Download a2 + b2 = (a + c + b)(a - c + b)


4) trinomio de la forma x2 + bx + c

Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1
( ).

Posee un término que tiene la misma letra que el termino anterior
pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

Tienen un término independiente de la letra que aparece en los
otros dos (+ o -).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer
término será la raíz cuadrada del término .
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el
término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la
multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos
números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de
“bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos
números son los segundos términos de los factores binomios.
4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos
números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor
“b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”,
el mayor de estos números será el segundo término del primer
factor binomio, y el menor de estos números será el segundo
término del segundo factor binomio.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos.
En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola
letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el
“x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple
letra, este puede ser también un polinomio completo.
Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante
elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos,
una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus
factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación
que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que
busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare
por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el termino “c” no es un simple
numero sino que tiene una forma
, en este caso no se ha hecho
ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si
fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta
y al sumar
7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.
Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números,
letras, o polinomios , solo se necesita que se cumplan las reglas
indicadas.
5) Trinomio de la forma
ax2 + bx + c
1. Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “a ” por cada termino del
trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de
la manera “b(ax)”, y en el término “a ” de la manera
.
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer
término será la raíz cuadrada del termino
la que sería “ax”.
3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de
no variar el valor del polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el
termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la
multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos
tres y cuatro del caso del trinomio anterior.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS
EN Q.
Cuando se estudia el álgebra elemental se tiene como uno de
sus contenidos “La factorización de polinomios”, en la cual se
plantean algunos “casos de factoreo” o fórmulas que indican
como, dado un polinomio que tiene una forma específica
puede expresar se como el producto de dos o más factores
diferentes de uno, en esta ocasión se mencionan los
siguientes:
La diferencia de dos Cuadrados : a2 - b2 = (a + b)(a - b)
La diferencia de dos Cubos : a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )
La suma de dos cubos : a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab+ b2 )
Pero, ¿qué hay de la suma de dos cuadrados?; es decir:
a2 + b2 =?
Muy poco o nada se dice al respecto, en los libros de álgebra
elemental
se afirma que no se puede factorizar sin que se obtenga
factores
Irracionales, ya que a2 +b2 es primo; esto es, que solo es
divisible por el mismo y uno, tales afirmaciones pueden llevar
a pensar que todas las sumas de dos cuadrados no se pueden
factorizar, en el Es por esta razón que se escribe lo siguiente:
TEOREMA 1.1: Sea la suma de dos cuadrados a2 + b2 donde
a,bÎQ y sea c = 2ab , si c es una expresión racional; es
decir, c = 2ab es una “raíz exacta” entonces a2 +b2
se puede factorizar como a2 + b2 = (a + c + b)(a - c + b) .
DEMOSTRACION:
a2 + b2 = a2 + 2ab- 2ab+ b2 ya que 2ab- 2ab= 0
= a2 + ab+ ab+ b2 - 2ab ya que ab+ ab= 2ab y ley conmutativa
de la suma
= a2 + ab+ ab+ b2 - c2 ya que por hipótesis c = 2ab
= (a2 + ab) + (ab+b2 ) -c2 ley asociativa de la suma
= a(a + b) + b(a + b) - c2 ley distributiva del producto sobre
la suma
= (a + b)(a + b) - c2 ley distributiva del producto sobre
la suma
= (a + b)(a + b) - (a + b)c + (a + b)c - c2 ya que
(a + b)c - (a + b)c = 0
=[(a + b)(a + b) - (a + b)c] +[(a + b)c - c2 ] ley asociativa de
la suma
= (a + b)[a + b - c] + c[a + b - c] ley distributiva del producto
sobre la suma
= (a + b + c)[a + b - c] ley distributiva del producto sobre la
suma
= (a + c + b)(a - c + b) Ley conmutativa de la suma.
Así tenemos que:
Si c = 2abÎQ Þ a2 + b2 = (a + c + b)(a - c + b)
Ejemplo 1.1 Factorizar 4x4 +81.
Solución
Tenemos que:
4x4 +81 = (2x2 )2 + 92
Entonces surge la pregunta:
¿Se podrá factorizar aplicando el teorema 1.1?
Con el propósito de obtener una respues ta tomamos:
a = 2x2
b=9y
c = 2ab = 2(2x2 )(9) = 36x2 = 6x
De este modo tenemos que "c" es una “raíz exacta” quiere
decir que si se puede factorizar aplicando el teorema 1.1.
Así, sustituyendo:
a = 2x2 , b = 9 y c = 6x en
a2 + b2 = (a + c + b)(a - c + b)
Obtenemos lo siguiente:
4x4 + 81= (2x2 + 6x + 9)(2x2 - 6x + 9)