6)  2 8   1
 2x y 
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7
1.4.4 EXPONENTE UNO “1”
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base: a1  a
Ejemplos: 1) 541  54

2)  31   31
3)  3x 5 y
1

1
  3x 5 y
1.4.5 EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
El exponente negativo resulta de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente del
dividendo es menor que el exponte del divisor. a 4  a 9  a 4  9  a 5 , es lo mismo que:
a4  a9 
a4
1
1
1
 9  4  5 De donde observamos que: a  5  5
9
a
a
a
a
En general, toda potencia con exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma
potencia con exponente positivo. a  n 
1
x4
2) y  9 
1
y9
3)
1
 y 3
y3
1
 a6
a6
5) 10  3 
1
1

3
1000
10
6)
1
 10 5  100 000
10  5
Ejemplos: 1) x  4 
4)
1
1
y  n  a n , donde a  0
n
a
a
Las leyes establecidas para las potencias con exponentes enteros positivos son válidas para las
potencias con exponentes negativos y siempre se deben cumplir las reglas generales de los signos.
1.5 TRANSFORMACIÓN DE EXPONENTES NEGATIVOS A POSITIVOS Y VICEVERSA
De acuerdo con la definición del exponente negativo, veamos los siguientes ejemplos:
A). Expresar con exponentes positivos:
1) 3  2 
1 1

32 9
2) 2  3 
1 1

23 8
3) 8 1 a 3b  2 
1
8a 3 b 2
4) 7 x 5 y 4 z 8 
7y4
x5 z8
Regla: cualquier factor de un término de una fracción se puede trasladar al otro
término, si se cambia el signo del exponente del factor.
Las siguientes reglas son útiles a menudo para problemas en que intervengan exponentes negativos
con m  0 , n  0 y x y  0
xm
yn

yn
xm
x
y  
 y
n
 y
  
x
n
Cuando simplificamos una expresión significa que todas las respuestas deben expresarse usando
exponentes positivos.
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8
B) Expresar con exponentes negativos.
1)
1
 10  2
2
10
5) 5a  
3
1
5a  3

1
3  3
5 a
2)
1
 54
4
5
3) x 6 
6)
1
 a  1c  1c  1
abc
7)
1
x 6
4) x 6 y 3 
1
x y 3
6
x5 y 7 z 2
t 8

3t 8 y 6
3 x 7 y 7 z  2
PRÁCTICA Nº3
I. Simplificar las siguientes potencias:
a) 1000
b)  49 
g) b 0  b m
h)  b 0
0
 7
c)   
 4
0
  
5
i)
0
nx  2
n0
d) a 5  a 0
e) c 0  c 0
f)  7   0 2
j)  0
k) 2  r 
l) 0,25
0
0
0
II. Escribir las siguientes expresiones usando sólo exponentes positivos y simplificar:
a) 10  3
1
g)  
a
b) a  1b 2
1
h)
1
x  y 
8

c) 2a  3
d) x 2 y 5
2 1 a 1
i)
3a 2 b 1
 a 5 
j)  3 
a 

3
e)
2
3m 1
2n  4

k)  2 n 2
4h 3
k 2
f)

3

l) x 3 y 2

2
III. Escribir cada expresión con exponente negativo y simplificar:
94
92
a)
b)
 1 
f) 23 x 4 y 5  2 6 
x y 


4x 2 y 3
x5 y 2
g) 4mn
3
c) 3ab 
 ab 
4
 2mn
5
2
d)
 1 
h) 34 x 6 y 8  2 3 4 
3 x y 

1
x y5z4


e)
9
i) 50 x 4

3
1
b c d6
4 5

 10 x 2

4
1.6 LEYES QUE NO CUMPLEN LOS EXPONENTES

No son distributivos con respecto a la adición y sustracción: a  b   a m  b m
m
a  b m

 am  bm
No cumplen la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente
tienen el mismo valor o son equivalentes. En general: a b  b a

 
c
c
Tampoco cumplen la propiedad asociativa: a b  a b   a b
c
 a b  c   a b c
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9
1.7 POTENCIA DE BASE 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como
indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la
derecha si el exponente es negativo.
Ejemplos:
10  7  0,0000001
10 0  1
10  6  0,000001
101  10
10  5  0,00001
10 2  100
10  4  0,0001
10 3  1 000
10 3  0,001
10 4  10 000
10  2  0,01
10 5  100 000
10 1  0,1
10 6  1 000 000
10 0  1
10 7  10 000 000
PRÁCTICA Nº4
I. Calcular las siguientes potencias, aplicando las propiedades estudiadas:
1) 3  5
2
2)  2 
 
4) 2 4  4 2  32
 
8) 5 2
3
2
3)  
3
3
2
5) 31
2
12) 8 2  2 3  2  32
2
13) 32  5 2  4 2
3
4
7) 4 2  9 2  5 2
10) 21  2 2  2 3
11) 4 2  41  4 0
14) 32  6 2  7 2
15) 10 4  10 2  5 2
0
 21   22
17)
  2   2   2
3
II. Calcular las siguientes operaciones de potencias, aplicando las propiedades:
2) 57  53
1) 33  34  31
 
5) 3 4
9)
4
6) 2 5  2 4  21
 22   23   24
10)
3
1
16) 3  3  3  3  3
1



6) 2  3
3
1
1
9) 3   
3
 50
 1 2
4)  
 2 
2
3)
7)
5  2  34
0
 
4) 53 
4 2
2  
12) 3  
2  3  44
 8 22  20  2
4
8)
0
3 4
3
2 1
2
3
4
11) 2  2  2
III. Calcular las siguientes operaciones de potencias:
1) 3  5  6 
3
1 
1
2)   4   6 
2 
4
4
1
3)  
2
2
 5  2
4)  
 7 



1
1 1
5)   
 2 3
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2
10
2
6)  
5
4
1
7)  
3
6
1 1
9)   
3 4
12  152
8)
2
3 1 
10)   
 5 10 
IV. Calcular el valor de las siguientes aplicaciones de exponentes:
a a 
4
1)
2)
a
9 9 
9 
2
6)
5 5 
4
3
4
1
7)
3
4
3)
5
13 13 
13 
4
a a 
2
3
a4
3 3 
3 
2
8)
6
4)
5
9)
4
a
a
2
2
4
4
4
2
5 5 
5 5
7 7 
10)
7 
a 
a 
2 
2 
5
4
5)
2
5
5
4
2
3
7
6
V. Calcular las siguientes operaciones con potencias, de base fraccionaria:
2
2
2
1)     
3
3
2
5)  
3
2
2
9)  
3
2
3
3
  
2
2
2
  
3
3
2
2
6)     
3
3
3
2
2)  
3
3
2
  
3
3
2
3
10)  
2
2
2
  
3
2
2
3)     
3
3
3
2
3
2
2
7)  
3
3
2
  
3
 2  2 
11)   
 3  
2
  
3
3
2
2
8)     
3
3
3
2
4)  
3
2
2
 2 2  3 
  

12)    
 3   



3
4
VI. Calcular el valor de las siguientes potencias, aplicando los exponentes cero y uno:
 2
2)   
 5
 7 
0
1)

2
6) 2 a b

3 0
1
1
3)  
2

0
4)  2 x 2 y 1
 5
8)   
 7
7) 100 
1

0
9) 100 x 3 y

1

1
 
5) 3a 2
1

10)  7 a 2

1
VII. Expresar las siguientes potenciaciones con exponentes positivos y simplificar.
2
1) 7 a
3
1
2) 3 b
2

6) 10  4
7)  2 a 2 b
1
2
3) 5 m n

3
8)
3 1 a 5
2b 4
3
4) 9 x
9)
x
2
2
3
y z
y 4
4

3
1
5)  
 x
1
10)
7a 5
b 3
5)
x7 y5 z3
u 3t 4 y 2
VIII. Expresar las siguientes potenciaciones con exponentes negativos y simplificar.
1)
1
10 3
2) x 5
 1 
6) 33 x 4 y 5  7 8 
x y 


7)
1
4 5 6
2a b c
 
4)
5 1 x 2
3 1 x 3
9) 9 ab 
3) 3a 2
8)
2
1
2 4 3
m n t
2
10)
3x 2 y 3
x7 y 4
1.8 EXPONENTE FRACCIONARIO
Ahora, trabajaremos con la potencia a n , en donde “ n ” sea una fracción racional.
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11
2
Definición: Todo número “ a ” cuya potencia de exponente ( n es un entero positivo) es igual a “ b ” y
que satisface la ecuación a n  b se llama “raíz n-ésima de b ”.
 
Si consideramos la ley a m
n
 a m  n  a m n que es válida para cuando m 
1
, se tiene:
n
n
n
 1n 
 a   a n  a1  a .
 
 
1
Por lo tanto a n es un número cuya potencia enésima es a y nos conduce a la siguiente definición.
1
Definición: Si “ a ” es un número no negativo y n es un entero positivo, entonces a n 
n
a .
m
Si m y n son enteros positivos, se puede llegar a la definición de a n .
m
m
 1
Así, que  a n   a n y a m
 
 
1
n
 a
m
n
de donde a
m
n

 a
m
n

n
a
m
entonces a
m
n
 1
  a n 
 
m
Por consiguiente, un número con exponente fraccionario se define como la potencia de un radical. El
denominador del exponente es el índice del radical, y el numerador indica la potencia a la cual se
eleva el radical.
Definición: a

m
n

1
amn
Observación: todas las leyes de los exponentes son válidas para los exponentes racionales.
1.9 TRANSFORMACIÓN DE POTENCIAS CON EXPONENTES FRACCIONARIOS A RADICALES
Aplicando la definición, podemos expresar una potencia con exponente fraccionario en forma de
radicales.
1
2
1
Ejemplos: 1) a 5  5 a
2) 7 2  7
1
2
5
4
5) 36  36  6
6) x  x
4
2
3) 9 3  3 9 2
1
4
1
4
1
4
7) 3 a b  3ab
5
5
2
4) 5 3 m 3 n 3  3 5 2 m 5 n 2
4
8) 3

1
2

1
3
9) a
3

4

1
a
3
4

1
3
1
4
10) 27  3 27  3 33 
a3
 2   2  4
3    3   3
11) 8 3  3 82  3 23   3 22  
2
2
3
12) 81  4 813  4 3 4   4
3
4
3
3
3 4
2
3
4
1
2

1
3
 3  3
3
3
2
3
4
3
 27
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12
1.10 TRANSFORMACIÓN DE RADICALES A POTENCIAS CON EXPONENTE FRACCIONARIO
Suele ser conveniente cambiar un radical a su forma equivalente con el exponente fraccionario.
Ejemplos: Expresar los siguientes radicales a su forma exponencial:
3 3
1)
1
2
2)
4
x x
3
3
4
3
1
4)
5
a3  a 5
5) 5 4 ab  5ab 4
7)
4
625a 2 b 8  4 5 4 a 2 b 8  5 4 a 4 b 4  5a 2 b 2
4
9)
5
10
5
10
x5 y5 z 5  x y z
10
5
10
1
2
2
1
2
x y z
8
1
2
3)
5x  5x
6)
3
a6  a 3  a2
6
1
8)
1
3
3
4
1
   2 
 16 x y
16 x y
 
2
2
9z
 9z
3
10)
1
1
4
16ab 2  16 4 a 4 b 2
6
4
3
4
1
4 4
1
1
2
   
  
1
6
1
a 4 b  4  2a 4 b 2
1
4 6
1
3 6

2
x
y
 
1
1

32 6 z 2 6
1
4 6

2
3
1
2
2 x y
1
2
3
1
33 z 3
PRÁCTICA Nº5
I. Expresa cada una de las siguientes expresiones como un radical:
1
1
3
5
3
1) 2 2
2) 8 4
3) 3 4
4) 2 7
5) 4 5
2
3
6) 4
7) 16
1
3
2
8) 64
5
6

1
2
9) 3 a

2
2
11) 2a 3 b 3
12) 3x 3
13) 49a 2 b 6
 23  13 
17)  2  3 
  
 12   12 
18)  4   2 
  

4
8 12
16) 16 x y z

1
4
1
2
3
 16  2
10)  
 49 
1
2

14) 27m12 n 6
5

4
3

15)  8x 3
5
3
19) 7 2 a 2

1
3
10
1
20) 4 10 a 2 b 20
II. Expresa cada una de las siguientes expresiones con exponente fraccionario:
1)
6)
3
11)
5
2)
4
33
3)
3
22
4)
n2
7)
4
2xy3
8)
3
a  b 2
9)
4 3 a2
12)
6
a 3 x12 y 6
13)
5
32a 5 b10
5
15)
43
5)
16ab 4 c 8 d
10) 5 3 a
4
6
33
24 a 4b 4 c8
1.11 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON EXPONENTES FRACCIONARIOS Y NEGATIVOS
Para trabajar las operaciones algebraicas con exponentes fraccionarios y con exponentes negativos
debemos utilizar las mismas propiedades para operar con ellos.
1. Multiplicación de monomios con exponentes negativos y fraccionarios: la ley de los
exponentes en la multiplicación son válidas cuando se trabaja con exponentes fraccionarios y
negativos.
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13
Ejemplos:


 

 


1) Multiplique a  4 b  5 a  2 b  6  a  4  a  2 b  5  b  6  a  4   2  b  5   6   a  6 b 11
2 4
1
 14 34  14 14   14 14  34 14 
4
4
2) Multiplique  a b  a b    a  a  b  b   a b  a 2 b


 


3
5


  15  23   52 14    12  52   23 14 
5
12








3) Multiplique  a b  a b    a  a  b  b   a b


 




 


4) Multiplique x  5 y  6 x 5 y 6  x  5  x 5 y  6  y 6  x 0 y 0  1
1
1
1
1
1
7
7
5
 





 1
5) Multiplique  3x  4 y 2 z  2  2 x 2 y  4 z 2   3 2x  4  x 2  y 2  y  4  z  2  z 2  6 x 2 y 2 z 2



2. Multiplicación de monomios con polinomios con exponentes negativos y fraccionarios:
se debe multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplos:

 
 
 

1) Multiplique x  2 x  5  x  3  x  2  x  2  x  5  x  2  x  3  x  2  x  2  x  7  x  5  x  4
2
1
2
1
7
8
1
5



 1
 
 

 
2) Multiplique x  3  x 2  x 3  x 3    x  3  x 2    x  3  x 3    x  3  x 3   x 2  x 3  x 3
 

 
 

1
2

3) Multiplique 2a a
2
 3a
4
 5a
5
  2a
1
2
a
2
1
2
 2 3a a
4
1
2
 2 5a a
5
 2a

3
2
 6a

7
2
 10a

9
2
4) Multiplique
2
4
7
1
2
1
1
7

 

 
  43  


3
3
3 
3 
3 
3 
3 





 3 x   2 x  4 x  5 x     3 x   2 x     3 x   4 x     3 x    5 x 3 

 

 

 


1
3
3
3
 6 x   12 x
1 4
3
  15x
1 7
3
5
3
 6 x  12 x  15 x
8
3
3. Multiplicación de dos polinomios con exponentes negativos y fraccionarios: en esta
operación se requiere que los términos de los polinomios estén ordenados ascendentemente.
Ejemplos:



1) Multiplique a  4  a 1 a  3  a  2  a  4  a  3  a  4  a  2  a 1  a  3  a 1  a  2  a  7  a  6  a  4  a  3
2
1
 12
   23

3 

2) Multiplique  x  x   x  x 4 



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14
2
1
1
1
 12
  2
  1   2   1 
  2   2   2 

 x  x 3   x 3  x 4    x 2  x 3    x 2   x 4    x 3  x 3    x 3   x 4 
  



  
  
  
  



  
  
  
x
x

1
6

1
6
11
3
 x 4  x0  x 3  x

1
6
11
3
 x 4  1 x 3
11
3
 x4  x 3 1
3 1
1 3
1
 2
  12

2 2
2 2 

3) Multiplique  4 x  x y  xy  x y   x  y 2 



3 1
1
3
1
1
1
3 1 1
3 1 1
1
1
1
3
1
1
3
 2
 1

 4 x  x 2 y 2  xy  x 2 y 2   x 2  y 2   4 x 2 x 2  4 x 2 y 2  x 2 y 2 x 2  x 2 y 2 y 2  xyx 2  xyy 2  x 2 y 2 x 2  x 2 y 2 y






 4x
4 1
2
1
 4x 2 y 2  x
5
1
31
2
1
1
3
y2  x2 y
3
11
2
x
3
2 1
2
y  xy
3
3
2 1
2
x
11
2
3
1
y2  x2 y
1
2
31
2
1
 4 x 2  4 x 2 y 2  x 2 y 2  x 2 y  x 2 y  xy 2  xy 2  x 2 y 2
5
1
1
 4 x 2  3x 2 y 2  x 2 y 2
4. División de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.
Ejemplos:
a  5b  3
1
 a  5  2   b  3  2   a  5  2 b  3  2  a  3b 1  3
2 2
a b
a b
1) Divida a  5 b  3  a  2 b  2 
2
2
5
2) Divida 6 x  3x

1
5

6x 5
3x
1
3
3) Divida x y  x

1
4

 2x
1
5
1
3
x y
y 3 
x

1
4
2  1
  
5  5
1
 x3
2
  2x 5
 1
  
 4

1
5
3
 2x 5
7
y 1   3    x 12 y 4
y 3
PRÁCTICA Nº6
I. Realiza las siguientes multiplicaciones:
1) c  2  c  5
5) 6
 10
6
2
2) 10  4  10  5
6
3
6) x
8
 x
3
 x
3) 3a  4  5a  3
5
1
7)  
2
2
1
 
2
4) 5  2  5  3
3
1
 
2
4
3
1
2 2 2
8)      
5 5 5
II. Encuentra la potencia:
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5
 1
1)  x 3 
 
3
 2
2)  x 3 
 
6) 25 x y
2
3
 3
3)  x 4 
 
 1 
7)  8 3 x 2 



1
4 2
2
4
8) 8a b
9
 3
4)  m 4 


5
2
 4 2
5)  a 5 
 
 1 3
9)  3 3 y 4 



1
6 3
4
 1 2 5
10)  5 2 a 3 b 3 


3
III. Efectúa las siguientes divisiones:
3
1
2
2) y 3  y 3
2
3) b 3  b 3
1
1) a 4  a 4
5
6
6) y  y
5
6
2
3
7) a  a
3
5
3
3
8) b  c
4
1
3
4) m 5  m 5
2
3
9) a  a
6
5) x 5  x
8
8
2
2
10) c  c
4
8
IV. Realiza las siguientes divisiones:
1) 10  2  10  3
6) a
 3x
11) 7
 a
2
 5x
7
2) x 2 n  x  n
3) 5  4  5  2
x4  x5
7)
x9
1
1
8)     
2
2
3
12)  
4
4
3
3
 
4
5
3
2
13) t  t
0
3
4) w 0  w  5
5) r  2  r  5
r 3  r 5
9)
r 2
x0  x4
10)
x4
x  5  x  2  x 1
14)
x0
2
15)  
3
6
2
 
3
 10
V. Encuentra las siguientes potencias:
1) n  2
 
3
2) a  5
 
4
3) a  7
1
6)  
2
4

2 3



7)  2n
0
11) 10 5
 3 3 
12)  4 
 2 

2 2
 
2
 
5
4) x 0

 1 
9)  4 
x 
5 2  4
8) a c
 20
13)   2
3



3

5)  3
3
4
2
5

10) 3  2  2 3
5
14) 3 a b

6 2

2
 4a 3 b 4
15)   2  5  6
5 a b



2
VI. Efectúa las siguientes multiplicaciones de dos monomios:
 13  2  23  1 
1)  4a b  5a b 



2
5 1




5  2 

2)   2a b   3a 2 b 2 



 23 53 13   3  54  13 
3)  8 m n  8 m n 



 1  2  1   1 2 1 
4)  3 2 m 3 p 4  3 2 m 3 p 4 



1 2

2
 9
5)  x  5 y  3 z  8  x 2 y 3 z  3 
3
 10

 4 3 2  5  1  5 
6)  x 4 y 3  x 4 y 3 
5
 4

VII. Efectúa las siguientes multiplicaciones de un monomio por polinomio:

1) a a  2  a  1


2) x  2 x 2  x  4


3) 3a 2 3 1 a  3 a  2
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
16

4) n n  3  n  2  n  1
7) x

1
3
3
 
 1
5) 4 x  2 y  2  x 3  2 x 2 



5
 
 23
 3x  2 x 3 




1

8) 3m  4m 4  2m 

3
4
1
1
 

2

10) m  2m  3  5m 2 


1
2
11) 5 x
5
8
2
2


6) a 3  a  a 3  a 3 






9) 2 x
3
  32 15

 4 x  4 2 x 5 





1
3
 23

 3x  x  6 




3
 
 52

12) x  4 x  2 x 2 


3
2
VIII. Efectúa las siguientes multiplicaciones de dos polinomios:


1
 1

2) a  2  b  3  a 2  b 3 




1) x  2  1 x  3  3

3) x
5
 y
3
5
 15

x  y6 




3
 
 23
 15
4
4)  5a  3b  2a  6b 4 




1

 13

1
3
5 

5)   4 x  2 y  2 x  y  5 
2





7) 2a  2  a  1 3a  5  4a  4  5a  3

1

 2 34
  2
3



6)  a  6b  3a  b 3 
3





8) a  1  2 2a  2  5a  1  7

3
5
  52
 1

2  2
2 

x

y
x

y
9) 





1
1 1
2
 13
 2

3  3
3 3
3 

x

y
x

x
y

y
10) 





1
1 1
2
 1
 2

11)  x 3  y 3  x 3  x 3 y 3  y 3 



1 2
3
 
 1
12) x  2  y  4  x 2  x 2 y 3  y 4 




IX. Efectúa las siguientes divisiones entre monomios:
1)
6ab  2
 2a  3 b  6
2)
3)
9  1 a  3b  1d 0
3  3 a  1b  3 d 2
1
3
1 3

 

4)  3  5 a 2 b 4   3  4 a 2 b 4


  5  76  34    2 76 34 
5)  8 m n    8 m n 

 

2 3 x  2 y 4
2 2 x 2 y  1
2
3
1
1
3
1
6) 27 3 a 5 b 4  4 2 a 3 b 5
1
1
 34 12  3  23 43  2
7)  x x    y y 




8) 4

1
2
2
3
a b

1
6
c

3
2
2
3
8 a

1
3
b

2
3
c

1
2
X. Efectúa las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:


1) y 2  y  y  2  y  3
1
3
1
 3

2)  5a 4  10a 4  15a 4   5a 4


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17
5
1
1
3
 


3)   3a 6  6a 6  12a 6   3a 6



5) 4a
4
 6b
2
 10b
3
  2b
5
1
1
 3

4)  x 4  x 5  x 2   x  2



6) x
4
 2x
8
 5x
9
 x
2
3
2
2

 4

7)  c 3  c 3  1  c 3


5
3
 

8)  x  3  4 x  3  x 2   x 2


1
 34


9)  2a  3a 2  a  5   a  2


2
3
5


 
  17
7
7
7 

10)  x  x  x  x   x  1


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