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Sector: Matemáticas
Curso: 1° Medio B
Subsector: Matemáticas
Profesora: Daniela Gaete
CLASE 3: Técnicas de Conteo
y Probabilidades
VARIACIONES
COMBINACIONES
VARIACIONES
Variaciones sin repetición
 También conocida como r-permutaciones,
consiste en seleccionar r objetos de un total de
n y ordenar esta selección de todas las maneras
posibles, de manera que difieran en el orden o de
algún elemento. La variación sin repetición se
calcula mediante la expresión.
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
𝑛!
𝑛
𝑉𝑟 =
𝑛−𝑟 !
Ejemplo:
¿Cuántos números de tres cifras diferentes se
puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?



No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
𝑉35
5!
5∙4∙3∙2∙1
=
=
= 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60
5−3 !
2∙1
Ejemplo
En una carrera de atletismo compiten 8 alumnos, si se les premiará a los
alumnos con un diploma para el primer, segundo y tercer lugar ¿Cuántos
diplomas se pueden formar para los ganadores?



No entran todos los elementos. De 8 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar en primer lugar que tercer lugar
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra
𝑉38
8!
8!
=
=
8 − 3 ! 5!
=
8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
5∙4∙3∙2∙1
= 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336
Variaciones con Repetición
 Consiste en determinar el número del
subconjunto de r elementos de un total de n
elementos dados, de manera que en algunos de
ellos se repitan los elementos. La variación con
repetición se obtiene mediante la expresión
No entran todos los elementos si n > r.
Sí pueden entrar todos los elementos si n ≤ r
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos
𝑛
𝑉𝑟
=𝑛
𝑟
Ejemplo:
 ¿Cuántos números de tres cifras se puede
formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?



No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos.
5
𝑉3
= 53 = 125
Combinaciones
Combinaciones sin repetición
 Consiste en determinar el número de
subconjuntos de r elementos de un total de n
elementos dados, de manera que ellos difieran en
algún elemento, no importando el orden en que
estos se encuentren.
 La combinatoria se calcula mediante la
expresión:
𝑛
𝑉
𝑛!
𝑟
𝑛
𝐶𝑟 =
=
𝑃𝑟
𝑛 − 𝑟 ! ∙ 𝑟!
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Ejemplo
De los nueve candidatos presidenciales, se sabe
que dos de ellos pasarán a segunda vuelta.
¿Cuántas combinaciones existen?
9!
9!
9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
=
=
=
9 − 2 ! ∙ 2! 7! ∙ 2! (7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1) ∙ (∙ 2 ∙ 1)
362880
362880
=
=
= 36
5040 ∙ 2
10080
𝐶28
Ejemplo:
 Calcular el número de combinaciones de 10 elementos
tomados de 4 en 4.
𝐶410
10!
10!
=
=
10 − 4 ! ∙ 4! 6! ∙ 4!
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 5040
=
=
=
(6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ) ∙ (4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 )
4∙3∙2∙1
24
= 210
Ejemplo:
 En un curso de 32 alumnos se quiere elegir
la directiva formada por tres alumnos.
¿Cuántos comités diferentes se pueden
formar?
𝐶332
32!
32!
32 ∙ 31 ∙ 30 ∙ 29!
=
=
=
32 − 3 ! ∙ 3! 29! ∙ 3!
29! ∙ (3 ∙ 2 ∙ 1)
=
32 ∙ 31 ∙ 30 29760
=
= 4960
3∙2∙1
6
Combinaciones con repetición
Son los distintos grupos formados por n elementos
de manera que:
 No entran todos los elementos.
 No importa el orden.
 Sí se repiten los elementos.
𝐶𝑟𝑛
(𝑛 + 𝑟 − 1)!
=
𝑟! 𝑛 − 1 !
Ejemplo
En un supermercado hay cinco tipos diferentes de
bebidas. ¿De cuántas formas se pueden elegir tres
bebidas?
 No entran todos los elementos. Sólo elije 3.
 No importa el orden.
 Sí se repiten los elementos.
𝐶35
(5 + 3 − 1)!
7!
5040 5040
=
=
=
=
= 35
3! 5 − 1 !
3! ∙ 4! 6 ∙ 24
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