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Departamento Matemáticas
Colegio Ágora
TEMA 1. Números Enteros
CURSO: 2°ESO
Potencias y Raíces
1. Completa siguiendo el ejemplo:
Reduce a potencia: 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56
Desarrolla la potencia:
(−7)3 = (−7) · (−7) · (−7)
a. (−5)6 = (−5) · (−5) · (−5) ·
(−5) · (−5) · (−5)
a. (−7) · (−7) · (−7) · (−7) · (−7) =
= (−7)5 = −75
b. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 38
b. (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2)
c. (-n) · (-n) · (-n) ·(-n) = (−n)4 = n4
c. (−n)5 = (−𝑛) · (−𝑛) · (−𝑛) ·
(−𝑛) · (−𝑛)
d. - a · a · a =−a3
d. (−t)2 = (−𝑡) · (−𝑡)
2. Reduce a potencia. Cuidado con los signos:
Ej.: −27 = −3 · 9 =
= −3 · 3 · 3 = −33 = (−3)3
a. 16 = 42 = 24
b. −25 = −52
c. 18 = 2 · 32
e. 81 = 9 · 9 = 34
d. −32 = −4 · 8 =
= −25
f. −64 = −8 · 8 = −26
Ej.: 72 = 9 · 8 = 32 · 23
a. 20 = 4 · 5 = 22 · 5
d. 24 = 3 · 8 = 23 · 3
g. 200 = 23 · 52
b. 56 = 8 · 7 = 23 · 7
e. 40 = 8 · 5 = 23 · 5
h. 864 = 12 · 72 = 25 · 33
c. 63 =9 · 7 = 32 · 7
f. 48 = 8 · 6 = 24 · 3
i.
2520=126 · 20 = 21 ·
6 · 4 · 5 = 23 · 32 · 5 · 7
3. Calcula las siguientes potencias y apréndetelas de memoria:
20 = 1
30 = 1
50 = 1
102 = 100
162 = 256
21 = 2
31 = 3
51 = 5
112 = 121
172 = 289
22 = 4
32 = 9
52 = 25
122 = 144
182 = 324
23 = 8
33 = 27
53 = 125
132 = 169
192 = 361
24 = 16
34 = 81
54 = 625
142 = 196
202 = 400
25 = 32
35 = 243
152 = 225
26 = 64
4. Si tengo 24 golosinas con forma cuadrada (sugus), ¿las puedo colocar encima de la mesa
haciendo un gran cuadrado? ¿Y con 81? Explica detalladamente tu respuesta.
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24 golosinas NO se pueden colocar porque no es un cuadrado perfecto. Podrían colocarse 16 y
sobrarían 7. Con 81 sí se puede formar un cuadrado de lado 9, porque es un cuadrado
perfecto, 92, y 9, que es la raíz cuadrada indica cuánto mediría el lado.
5. En un cine hay 11 salas. En cada sala hay 11 filas y en cada fila hay 11 butacas. ¿Cuál es el aforo
del cine? Exprésalo en forma de potencia y calcula el resultado.
113 = 121 · 11 = 121 · (10 + 1) = 1210 + 121 = 1331
6. Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide 9cm. Expresa el resultado en forma de
potencia.
El área de un cuadrado es lado por lado, en este caso, sería 92 cm2 = 81 cm2
7. Rosa quiere hacer un mural con fotos. Va a colocar en total 49 fotografías.
¿Cómo debe hacerlo para que le quede lo más cuadrado posible?
Como 49 es un número cuadrado perfecto, pues es 72, se puede colocar
formando un cuadrado de lado 7, que es la raíz cuadrada.
8. En una frutería se reciben 6 enormes cajas de deliciosas manzanas. Cada caja contiene 6
bandejas. En cada bandeja hay 6 filas de 6 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas han
recibido?
64 = 36 · 36 = 36 · (30 + 6) = 1080 + 216 = 1100 − 20 + 200 + 16 = 1296
9. Aida quiere hacer un collage con postits y ha comprado un paquete en el que vienen 120
postits. ¿De qué tamaño es el cuadrado más grande que puede hacer?
Nos preguntan por el cuadrado perfecto más cercano por debajo, es decir 100 que es 10 2.
Sobrarían 21 postits. El número está muy próximo a 112, pero faltaría un cromo para lograr el
siguiente cuadrado, de lado 11 en lugar de 10.
10. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es 25cm2?
Nos preguntan por la raíz cuadrada del número que, como es un cuadrado perfecto, es exacta.
La raíz cuadrada es 5, porque es el número que al elevarse al cuadrado da 25.
Si el número no fuese cuadrado perfecto, sólo se podría calcular la raíz entera, buscando la raíz
cuadrada del mayor cuadrado perfecto inferior al número dado. Lo que falta para llegar a ese
número se llama resto.
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Operaciones con Potencias. Propiedades
1. Producto de potencias
Mismo exponente
33 · (−4)3 = (3 · 3 · 3) · ((−4) · (−4) · (−4)) =
Por tanto:
𝑛𝑎 · 𝑚𝑎 = (𝑚 · 𝑛)𝑎
3
= (3 · (−4)) · (3 · (−4)) · (3 · (−4)) = (3 · (−4))
Por tanto:
𝑛𝑎 · 𝑛𝑏 = 𝑛𝑎+𝑏
Misma base
(−7)2
3
· (−7) = ((−7) · (−7)) · ((−7) · (−7) · (−7)) =
= (−7)2+3 = (−7)5
Opera, y si dudas, desarrolla la potencia:
a. 52 · 53 = 55
g. 53 · (−2)3 = (−10)3= −103
b. (−3)4 · (−5)4 = 154
h. (−3)4 · (−3)5 = (−3)9 = −39
c. 2 · 23 = 24
i.
63 · 23 = 123
d. −73 · 75 · 72 · 7 = −711
j.
−92 · 9 · 94 · 95 = −912
e. p5 · 𝑞 5 = (𝑝𝑞)5
k. p3 · p5 = p8
f.
c 2 · c 5 · c 4 · c = 𝑐12
l.
c 5 · a5 · b5 = (cab)5
Opera. Expresa el resultado en forma de potencia:
a. (−2)4 · 52 · (−2) · 53 = (−2)5 · 55 = (−10)5 = −105
b. −7 · 34 · 33 · 76 = −77 · 37 = −217
c. p4 · (−2) · p2 · (−2)5 = 𝑝6 · (−2)6 = (−2𝑝)6 = (2𝑝)6
d. t · a4 · a5 · t 8 = 𝑡 9 · 𝑎9 = (𝑡𝑎)9
2. Cociente de potencias con la misma base
Mismo exponente
(−6) · (−6) · (−6) (−6) (−6) (−6)
(−6)3
(−6)3 : 23 =
=
=
·
·
3
2
2·2·2
2
2
2
3
= [(−6): 2]
Por tanto:
𝑛𝑎 : 𝑚𝑎 = (𝑚: 𝑛)𝑎
Misma base
27
2·2·2·2·2·2·2
2·2·2·2·2·2·2
=
=
= 27−3 = 24
23
2·2·2
2·2·2
Por tanto,
𝑛𝑎 : 𝑛𝑏 = 𝑛𝑎−𝑏
23
2·2·2
2·2·2
=
=
=1
3
2
2·2·2
2·2·2
3
2
= 23−3 = 20
23
Por tanto, a0 = 1
23
2·2·2
2·2·2
1
=
=
=
27
2·2·2·2·2·2·2
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 24
23
= 23−7 = 2−4
27
Por tanto,
1
𝑛−𝑎 = 𝑎
𝑛
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Opera desarrollando la potencia:
a. (−5)7 : (−5)3 = (−5)4 = 54
−6 7
b. 36 : 36 = 30 = 1
c. 144 : (−7)4 = (14: (−7))4 = (−2)4 = 24
7
6
d. (−2) : (−2) = (−2)
4
(−8)2 : (−8)2 = 12 = 1
j.
72 : 74 = 7−2 = 72
1
(−8)3 : 43 = (−2)3
l.
1
(−5)2 : (−5)6 = (−5)−4 = (−5)4
4
i.
k. (−9)6 : (−3)6 = 36
e. (−3)3 : (−3)3 = (−3)0 = 1
f.
6 7
h. (−6)7 : (−5)7 = (−5) = (5)
m. (−10)5 : (−5)5 = 25
0
g. 𝑡 : 𝑡 = 𝑡 = 1
n. 𝑡 4 : 𝑡 6 = 𝑡 −2 =
1
𝑡2
3. Potencia de potencia
(72 )3 = (7 · 7) · (7 · 7) · (7 · 7) = 72·3 = 76
Opera desarrollando las potencia:
Por tanto: (𝑛𝑎 )𝑏 = 𝑛𝑎·𝑏
d. ((−3)2 )2 = (−3)4 = 34
a. (−72 )3 = −76
e. (𝑡 2 )3 = 𝑡 6
b. −(54 )2 = − 58
(𝑝5 )2 = 𝑝10
f.
c. (−32 )5 = −310
4. Popurrí
Calcula en tu cuaderno usando lo anterior y expresa el resultado en forma de potencia:
a. 21 · 23 · 28 = 212
g. (−3)4 : (−3) = (−3)3 = −33
b. (−3)2 · 3−5 · 33 · 35 = 35
h. 7−2 = 72
c. 22 · 2−5 · 23 = 20 = 1
d. −54 : 52 · 53 = −55
5
2
57
53
2
4
e. 7 · 7 : 7 = 7
f.
· 5 =5
3
6
1
1
i.
33 : 34 = 33−(−4) = 37
j.
(−2)4 = 24
k. 7−2 ·
l.
52 ·53
5−2
1
75
= 7−7 =
1
77
1
∶ 5−2 · 5−3 = 52+3−(−2)−(−2)−(−3) = 512
Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios de la página 17 del libro: 60, 61, 62 y 63
5. Operaciones combinadas
Recuerda el orden en que se hacían las operaciones combinadas y resuelve, indicando
con números sobre las operaciones el orden en que las vas a hacer
1. ( )
2. 𝑎𝑏 , √𝑐
3. ∙ 𝑦 ∶, →
4. +𝑦−, →
a. 11 − √25 · (4 − (6 − 4): (−2)) + (−3)3 = 11 − 5 · (4 − 2: (−2)) − 33 = 11 − 5 · (4 + 1) −
27 = 11 − 5 · 5 − 27 = 11 − 25 − 27 = −41
b. −13 − (−5)2 · (5 − 8) + √64 ∶ (−9 + 7) = −13 − 25 · (−3) + 8: (−2) = −13 + 75 − 4 = 58