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Secciones cónicas: Una mirada desde la derivación implícita
Juan Guillermo Paniagua Castrillón1
María Cristina González Mazuelo2
Resumen.
Esta ponencia presenta un método alternativo para encontrar
expresiones simplificadas que permitan determinar las coordenadas y
las ecuaciones de los elementos de las secciones cónicas a través de la
utilización de la derivación implícita y partiendo de la ecuación general
, inicialmente con
. A
diferencia de los métodos propuestos en los textos, éste no requiere de
la completación de los trinomios cuadrados perfectos para llevar la
ecuación general a su forma canónica.
El método que se presenta puede ser sistematizado fácilmente a partir
de la ecuación general dada, empleando los valores de sus coeficientes
reales.
Palabras clave: Derivación implícita, ecuación general, ecuación canónica,
cónicas, parábola, elipse, hipérbola, vértice, centro, foco.
1. Introducción
En la mayoría de los textos de geometría analítica indagados, se obtienen los
elementos de las secciones cónicas a partir de su ecuación general,
transformándola
a su forma cánónica mediante operaciones algebraicas,
explícitamente, completando los trinomios cuadrados perfectos. Se ha llegado a
afirmar que "La geometría analítica bien podría ser llamada geometría algebraica
ya que es el estudio de conceptos geométricos, tales como curvas y superficies,
por medio del álgebra" [1].
Aunque para una persona con buen manejo algebraico, los métodos clásicos sean
sencillos, es importante plantear métodos alternativos para la obtención de dichos
elementos.
La propuesta se fundamenta en el concepto geométrico de la derivada de una
curva, como una expresión general para la pendiente de todas las rectas
tangentes a ella, lo cual permite determinar las coordenadas de los puntos de
corte de las cónicas con los ejes coordenados.
1
Docente asistente Facultad de Ciencias, ITM. Institución universitaria, Medellín, Colombia. E-mail:
juanpaniagua@itm.edu.co
2
Docente auxiliar Facultad de Ciencias, ITM. Institución universitaria, Medellín, Colombia. E-mail:
mariagonzalez@itm.edu.co
Para el caso de las secciones cónicas con eje focal paralelo a uno de los ejes
coordenados, en los puntos de corte (vértices) la recta tangente a la curva es
vertical (pendiente infinita) u horizontal (pendiente cero).
a)
b)
Figura 1. Configuración de las rectas tangentes: a) Parábola , b) Elipse
Desde la expresión general
(Sin rotación de ejes) se llega a la expresión
, al considerar
(1)
Al derivar implícitamente a (1) con respecto a
se obtiene
(2)
Teniendo en cuenta las características de las rectas tangentes a las curvas de las
secciones cónicas se puede afirmar que
(3)
(4)
A partir de las expresiones (3) y (4) se determina las coordenada ó de los
vértices en cuestión. Estos valores de
ó
obtenidos, según el caso, se
reemplazan en la ecuación general para determinar la coordenada faltante.
Así, con las coordenadas de los vértices, es posible hallar las coordenadas y
ecuaciones de los demás elementos de las secciones cónicas.
2. Resultados
Con éste método propuesto se obtuvieron expresiones que permiten hallar las
coordenadas y ecuaciones de los elementos de las secciones cónicas (vértices,
focos, centros, directrices, asíntotas) recurriendo solamente a los valores de los
coeficientes reales de la ecuación general (1). En la tabla 1 que se presenta a
continuación se muestran las expresiones obtenidas para la parábola.
ELEMENTO
EXPRESIONES GENERALES
EJE FOCAL HORIZONTAL
EJE FOCAL VERTICAL
Ecuación
General
PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN
Orientación
del eje focal
Coordenadas
de los vértices
Coordenadas
del foco
Ecuación de la
directriz
Ecuación del
eje
Tabla 1. Coordenadas y ecuaciones de los elementos de la parábola.
3. Conclusiones
Las expresiones que se obtienen son de fácil sistematización y pueden ser
calculadas mediante programas que contengan interfaces gráficas de usuario (Al
estilo de las GUIDE de Matlab). El método es práctico en el momento de tener
coeficientes racionales e irracionales en la ecuación general de la sección cónica,
ya que este tipo de valores dificultan un poco al usar métodos tradicionales.
Las expresiones obtenidas para las coordenadas y ecuaciones de los elementos
de las secciones cónicas se validaron en diversas ecuaciones generales, logrando
resultados satisfactorios.
Bibliografía
[1] Demana, F. D., Waits, B. K., Foley, G. D., Kennedy, D.. Precálculo. Grafico,
numérico, algebraico. Mexico, México, 2007.
[2] Fleming, W., Varberg, D.. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.
Naucalpan de Juárez, México, 1991.
[3] González, M., Paniagua, J. Patiño, G., Secciones cónicas: Una mirada desde
la derivación implícita. Medellín, Colombia, 2008.
[4] Sánchez, A. V.. Fundamentos de Geometría Analítica. México, México, 2002.