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PROYECTO MATEMATICA
Sistemas de Ecuaciones
JOSE PABLO MENDIZABAL
FISICA FUNDAMENTAL
Country Day School
0
Este trabajo tiene como objetivo demostrar los conocimientos que hemos adquirido
dentro de esta 3ra Unidad, con el fin de mostrar todo sobre los sistemas de ecuaciones
y desigualdades.
El trabajo consistirá en demostrar cómo resolver sistemas de ecuaciones de la manera
más práctica y eficiente. Mostrará todo lo necesario para este tema, será un formulario
pero con opciones enfocadas a demostrar lo que hemos aprendido, y de una manera
que muestre como se hace paso por paso también incluirá ejemplos y ejercicios para
que el lector pueda poner a prueba lo que se ha enseñado en este proyecto.
1
Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss Acerca de este sonido
(Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de
febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo,
geodesta, y físico alemán que contribuyó
significativamente en muchos campos, incluida la
teoría de números, el análisis matemático, la
geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la
geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el
príncipe de los matemáticos» y «el matemático más
grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una
influencia notable en muchos campos de la
matemática y de la ciencia, y es considerado uno de
los matemáticos que más influencia ha tenido en la
Historia.
Wilhelm Jordan
Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que
hizo trabajos de topografía en Alemania y África. Es recordado
entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de
Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos
cuadrados. Esta técnica algebraica apareció en su Handbuch
der Vermessungskunde (1873)
2
3
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplos:
1.
2. {2x+y=5
{-4x+6x=5
-4x+6(-2x+5)=12
-4x-12x+30=12
-16x=-18
X=-18/-16
X=9/8
Y=11/4
3.
4
Ejercicios
Ecuación
Respuesta
y=2
x=1
y=35
x=25
y=2
x=4
Y=2
X=4
Y=-3
X=4
X=2
Y=3
Y=3
X=-4
T en em o s 5. 5 € en 1 5 m on e da s d e 50
y 10 c én ti mo s. ¿Cu á n tas m on e da s
de cad a cl as e t en e m o s?
Tenemos 10 monedas de 50 céntimos y 5
monedas de 10 céntimos.
Jaime va a hacer una fiesta en su casa. Va al
supermercado y compra 3 paquetes de patatas
fritas y 2 botellas de refresco de limón por 8 €.
Más tarde vuelve a comprar 2 paquetes de
patatas y 1 botella por 5 €. ¿Cuál es el precio de
ambos productos?
El precio de cada bolsa de patatas es de 1 € y el
de cada botella de refresco es de 2 €.
Y=11/4
X=7/4
5
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplos:
1.
6
2.
3.
Ejercicios
Ecuación
Respuesta
Y=-15/7
X=66/7
Y=1000
X=2500
Y=-3
X=4
Y=0
X=2
7
Y=1200
X=800
Y=26
X=32
X=12
Y=-4
Y=24
X=9/2
Y=-3
X=4
X=2
Y=3
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
aparecía despejada la otra incógnita.
8
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplos:
1.
2.
3.
Ejercicios
9
Ecuación
Respuesta
Y=2
X=4
Y=35
X=25
Y=-3
X=4
Y=0
X=2
Y=1200
X=800
Y=26
X=32
X=12
Y=-4
Y=24
X=9/2
Y=-3
X=4
X=2
Y=3
10
Para resolver el sistema
donde x y y son las incógnitas y a, b, c,
d, r, s, son números reales.
1. Consideramos el arreglo
que consta de los coeficientes de las
variables.
2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los
números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior
derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas
inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama
determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si
usamos símbolos
Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos
señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la
flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y
sumando los resultados obtenidos.
3. Con la notación observamos que la solución del sistema es
11
Ejemplos:
Ecuación
Procedimiento
Respuest
a
X=-8
Y=5
Z=-5/2
W=6
X+Y=4
X-Y=2
4 1
2 −1
X= 1 1
1−1
=3
14
12
Y= 1 1
1−1
=1
12
X=3
Y=1
Ejercicios:
Ecuación
Respuesta
Y=-15/7
X=66/7
Y=1000
X=2500
Y=-3
X=4
Y=0
X=2
Y=1200
X=800
Y=26
X=32
X=12
Y=-4
Y=24
X=9/2
Y=-3
X=4
X=2
Y=3
13
1) Convierte cada una de las ecuaciones del sistema en una función lineal
2) Elige una de ellas y construye una tabla de valores
3) En un sistema de ejes coordenados cartesianos, representa con
diferentes colores, las rectas
4) Observa cuál es el punto de corte de ambas rectas, esto es muy
importante, porque las coordenadas de ese punto de corte son las
soluciones del sistema de ecuaciones simultáneas
Ejemplos
1.
2. X+Y=4
X-Y=2
14
3. y = 3x y x + 2y = 4
Ejercicios:
Ecuaciones
y = 3x y x + 2y = 4
3x+5y=11 y 15x15y=3
2x+3y=2 y 2x-3y=0
x+2y=7 y x-y=1
2x-y=3 y 4x+2y=50
2x+3y=1 y -x+y=1
x+2y=-7 y x+y=-3
15
16
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que
cumplan las siguientes condiciones:
1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Ejemplos:
1.
2.
17
3.
Ej e r ci ci o s:
E cu a ci ón
Re spu e st a
X=1
Y= - 2
Z= 3
X= 2
Y= 3
Z = -1
18
X=1
Y=2
Z=3
X=0
Y=0
Z=1
x-y=6
X=8
2x-3z=16
Y=2
2y+z=4
2x+y=-4
Z=0
X=-3
-2y+4z=0
Y=2
3x-2z=-11
x+2y-z=-3
Z=1
X=-3
2x-4y+z=-7
Y=0.5
-2x+2y-3z=4
x+y-z=6
Z=1
X=1
3x-2y+z=-5
Y=3
x+3y-2z=14
x-y+z=-4
Z=-2
X=1
2x-3y+4z=-15
Y=3
5x+y-2z=12
Z=-2
19
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro
equivalente de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que
pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes
(separados por una recta).
Ej em pl o s:
1.
3x
+ 2y
+ z
=
1
5x
+ 3y
+ 4z
=
2
x
+ y
− z
=
1
20
2.
3.
21
Ejercicios:
E cu a ci ón
Re spu e st a
x = 45
x+y-z=6
X=1
3x-2y+z=-5
Y=3
x+3y-2z=14
x+2y-z=-3
Z=-2
X=-3
2x-4y+z=-7
Y=0.5
-2x+2y-3z=4
x-y+z=-4
Z=1
X=1
2x-3y+4z=-15
Y=3
5x+y-2z=12
Z=-2
22
y = 48
z = 54
Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos
(multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la
matriz identidad.
A · A−1 = A−1 · A = I
Propiedades
1. (A · B)−1 = B−1 · A−1
2. (A−1)−1 = A
3. (k · A)−1 = k−1 · A−1
4. (At)−1 = (A−1)t
Ejemplos:
1.
F2 − F1
F3 + F2
La m at r iz i n ve r s a es :
23
2.
3.
Ejercicios:
Ecu a c ió n
Re s pu e st a
1
x = 45
x+y-z=6
X=1
3x-2y+z=-5
Y=3
x+3y-2z=14
x+2y-z=-3
Z=-2
X=-3
2x-4y+z=-7
Y=0.5
-2x+2y-3z=4
x-y+z=-4
Z=1
X=1
2x-3y+4z=-15
Y=3
5x+y-2z=12
Z=-2
1
y = 48
z = 54
2
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices
que ocupan la misma misma posición.
A+B
Ejemplos:
1.
2.
3
3.
Ejercicios:
Ecuación
𝟏 𝟐 𝟑
𝟓
[
]+[
𝟑 𝟐 𝟏
𝟐
𝟒 𝟑 𝟏
𝟒
[
]+[
𝟖 𝟔 𝟓
𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟔
[
]+[
𝟒 𝟓 𝟔
𝟑
𝟏 𝟏 𝟏
𝟑
[
]+[
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒
𝟖 𝟕 𝟔
𝟏
[
]+[
𝟑 𝟒 𝟓
𝟔
𝟐
𝟏 𝟑 𝟓
[
]+[
𝟏
𝟐 𝟒 𝟔
𝟏 𝟐 𝟑
𝟓
[
]+[
𝟑 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
[
]+[
𝟑
𝟒 𝟒 𝟒
𝟔
𝟐 𝟓 𝟒
[
]+[
𝟖
𝟏 𝟔 𝟑
𝟑 𝟕 𝟓
𝟓
[
]+[
𝟖 𝟑 𝟓
𝟏
Respuesta
𝟑
𝟕
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟓
𝟒
𝟑
𝟑
𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟔
]
𝟓
𝟖
]
𝟒
𝟒
]
𝟏
𝟑
]
𝟒
𝟑
]
𝟒
𝟔
]
𝟓
𝟔
]
𝟓
𝟑
]
𝟓
𝟐
]
𝟔
𝟒
]
𝟐
6 5 9
]
5 9 6
8 8 9
[
]
9 8 9
7 7 7
[
]
7 7 7
4 4 4
[
]
6 6 6
9 9 9
[
]
9 9 9
3 7 11
[
]
3 7 11
6 5 9
[
]
5 10 6
2 3 4
[
]
7 8 9
8 7 6
[
]
9 8 9
8 9 9
[
]
9 8 7
[
4
Se obtienen restando los elementos de las dos matrices que ocupan la
misma misma posición.
A-B
Ejemplos:
1.
2.
3.
5
Ejercicios:
Ecuación
𝟏 𝟐 𝟑
𝟓
[
]−[
𝟑 𝟐 𝟏
𝟐
𝟒 𝟑 𝟏
𝟒
[
]−[
𝟖 𝟔 𝟓
𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟔
[
]−[
𝟒 𝟓 𝟔
𝟑
𝟏 𝟏 𝟏
𝟑
[
]−[
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒
𝟖 𝟕 𝟔
𝟏
[
]−[
𝟑 𝟒 𝟓
𝟔
𝟐
𝟏 𝟑 𝟓
[
]−[
𝟏
𝟐 𝟒 𝟔
𝟏 𝟐 𝟑
𝟓
[
]−[
𝟑 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
[
]−[
𝟑
𝟒 𝟒 𝟒
𝟔
𝟐 𝟓 𝟒
[
]−[
𝟖
𝟏 𝟔 𝟑
𝟑 𝟕 𝟓
𝟓
[
]−[
𝟖 𝟑 𝟓
𝟏
Respuesta
𝟑
𝟕
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟓
𝟒
𝟑
𝟑
𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
−4 − 1 − 3
[
]
+1 − 5 − 4
0 −2 −7
[
]
7 4 1
−5 − 3 − 1
[
]
1
3
5
−2 − 2 − 2
[
]
−2 − 2 − 2
7 5 3
[
]
−3 − 1 1
−1 − 1 − 1
[
]
1 1 1
−4 − 1 − 3
[
]
1−6 −4
0 −1 −2
[
]
1 0 −1
−4 3 2
[
]
−7 4 − 3
−2 5 1
[
]
7 −2 3
𝟔
]
𝟓
𝟖
]
𝟒
𝟒
]
𝟏
𝟑
]
𝟒
𝟑
]
𝟒
𝟔
]
𝟓
𝟔
]
𝟓
𝟑
]
𝟓
𝟐
]
𝟔
𝟒
]
𝟐
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con
el número de filas de B.
Ejemplos:
1.
6
2.
3.
Ejercicios:
Ecuación
Respuesta
7
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.
Ejemplos:
1.
=
2.
3.
Ejercicios:
Ecuación
𝟏 𝟑 𝟏 𝟏
𝟑 𝟒 𝟐 𝟑
[
]
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟐 𝟓 𝟕
𝟏 𝟓 𝟎 𝟔
𝟑 𝟐 𝟏 𝟑
[
]
𝟓 𝟖 𝟔 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟒 𝟕 𝟔 𝟓
𝟑 𝟔 𝟓 𝟑
[
]
𝟓 𝟖 𝟗 𝟏
𝟐 𝟑 𝟖 𝟕
𝟖 𝟕 𝟔
[𝟔 𝟓 𝟓]
𝟏 𝟎 𝟔
𝟏 𝟓 𝟑
[𝟑 𝟎 𝟎]
𝟓 𝟒 𝟐
Respuesta
1
0
[
0
0
1
0
[
0
0
1
0
[
0
0
1
[0
0
1
[0
0
8
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
]
0
1
0
0
]
0
1
0
0
]
0
1
0
0]
1
0
0]
1
𝟖
[𝟑
𝟓
𝟏
[
𝟐
𝟏
[
𝟒
𝟒
[
𝟖
𝟏
[
𝟑
𝟕
𝟒
𝟖
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝟔
𝟐
𝟐
𝟔
𝟓]
𝟔
]
1 0 0
[0 1 0]
0 0 1
1 0
[
]
0 1
1 0
[
]
0 1
1 0
[
]
0 1
1 0
[
]
0 1
]
]
]
Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos
(multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la
matriz identidad.
A · A−1 = A−1 · A = I
Propiedades
1. (A · B)−1 = B−1 · A−1
2. (A−1)−1 = A
3. (k · A)−1 = k−1 · A−1
4. (At)−1 = (A−1)t
Ejemplos:
1.
9
2.
3.
Ejercicios:
Ecuación
Respuesta
10
1. Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer
un cierto número de varias formas. Por ejemplo, ¿sabías que el número
1729 es el primer número que se descompone como suma de dos cubos
perfectos, de dos maneras distintas?. Efectivamente, puedes comprobar
que 1729=103+93=123+13
2. Si tienes una pizza con un radio Z y una altura A, su volumen
será: PI*Z*Z*A.
3. 2520 es el número más pequeño que puede ser dividido en forma exacta
por los números del 1 al 10.
4. 111.111.111 x 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321 = Wow!
5. ¿Recuerdan cuando debatíamos acaloradamente sobre si el siglo XXI
comenzaba el 1 de enero de 2000 o de 2001? Puesto que no hubo año
cero, el que lo celebró en el 2000 estaba en realidad celebrando el paso
de 1999 años. Sentimos llegar tan tarde a resolver el dilema.
6. También tiene características únicas aplicadas a otras operaciones
matemáticas: cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0 y cualquier
número elevado a 0 es igual a 1.
7. Las dos rayas = que indican igualdad las empezó a utilizar un
matemático inglés llamado Robert Recorde que vivió hace más de
cuatrocientos años. En uno de sus libros cuenta que eligió ese signo
porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”
8. La multiplicación era considerada muy difícil y, hasta el siglo XVI, solo se
enseñaba en las universidades.
11
9. Si cuentas las escamas de una piña, observarás sorprendido que
aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los términos
de la sucesión de Fibonacci
10. El teorema de Pitágoras ha merecido la atención de muchos
matemáticos, especialmente de la antigüedad. Actualmente están
registradas unas 370 demostraciones de este teorema.
11. Gottfried W. Leibnitz, inventó el sistema binario (base 2) usado hoy en los
ordenadores. Leibnitz vio en este sistema la imagen de la Creación; se
imaginó que la unidad (1) representaba a Dios y el cero (0) la nada, e
inventó un sistema filosófico basado en esas premisas.
12. Lo mismo ocurre con las piñas de girasol; forman una red de espirales,
unas van en sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, pero
siempre las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos
de la sucesión de Fibonacci.
13. El hecho de que tengamos diez dedos en las manos y diez dedos en los
pies, ha determinado la adopción del sistema decimal de numeración;
aunque con el correr de los siglos se han propuesto y utilizado otros
sistemas.
14. Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados
universalmente.
15. La palabra cero deriva probablemente de “zephirum”, forma latinizada del
árabe “sifr” que es, a su vez, una traducción de la palabra hindú “sunya”
que significa vacío o nada.
16. Los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números
negativos para indicar deudas.
12
1. Sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones con cada una
con una o más variables
2. Solución una solución de un sistema de ecuaciones consiste en los valores para
las variables que son soluciones de cada ecuación del sistema
3. Consistente cuando un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución
4. Inconsistente cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución
5. Ecuación lineal cuando es equivalente a una ecuación de la forma
ax+ax+..+ax=b
6. Sistema de ecuaciones si cada ecuación en un sistema de ecuaciones es lineal
7. Coincidentes significa son idénticas
8. Matriz Aumentada cuando la matriz se usa para representar un sistema lineal de
ecuaciones
9. Matriz de Coeficientes a la derecha de la barra vertical en la matriz aumentada
de un sistema de ecuaciones da como resultado una matriz de coeficientes
10. Fila Serie de personas o cosas colocadas en línea:
11. Columna Pila o serie de cosas amontonadas verticalmente:
12. Teorema Proposición que afirma una verdad demostrable
13. Determinante Que determina
14. Matriz Cuadrada si una matriz de m por n tiene el mismo número de filas y
columnas (m=n)
15. Matrices Iguales cuando dos matrices son A=B
13
16. Conmutativa según la cual el resultado de ciertas operaciones no varía cuando
se cambia el orden de sus términos o elementos.
17. Producto Resultado, cantidad obtenida de una multiplicación.
18. Suma Reunir, añadir o incorporar:
19. Resta: Operación que consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades:
20. Multiplicación: Operación matemática que consiste en hallar el resultado de
repetir un número tantas veces como indique otro
21. Inverso Alterado, contrario en el orden, en la dirección o en el sentido.
22. Diagonal Principal para una matriz cuadrada de n por n las entradas ubicadas en
la fila i, columna i.
23. Singular cuando una matriz A no tiene inverso
24. Propia si el grado del polinomio en el numerador es menor al grado del
denominador
25. Impropia cuando el grado del polinomio en el numerador NO es menor al grado
del denominador
14
1. Michael Sullivan. Sullivan: Algebra y Trigonometría. Novena Edición
2. Matrices Frank Ayres Jr.
3. www.vitutor.com
4. www.ditutor.com
5. www.wikipedia.com
6. www.google.com
15