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Potencias de exponente
racional
Operaciones y propiedades
I.
Potencias de exponente racional
La potencia es una operación matemática que sirve para representar la multiplicación
de un número por sí mismo un número determinado de veces.
Las potencias de exponente fraccionario se pueden expresar como raíces en las que el
numerador del exponente pasa a ser el exponente del radicando y el denominador se
convierte en el índice de la raíz.
𝑚
𝑎𝑛 =

𝑛
𝑎𝑚
Ejemplo:
1
22 = 2
Se define raíz n-ésima de un número a al número b que cumple la condición
𝑏𝑛 = 𝑎
Cabe destacar que n siempre debe ser positivo. La radicación de índice n es la
operación inversa de la potenciación de exponente n.
Además, cuando hablamos de números racionales no sólo nos referimos a los números
fraccionarios, sino a los enteros. Dentro de los enteros, los que presentan mayor
particularidad son los negativos. Una potencia con exponente fraccionario negativo
puede transformarse en otra con exponente fraccionario positivo de la siguiente
manera:
1
−1
32 =
II.
1
3
1
2
=
1
3
=
3
3
Operaciones y propiedades
1. Propiedades de las potencias de exponente
fraccionario
Para todos los números reales a y b (a > 0 y b > 0) y todos los números enteros m, n, p,
q (n > 1 y q > 1) se cumple:
1. Multiplicación de potencias de la misma base: se mantiene la base y se suman
los exponentes.
𝑝
𝑞
𝑚
𝑛
𝑎 ·𝑎 = 𝑎
𝑚 𝑝
+
𝑛 𝑞
2. División de potencias de la misma base: se mantiene la base y se restan sus
exponentes.
𝑝
𝑚
𝑚
𝑎 𝑛 ∶ 𝑎𝑞 = 𝑎 𝑛
−
𝑝
𝑞
3. Multiplicación de potencias del mismo exponente: se mantiene el exponente y
se multiplican las bases.
𝑚
𝑚
𝑚
𝑎 𝑛 · 𝑏 𝑛 = (𝑎 · 𝑏) 𝑛
4. División de potencias del mismo exponente: se mantiene el exponente y se
dividen las bases:
𝑚
𝑚
𝑚
𝑎 𝑛 ∶ 𝑏 𝑛 = (𝑎/𝑏) 𝑛
5. Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes
𝑚 𝑝
𝑚𝑝
(𝑎 𝑛 )𝑞 = 𝑎 𝑛𝑞
2
2. Propiedades de los radicales
En cuanto a las propiedades de los radicales, podemos destacar:
1. Se puede multiplicar el índice de una raíz y elevar el radicando al mismo
número, obteniendo expresiones equivalentes:
𝑛

𝑛 ·𝑝
𝑎=
𝑎𝑝
Ejemplo:
3
3·2
27 =
272 = 3
2. Para multiplicar raíces del mismo índice, se multiplican los radicandos y se
mantiene el índice:
𝑛
𝑎·
𝑛
𝑏=
𝑛
𝑎𝑏
Ejemplo:
4
4
16 · 81 = 2 · 3 = 6
4
1296 = 6
3. Para dividir raíces del mismo índice se dividen los radicandos y se halla la raíz
del índice común (para b≠ 0):
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑏
Ejemplo:
3
3
16
2
=
3
16
=2
2
4. Para elevar un radical a una potencia se debe elevar el radicando a dicha
potencia:
𝑛
( 𝑎 )𝑚 =
𝑛
𝑎𝑚
Ejemplo:
3
4
( 4)2 =
4
42 =
4
16 = 2
5. La raíz de una raíz es igual a otra raíz en la que el índice es el producto de los
dos índices de las raíces que estamos operando:
𝑚
𝑛
𝑎=
𝑚 ·𝑛
𝑎
Ejemplo:
3 3
512 =
9
512 = 2
4
Test
1. ¿Cuál es el resultado de la operación 𝟖𝟐𝟑 ?
a. 8
b. 16
c. 4
d. 64
2. ¿Cuál es el resultado de la operación 𝟐𝟓𝟑𝟔 ?
a. 25
b. 5
c. 125
d. 1
3. ¿Cuál es el resultado de la potencia 𝟖𝟏𝟎,𝟕𝟓?
a. 81
b. 0
c. 27
d. 40,5
4. ¿Qué potencia es equivalente a la siguiente 𝟐𝟕𝟐 𝟓 ?
a. No se puede calcular
b. 277
c. 310
d. 330
5. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
2−2 · 2−3 · 24
a. 1/2
b. 2
c. 4
d. 1
6. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
2−2 : 2−3
a. 1
5
b. 1/2
c. 2
d. 0
7. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
4 3
a.
12
531441
3
b. 3
c.
d.
12
2
531441
3
8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
3
( 100)2
a. 10
b. 1
c. 100
d. 1000
9. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
5
5
4· 8
a. No se puede calcular
b. 2
c. 32
d.
5
12
10. Calcula el resultado de la siguiente multiplicación de radicales:
3
3
3
2 4 · 3 10 · 1
3
a. 6 40
b.
3
15
3
c. 6 15
3
d. 5 40
6